научная статья по теме РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКТИВНО ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ПЛОСКИХ ФИГУР. VIII. О ВЫЧИСЛЕНИИ АНСАМБЛЯ РОТАЦИОННОЙ КОРРЕСПОНДЕНЦИИ ОВАЛОВ С СИММЕТРИЕЙ ВРАЩЕНИЯ Биология

Текст научной статьи на тему «РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКТИВНО ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ПЛОСКИХ ФИГУР. VIII. О ВЫЧИСЛЕНИИ АНСАМБЛЯ РОТАЦИОННОЙ КОРРЕСПОНДЕНЦИИ ОВАЛОВ С СИММЕТРИЕЙ ВРАЩЕНИЯ»

СЕНСОРНЫЕ СИСТЕМЫ, 2015, том 29, № 1, с. 28-55

_ ЗРИТЕЛЬНАЯ _

СИСТЕМA

УДК 004.932.2

РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКТИВНО ПРЕОБРАЗОВАННЫХ

ПЛОСКИХ ФИГУР. VIII. О ВЫЧИСЛЕНИИ АНСАМБЛЯ РОТАЦИОННОЙ КОРРЕСПОНДЕНЦИИ ОВАЛОВ С СИММЕТРИЕЙ ВРАЩЕНИЯ

© 2015 г. П. П. Николаев

Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, 127994, Москва, пер. Б. Каретный, 19 E-mail: nikol@iitp.ru

Поступила в редакцию 06.05.2014 г.

Для овала, обладающего скрытой симметрией вращения, ставшей неявной в проявлении декартовых ее свойств под воздействием неизвестного проективного преобразования, совершаемого над фигурой в ходе ее сенсорной неортогональной регистрации, предложены методы вычисления некоторой композиции N точек (ансамбля корреспонденции - АК) контура овала, обладающей свойством проекции правильного N-вершинника, при том, что N соответствует индексу ротации овала (числу повторяющихся фрагментов его ортоформы). Данный тип симметрии не сводим к ранее описанным нами случаям неявного ее наличия (для которых предложены численные методы поиска скрытых осей и/или центров симметрии), когда число N фрагментов нечетное (четность индекса N обеспечивает проективную радиальную симметрию фигуры, т.е. появление у нее образа центра), а для нечетного N > 2 не существует такого разбиения на фрагменты, при котором фрагмент ортоформы осесимметричен (в этом случае овал обладает аксиальной симметрией, имея набор N образов оси). Получение любого АК дает возможность вычислить позицию центра вращения, что в свою очередь обеспечивает проективно инвариантное представление гладкой выпуклой кривой, не имеющей никаких иных геометрических особенностей, кроме свойств неявной ротационной симметрии.

Ключевые слова: овал, проективное преобразование, вурф, касательная, фрагмент ротации, фокус-сет, ансамбль корреспонденции, симметрия вращения.

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа является продолжением авторского цикла исследований по проблемам распознавания проективно трансформированных плоских выпуклых фигур семейства овалов. Здесь будут рассмотрены теоретические положения и результаты численного моделирования в задаче инвариантного представления и анализа кривых, обладающих свойством симметрии вращения в варианте ее наличия, ставшего неявным в итоге проективного преобразования контура фигуры, когда свойство полярной (угловой - относительно центра ротации С) периодичности кривой уже не удается привлечь для ее "эталонного представления" в целях распознавания - путем вычисления фрагмента, N поворотов которого и образуют замкнутый контур овала. Явная периодичность,

свойственная его простейшей модификации, именуемой нами ортоформой фигуры, в общем случае не имеет места, усложняя задачу формирования базиса овала предваряющим ее численным анализом дифференциальных особенностей его геометрии. Такой анализ имеет целью поиск некоторого разбиения контура на N фрагментов, каковые у его ортоформы связывает исключительно преобразование поворота, тогда как для фигуры, трансформированной проективным преобразованием ее плоскости в декартовом ЪБ пространстве (что происходит в итоге оптической ее регистрации при неизвестном ракурсе перепроецирования и описывается моделью плоской центральной проекции), фрагменты периодичности связывает некое весьма сложное преобразование, не сводимое к известным аффинным "формулам поворота". Опорным элементом симметрии (ЭС),

