ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 11, с. 1008-1014
КИНЕТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.951
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИОНОВ ПО СКОРОСТЯМ В ПЛАЗМЕ С ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
© 2004 г. И. В. Кузора, С. А. Урюпин
Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН Поступила в редакцию 11.12.2003 г.
Найдено квазистационарное распределение ионов в плазме с одним сортом ионов и сравнительно невысоким уровнем ионно-звуковых турбулентных шумов. Установлены условия, в которых под влиянием индуцированного рассеяния ионно-звуковых волн на ионах формируется распределение надтепловых ионов, убывающее с ростом скорости медленнее максвелловского распределения. Описано явление возрастания проводимости плазмы, которое обусловлено понижением уровня турбулентных шумов из-за увеличения черенковского затухания ионного звука на резонансных ионах, число которых возрастает благодаря формированию медленно спадающего распределения надтепловых ионов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Явление аномального нагрева ионов в сильнотоковых разрядах было установлено в шестидесятые годы прошлого века. Тогда же в качестве его причины было указано взаимодействие ионов с ионно-звуковой турбулентностью (ИЗТ), возникающей в токовых плазмах благодаря черенков-скому излучению ионно-звуковых волн движущимися направленно электронами [1, 2]. В теории ИЗТ быстрый нагрев так называемых резонансных ионов, то есть ионов со скоростями большими скорости звука vs, возникает из-за квазилинейного взаимодействия ионно-звуковых волн с ионами [3, 4], а нагрев основной массы тепловых ионов обусловлен индуцированным рассеянием волн на них [1]. Вместе с тем, хотя индуцированное рассеяние позволяет понять причину эффективного нагрева тепловых ионов, разработка аналитической теории турбулентного нагрева ионов все еще не завершена. Определенный прогресс в теории турбулентного нагрева ионов достигнут в двух предельных случаях. Во-первых, турбулентный нагрев ионов описан для случая достаточно плотной плазмы, когда благодаря частым ион-ионным столкновениям распределение ионов близко к максвелловскому при всех скоростях меньших скорости звука vs [5]. Во-вторых, дано аналитическое описание турбулентного нагрева ионов, реализующегося в пределе, когда влиянием ион-ионных столкновений можно пренебречь [6]. Однако область применимости такого описания ограничена сравнительно небольшими временами, на которых все еще можно пренебречь образованием медленно спадающего с ростом скорости распределения основной массы ионов с V < V (подробнее, см. [7, 8]).
В настоящем сообщении неравновесное распределение ионов в плазме с ИЗТ рассмотрено в еще одном важном предельном случае. А именно, ниже рассмотрены такие условия, в которых распределение основной массы ионов со скоростями v <§ vs остается близким к максвелловскому благодаря частым ион-ионным столкновениям. Однако по мере увеличения скорости ионов при скоростях больших тепловой скорости ионов, но меньших или порядка скорости ионного звука, в рассмотренных условиях распределение ионов формируется под влиянием их рассеяния низкочастотными полями биений ионно-звуковых волн, участвующих в индуцированном рассеянии. При этом распределение надтепловых ионов убывает медленнее максвелловского распределения и при v = vs плавно переходит в максвелловское распределение горячих резонансных ионов. С использованием найденного ниже квазистационарного распределения ионов определен декремент затухания звука на резонансных ионах, что позволило установить явную зависимость аномальной плотности тока от параметров плазмы.
2. СПЕКТР ИЗТ
Рассмотрим взаимодействие ионов с ИЗТ в таких условиях, когда уровень турбулентных шумов невелик, и распределение тепловых ионов в основном формируется под влиянием ион-ионных столкновений. Тогда функция распределения тепловых ионов близка к максвелловской, а плотность числа ионно-звуковых волн N(k) описывается выражением (см., например, [5])
N( k) = N( k )Ф( cos 9k), (1)
где к - волновое число, 6к - угол между волновым вектором к и направлением силы, порождающей неустойчивость. При этом распределение по волновым числам имеет вид
N( к) =
2
3 Ю LirDe, -4,, ,,2 2 .-3/2
nimivs-—к (1 + к rDe) х
2
х
ln
2 2 1/2 ( 1 + к rDe)
0.5
0.25
кг
De
1+ к2 rDe ( 1+ к' rDe)2J
(2)
KN -
6 eE\r]
Di
me®LiV sr De
(3)
Kn < (1 + S)2,
(4)
где 5 - параметр, характеризующий затухание ионного звука на ионах со скоростями больше V, и равный
S - (2п)
3/2
3
mev Te
f 0 ( V s ).
