КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 77, № 1, с. 44-51
УДК 536.75:539.2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПЕЛЬ ПО ТЕМПЕРАТУРАМ В ПРОЦЕССЕ КОНДЕНСАЦИОННОЙ РЕЛАКСАЦИИ ПЕРЕСЫЩЕННОГО ПАРА © 2015 г. Н. М. Корценштейн*, А. К. Ястребов**
*Энергетический институт им. Г.М. Кржижановского 119991 Москва, Ленинский проспект, 19 **Национальный исследовательский университет "МЭИ" 111250 Москва, Красноказарменная ул., 14 E-mail: naumkor@yandex.ru Поступила в редакцию 05.08.2014 г.
Представлена модификация кинетического уравнения, позволяющая учесть распределение капель по размерам и температурам. Дана постановка задачи и математическая модель конденсационной релаксации с учетом распределения капель по температурам. Приведены результаты численного решения поставленной задачи для двух парогазовых смесей. Представлен сравнительный анализ данных, полученных с учетом и без учета распределения капель по температурам, позволяющий оценить достоверность полученных ранее результатов.
DOI: 10.7868/S0023291215010115
ВВЕДЕНИЕ
Объектом исследования в данной работе, как и в [1], является смесь пара с заданной начальной степенью пересыщения и неконденсирующегося газа, помещенная в замкнутый теплоизолированный объем. В пересыщенном паре, как и в любой метастабильной системе, будет происходить релаксация к состоянию равновесия. В рассматриваемом случае это конденсационная релаксация, включающая процессы нуклеации и роста образующихся капель (объемная конденсация), а также теплообмен между образующимися каплями и парогазовой средой. Необходимость учета межфазного теплообмена для корректного описания процесса релаксации связана с тем, что тепловыделение на поверхности капель, сопровождающее объемную конденсацию, замедляет конденсационный процесс как на стадии нуклеации, так и при росте капель. Решение задачи о конденсационной релаксации пересыщенного пара с учетом межфазного теплообмена, представленное авторами ранее [1], было получено в предположении об одинаковой температуре капель всех размеров в процессе объемной конденсации. Действительно, в [1] описание объемной конденсации основано на численном решении кинетического уравнения для функции распределения капель по размерам, имеющего вид (см., например, [2, 3]):
f = X 5 ( - ^),
dt dr p2
(1)
где /г — массовая функция распределения капель по размерам, нормированная на число капель в единице массы паро-газо-капельной смеси, г —
радиус капли, г — скорость роста капель, I — скорость нуклеации, р2 — плотность паро-газо-ка-пельной смеси, 8 — дельта-функция Дирака, гсг — критический радиус капель. Уравнение (1) можно использовать в том случае, когда все капли имеют одинаковую температуру. В то же время из уравнения теплового баланса для капли следует зависимость ее температуры от размера капли.
Рассмотрим тепловой баланс для одиночной капли, температура которой Т выше температуры газообразной фазы Тт, при этом давление насыщения при температуре капли меньше давления пара (при наличии неконденсирующегося газа — парциального давления пара). В связи с малым размером капли считаем, что перепад температур внутри капли отсутствует. Изменение внутренней энергии капли за время dt должно равняться разности подведенного и отведенного тепла:
mCjdT = (L - Cpv (T - Tm)) dm - qSdt,
(2)
где т и 5 — масса и площадь поверхности капли, соответственно, С1 и Срч — теплоемкости жидкости и пара, Ь — теплота парообразования, q — плотность теплового потока, направленного от капель к парогазовой смеси. Уменьшение теплоты парообразования на величину С(Т - Тт) dm вызвано тем, что конденсирующийся на поверхности капли пар надо нагреть до ее температуры. С учетом выражений для массы капли и площади ее поверхности
m = 4np;r3, dm = 4nr2p;dr, S = 4nr2,
(3)
а также определения скорости роста капли г = йг/йг из уравнения (2) можно получить следующее уравнение
1 рС^
з ' йг
(Ь - Сру (Т - Тт))г - д.
(4)
Уравнение (4) справедливо при любом режиме роста капель, который определяет конкретные выражения для скорости роста и межфазного теплового потока. Из (4) следует, что даже в свобод-номолекулярном режиме, когда скорость роста капли и межфазный тепловой поток не зависят от размера капли, ее температура зависит от радиуса. Таким образом, помимо распределения капель по размерам существует также распределение капель по температурам.
Целью данной работы является учет распределения капель по температурам при решении задачи о конденсационной релаксации пересыщенного пара. Сравнительный анализ данных, полученных с учетом и без учета распределения капель по температурам, позволит сделать вывод о необходимости такого учета.
Данная работа состоит из трех частей. В первой части представлена модификация кинетического уравнения для функции распределения капель, позволяющая учесть различие температур капель. Во второй части дана постановка задачи и математическая модель конденсационной релаксации с учетом распределения капель по температурам. В третьей части представлены результаты решения поставленной задачи для двух парогазовых смесей и их анализ. На основании анализа полученных результатов сделаны выводы, представленные в заключении.