знание координат которого создает возможность инвариантного описания кривой, может служить проективно инвариантная точка O внутреннего поля фигуры - образ центра вращения, т.е. априори неизвестная позиция, которую заняла точка C явного центра ортоформы, сместившаяся при перепроецировании овала. Если исключить переборный вариант поиска O - с пошаговыми проверками Ж-кратного самопокрытия кривой вурф-отображения Ш(Ж2) (что должно быть необходимым условием позиционного совпадения полюса отображения с центром О) как неприемлемо затратный в вычислительном отношении, при том, что теоретический анализ ситуации объявляет существование однозначной связи координат О с конфигурацией любого ансамбля корреспонденции (АК) - совокупностью N точек контура, разделяющих его на N фрагментов, "ротационно подобных" для его ортоформы, то путь решения стоящей перед нами задачи представляется в виде трех этапов. На первом - для любой точки Р1, случайным образом выбранной на контуре фигуры, следует попытаться отыскать на нем позиции N-1 точек, дополняющих их комплект до АК, на втором - по найденному АК вычислить позицию О, что и позволит сформировать на третьем этапе эталонный образ овала либо его проективно инвариантное вурф-отображение ^1(^2). В данной статье будут рассмотрены и обсуждены методы вычисления АК и сформулированы общие концептуальные подходы к созданию процедуры, объединяющей поиск опорных ЭС овала для всех трех типов неявной симметрии (аксиальной, радиальной и ротационной), что представляется весьма важным алгоритмическим обобщением ряда ранее предложенных методов обработки "кривых с симметриями", особенно с учетом того обстоятельства, что разработанный нами аппарат дуальных поляр (Николаев, 2014 б, в), позволяющий объединить в одной процедуре поиск ЭС для овалов с осевой и центральной симметрией, не может быть использован (и это тезис принципиального характера) ни для детекции центра О, ни для формирования АК. Этапы численной обработки контуров с неявной симметрией вращения (совместно с разбором теоретических положений, проясняющих цели и итог производимых преобразований), следующие за получением конфигурации АК, а также обсуждение программных реализаций "обобщающего подхода" выносятся за рамки данной статьи, так как материал по первому этапу оказался слишком обширным. Разработанные и протестированные методы детекции АК достойны детального разбора в качестве независимых процедур решения этой задачи - либо

путем сравнения характерных особенностей поведения вурф-функций для пары отыскиваемых точек АК (образующих триаду вместе с исходно фиксированной точкой Р1), либо переборным процессом, завершающимся выбором триады точек из АК (исходная Р1 и две, ей соседние из АК) согласно критерию экстремальности значений вурф-соотношений, вычисляемых для коллине-арных квартетов вспомогательных точек на поле анализа при том, что необходимость выполнения соотношений сообразно позициям искомой триады теория декларирует для конкретного значения N (например, 3 или же 5). И поскольку с целью "экономии вычислительного ресурса" для обоих разработанных альтернативных методов поиска АК (компарационному и "переборному по критерию") удалось процедурно реализовать теоретически показанную возможность "индуктивного" вычисления всего АК по правильно найденной триаде его смежных точек - безотносительно к тому, каков индекс ротации (Ж > 2), то подобный прием оптимизации при обработке овалов с симметрией вращения побудил рассмотреть применимость этого принципа в отношении процедур поиска ЭС у фигур и с иными типами неявной симметрии (т.е. речь идет о выработке подхода, конкурентного использованию дуальных поляр). Обобщающий принцип удалось превратить в такую идею процедуры поиска ЭС. Случайным образом выбранная точка Р1 контура овала вовлекается в комбинаторный процесс: в иерархическую схему двух циклов вычисления - внешнего для "подбираемой" позиции Р2 и вложенного - для Р3, дающей возможность формирования вурф-оценок, необходимых "для сравнения" либо для поиска экстремального их значения. Конечным продуктом схемы являются искомые ЭС - образы радиального центра, осей симметрии или же триада из АК. В последнем разделе статьи, когда уже будет рассмотрен переборный метод обработки овалов с индексами вращения 3 и 5, что покажет, как объявленный "трехточечный" принцип реализуется процедурно, кратко изложим его рабочую идею применительно к вычислению ЭС овалов осевого и радиального типов симметрии (детальному описанию нового подхода планируется посвятить отдельную статью - со сравнительными оценками алгоритмической сложности конкурентных методов).

Как и для ранее нами рассмотренных овалов с аксиальной (Николаев, 2011; 2012) и радиальной (Николаев, 2013; 2014 а) симметрией, для овалов неявной симметрии вращения верен тезис: под воздействием проективного преобразования фигуры декартовы закономерности ее симмет-

рии (фрагмент контура овала с ротационным индексом N, у его ортоформы заключенный в произвольно выбранном угловом секторе ширины 2я/Ж, связан с другими фрагментами подобия аффинным преобразованием поворота) могут не выполняться "даже приблизительно", поэтому ее инвариантное описание в целях опознания становится зависимым от возможности выявить скрытые свойства симметрии, что достигается путем привлечения особенностей геометрии распознаваемой кривой - в категориях ее проективных инвариантов. В роли инварианта и в рассматриваемом здесь случае будет использован вурф - численная характеристика, определяемая для прямолинейного (коллинеарного) носителя с известной четверкой точек на нем (чаще ее называют сложным отношением), только теперь вурфы гармонические утратят доминирующие позиции, их заменит использование равенства вурфов (модуль которых уже не обязан быть единичным). Специфика изменения подхода (от одного гармонического вурфа к нулевой разности вурфов) имеет ясную причину: свойства избранной точки Р1 кривой (в лексике вурфов) "должны продублировать" все члены АК.

В заключение вводной части отметим, что еще до разработки конкурентных методов определения АК для этой задачи была понятна теоретически универсальная применимость и подхода с анализом "экстремумов проективной кривизны", производимым на контуре путем вычисления плоскостного вурфа (методом скользящего проективного базиса по "текущей пятерке" точек кривой, реализующим дискретную модель производной Шварца (Овсиенко, Табачников, 2008)), но его эффективность как приема дифференциальной природы сильно зависит от точности и плотности дискретного представления овала, что для практических реализаций (в противовес поведению в численной модели) надежной работы не гарантирует. В силу этих соображений - в качестве демонст

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Биология»