(5)
Ф( X ) =
4 K
d
3 n( 1 + S) xdx( 1 + £ - X) ln2
1 - a£
ln [ 3 n( 1 + S)2ln2/4KN ] 4 Kn
< 1,
£ =
3n( 1 + S) a£
< 1.
(6)
(7)
(8)
тура ионов, Л - кулоновский логарифм, к - постоянная Больцмана, была велика по сравнению с обратным характерным временем столкновений ионов с турбулентными пульсациями плотности заряда
т -
_1_ 2v
J DNL( V
-1
(9)
где тВе и аЬе - дебаевский радиус и ленгмюровская частота электронов; тоь ю^, п1 и ш; - дебаевский радиус, ленгмюровская частота, плотность и масса ионов; V, = гВеюи. Угловое распределение волн Ф(соз 6к) зависит от величины турбулентного числа Кнудсена, равного
где % = cos 9v = -(v ■ E)/vE, DNvV = D^ v^p/v2, D1^ -тензор нелинейной диффузии из-за индуцированного рассеяния волн на ионах [10],
Dnl -Dap -
(2п)3
24
2mi Юli
J dk dk-юю'3 к a к ¡в N (k) N( k') х
(10)
х S(a>" - k'' • v)|Л(k, k', v)|2,
где е и ше - заряд и масса электрона, Е - напряженность поля в плазме. Будем интересоваться пределом малых чисел Кнудсена
(ю, к) и (ю', к') - частоты и волновые вектора падающей и рассеянной волн, (ю", к") = (ю - ю', к - к') -частота и волновой вектор биений взаимодействующих волн, а амплитуда Л(к, к', у) индуцированного рассеяния приближенно описывается выражением
Л(k, k', v) =
(2п) т,ю'
kk'" k + kl Vv i.
,' ккк ию Ю
(11)
Итак, первое условие применимости спектра ИЗТ (2), (6) имеет вид
ViiT > 1.
(12)
Здесь vTe - тепловая скорость электронов, е; - заряд иона, а /0(V) = | йО /(у)/4тс - изотропная часть
функции распределения ионов. Если выполнено неравенство (4), то угловое распределение плотности числа волн имеет вид [5, 9]
Во-вторых, тогда, когда распределение ионов отличается от максвелловского в области надтепло-вых скоростей, необходимо потребовать, чтобы численное отличие интегралов для всех моментов скорости, определяющих спектр ИЗТ, от таких же интегралов, возникающих в предположении максвелловского распределения ионов, было малым. Требование малого численного отличия моментов скорости от их величин, отвечающих мак-свелловскому распределению ионов, позволяет пренебречь обратным влиянием возмущения моментов распределения ионов на спектр ИЗТ. Наивысшим и, следовательно, наиболее медленно сходящимся среди определяющих спектр ИЗТ моментов является второй момент скорости. Поэтому потребуем, чтобы среднеквадратичная скорость
Использование спектра ИЗТ (2), (6) возможно, если выполнены два следующих условия. Во-первых, распределение тепловых ионов должно быть максвелловским. Для реализации максвелловского распределения тепловых ионов необходимо потребовать, чтобы частота ион-ионных столкновений V;; = 4пЛп,е4 / ш|/2 (кТ;)3/2, где Т; - темпера-
< v2>- ¿Jdv v'f(v >
имела малое отличие от VТ; = кТ/ш,, то есть чтобы выполнялось соотношение
22 < v > - v Ti
< 1.