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ И ТЕМПЕРАТУРАМ
Для описания кинетики конденсации с учетом распределения капель по температурам предлагается использовать модифицированное кинетическое уравнение
|+ = х5( _ )8(т- т.), (5)
дг дг о! р2
где / = /(г, Т, г) — массовая функция распределения капель по размерам и температурам, Т — скорость изменения температуры капель, Тп — температура образующихся капель (критических зародышей). Уравнение (5) выводится таким же образом, как и уравнение (1). Первое слагаемое в левой части (1) описывает изменение функции распределения со временем, второе слагаемое — изменение функции распределения вследствие роста капель. В уравнении (5) первые два слагаемых совпадают с имеющимися в (1), дополнительное по
сравнению с (1) слагаемое в левой части (5) определяет изменение функции распределения вследствие нагрева или охлаждения капель. Дельта-функция в правой части (1) показывает, что размер образующихся капель равен критическому радиусу, дополнительная дельта-функция в (5) фиксирует температуру образующихся капель.
В рамках предложенной модификации функция распределения капель по размерам определяется как интеграл от функции распределения по размерам и температурам:
/г = \j~dT.
(6)
Интегрирование в (3) проводится от минимально возможного значения температуры капель Тт (температуры газовой фазы) до максимально возможного значения Т (температуры насыщения, соответствующей парциальному давлению пара). Интегрирование кинетического уравнения (5) с учетом (6) дает уравнение (1). Аналогичным образом можно ввести функцию распределения капель по температурам:
Гт = \ Jdr.
(7)
Входящая в (5) скорость изменения температуры капли определяется из уравнения теплового баланса (4):
Т = йТ = з (Ь - Сру (Т - Тт)) Р1Г - д
йг
рСг
(8)
Следует отметить, что существует такая температура Т0, для которой Т = 0, при этом все тепло, выделяющееся при конденсации пара на поверхности капли, отводится в газообразную фазу. Значение Т0 определяется следующим уравнением:
(Ь - СрУ (То - Тт)) р,Г (То) = д (То). (9)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОНДЕНСАЦИОННОЙ РЕЛАКСАЦИИ
Модифицированное кинетическое уравнение было использовано для оценки роли распределения капель по температуре в задаче конденсационной релаксации. Как и в предыдущих работах авторов (см., например, [1]), рассматривается смесь пара и неконденсирующегося газа в теплоизолированном объеме после быстрого установления заданной начальной степени пересыщения * = Р™1Р* (Тт), где рв (Тт) - давление насыщения над плоской межфазной поверхностью жидкость-пар.
Т
т
ад
г.
В качестве математического описания использовалось кинетическое уравнение для функции распределения капель по размерам и температурам (5), уравнения состояния для обоих компонентов парогазовой смеси (использовалось приближение идеального газа), а также уравнение баланса массы компонентов:
dcv dt
dt
т Ts
"з пр'м II г^(Г
гсг Тт
с& = сош1,
(10)
где cv, с и с& — массовые доли пара, жидкости и газа, соответственно.
Температура газовой фазы определяется уравнением энергии
СР
dTm
О
(11)
О = 4п I/ (г) q (г) г 1dr.
(13)
В отличие от постановки задачи с учетом распределения капель по температуре, при одинаковой температуре всех капель необходимо использовать отдельное уравнение энергии для жидкой фазы. Это уравнение можно получить из уравнения теплового баланса одиночной капли (2) с учетом соотношения (3). Для этого надо умножить уравнение (2) на функцию распределения капель по размерам и проинтегрировать по радиусам капель, считая радиус капли независимой переменной, как в кинетическом уравнении (1):
рСЛ Т = (( - Ср^ Т - Тт))) - q). (14)
Здесь Тй0 — температура капель, Ул и — суммарные объем и площадь поверхности капель в единице массы смеси, которые определяются через моменты функции распределения капель по размерам:
= зп Iг 3 ,
Sd = 4п
I г 2/^г.
(15)
dt 1 - с1
Здесь Срт — теплоемкость парогазовой смеси, Q — тепловой поток, передаваемый от капель к газовой фазе, отнесенный к массе смеси пара, газа и капель:
ю Т3
О = 4п Ц q (Т, г) / (Т, г )г 2dTdг. (12)
гсг Тт
В уравнении (11) величина Q делится на 1 — с, так как в нем должно стоять тепло, получаемое только газовой фазой. Отдельное уравнение энергии для капель в данном случае не требуется, так как тепловой баланс для каждой капли учитывается в кинетическом уравнении (5).
Для сравнения был выполнен расчет в предположении одинаковой температуре всех капель. При этом вместо кинетического уравнения (5) использовалось уравнение (1) для функции распределения капель по размерам. Тепловой поток в уравнении энергии для газовой фазы (11) определялся следующим образом:
В отличие от (4), уравнение (14) справедливо только для свободномолекулярного режима роста капель, так как при его выводе скорость роста и межфазный тепловой поток считались одинаковыми для всех капель.
Скорость нуклеации, входящая в кинетиче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.