(13)
v
T
2
4
Неравенства (12), (13) являются достаточными условиями применимости дальнейшего рассмотрения.
X
ln
2,1/2 (1 + X)
0.5
0.25
1+ x2 (1 + x2 )2J
X
(17)
3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ИОНОВ
Основу теоретического рассмотрения распределения ионов составляет стационарное кинетическое уравнение для функции распределения ионов /(у)
X
J dt Ф(0 d,
П [ ( 1- - г2 )( 1 - %2 ) - (Vs/WT+X"2 - t% )) а [(1 - г2 )(1 - %2) - (vs/vJl+X2 -t%))
2 1/2'
П - ступенчатая функция Хэвисайда, а
d vv = (1 + x2) \
mE -dv = St(f) + ¿-[dQL(v) + <(v)];df-.(14)
д V n
dv.
P
Уравнение (14) учитывает влияние на / постоянного электрического поля Е; ион-ионных столкновений, описываемых интегралом столкновений Ландау f); квазилинейного и нелинейного взаимодействия ионов с волнами, что описывается
соответствующими тензорами диффузии О^ (у)
и О^ (у). Поскольку согласно исходному предположению распределение тепловых ионов макс-велловское, решение уравнения (14) будем искать лишь в области V > ут.. При этом в сферической системе координат уравнение (14) имеет вид
3 -Ч
Viiv Ti д
v
д v
2
vr1df_ . v dv
+f
3
+ vrvr | (1-%2) f +
2 v d% d%
д v
v
V2Dvvdv + vj1- %2Dv%d%
+
1 Э,
v Э%
/Г—D df + 1 - %2 D df
(15)
- т Ш + ^ 1 1 = 0,
т. V д V V д^у
где Оар(у) = О^ (у) + О^ (у). Для тензора квазилинейной диффузии, следуя [4], имеем
Г dql dQl dQl} =
{ Dvv> Dv%> D%% } =
4 j 2
Ve vs |v2Fvv(v,%), — Fv%(v,%), F%%(v,%)k
(16)
1 + 5 WTeW2
v
где VE = V9n/8 |eE|/mevs, 5 определяется выражением (5),
Faß( v,%), Ц+ 8)
Jdx(1 + x2)
X
dv% = -[t - % vs/( ^.Я^2)]( 1+ x2)-1/2( 1- %2)-1/2,
d%% = [t - % vs/(vV1+x2)]2(1- %2)-1.
При v > vs квазилинейный тензор (16), (17) определяет тензор диффузии в уравнении (15).
При v < vs все компоненты квазилинейного тензора (16) быстро убывают с убыванием скорости, и при v < vs имеем DQß" ^ (v/vs)10. В то же время для тензора нелинейной диффузии при v < vs согласно (10), (11) имеем
Г Dnl Dnl Dnl\ =
v
8m2n2J (2n)
dk dk'
N (k) N (k') X
x 5(ю'' - k'' - v)(nk - nk02ив'+ "ЦП | x (18)
ю
Ю'
xj( k''-nv )2,( k''-nv ) ( k" nE " % nv ) ( k'', nE " % nv Я
( 1- %2 )1/2
( 1-%2 )
где пЕ, пк, пу - единичные орты векторов еЕ, к, у. При этом все три компоненты тензора (18) имеют один порядок величины у2/!, где характерное время т (9) имеет вид
т =
--1---------- J
2 2 I
ГУ1 п *>
30J (2п)
dk dk'
5 N(k) N(k') X
(19)
x 5(ю- ю')[k - k']2(nk - nk')2.
Принимая во внимание явный вид спектра ИЗТ (2), (6), из (19) находим
4 3 ^
-1 KN rDeBLi eiEvs
т=
90п r4 ю2
rDiBLe
15 к Ti
(20)
Уравнение (15), дополненное явными выражениями для тензоров квазилинейной (16), (17) и нелинейной (18) диффузии, составляет основу дальнейшего рассмотрения распределения ионов по скоростям.
0
2
+
4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Будем и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.