ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 3, с. 59-66
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ^^^^ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 519.8562
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МУЛЬТИОЦЕНОК ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ*
© 2007 г. Б. И. Ананьев
Екатеринбург, ИММ УрО РАН Поступила в редакцию 16.06.06 г.
Рассмотрены задачи построения рекуррентных соотношений для условных и безусловных вероятностных распределений случайных информационных множеств. Указанные множества, называемые в работе мультиоценками, естественно возникают в задачах оценивания состояний и параметров многошаговых стохастических включений.
Введение. Настоящая работа продолжает серию статей [1-5], в которых в основном исследуется задача построения точечных оценок неизвестного состояния стохастического включения по данным измерения. Лишь в [4] ставится задача оценки расстояния d(x, Х,(у, от точки х до случайного информационного множества Х,(у, определенного в [1]. Используемый подход восходит к [6-8]. В данной статье исследуются безусловные и условные распределения случайных информационных множеств Хг(у, содержащих истинное состояние системы х,, методами [9, 10]. Указанные случайные информационные множества далее для краткости будем называть мультиоценками. Получены рекуррентные соотношения для безусловных и условных распределений мультиоценок. Поскольку распределение муль-тиоценки определяется не единственным образом, мы учитываем всю совокупность возможных распределений. Рассмотрены сопровождающие функционалы мультиоценок и точечные законы их распределения, позволяющие оценивать снизу вероятности событий вида {Хг(у, п А Ф 0} и {Х/у, с А} для параметрического и линейно-гауссовского случаев. Разобраны примеры.
1. Постановка задач. Имеются многошаговые стохастические включения
е xt-1Л), Уге °(хх-1Л), X = 1, ..., М, Хо е ), .
где х, е Х, у, е У, - соответственно ненаблюдаемое и наблюдаемое состояния системы. Множества Х, У предполагаются локально-компактными хаусдор-фовыми пространствами со счетной базой. Далее подобные пространства называем ЛКС-простран-ствами, которые метризуемы [11]. Полагаем, что случайные элементы ..., ^ независимы в сово-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 04-01-00148).
купности, е Е, где Е - еще одно ЛКС-простран-ство. Будем считать, что элементы имеют одинаковое вероятностное распределение е В) = ц(В), заданное на борелевской с-алгебре ^(Е). Мультифункции F : Х х Е —► К(Х), G : Х х Е —► —»- К(Х), F0 : Е —»- К(Х) являются полунепрерывными сверху (п. н. св) по совокупности переменных [12]. Здесь и далее А х В - декартово произведение множеств или топологических пространств с соответствующей топологией произведения, К(7) - пространство непустых компактных множеств метрического пространства Z, снабженное метрикой Хаусдорфа [12]. Конечный набор элементов {гт,
..., гя}, где т < п, будет обозначаться через znm. В
частности, используем у1 = уг, х0 = хг, ^0 =
Определение 1. Случайным информационным множеством (или мультиоценкой) Хк (ук, ^к) назовем совокупность всех тех состояний хк, для которых найдется траектория хк, удовлетворяющая включениям (1.1) при , = 1, ..., к для заданных наборов ук,
Отметим, что если состояние хк действительно реализовалось в системе (1.1) при ук, то хк е Хк(ук, ^к) ф 0. В общем случае набор не известен, и, если считать его любым из декартова произведения Ек + 1 = {^к}, то может быть Хк (ук, ^к) = 0. В ситуации, когда включения (1.1) не зависят от случайного элемента множества Хк(ук) определялись ранее в теории гарантированного оценивания [8]. Они обязательно не пусты.
Определим мультифункции
IX у) = {х : у е 6(хД)}, J(АХ У) = Р(А п IX у)Д) .
и введем рекуррентные соотношения
X, = J(Xt Ух), Ух е ед),
X = 1, ..., М, .
где Х0 = F0(Е0). Отметим, что если пары {X,, у,} формируются согласованно в силу (1.3), то обязательно X, = Xt(yt, ф 0. Ниже будет показано, что и, наоборот, если Х,(у^ Е0 ф 0, то Xt(yt, ЕО = X,, где X, - некоторое согласованное с у, решение соотношений (1.3), причем всегда X, е К(X) при сделанных выше предположениях. Поскольку элементы Е, реализуются случайным и независимым образом, из соотношений (1.3) можно отыскать всю совокупность безусловных и условных распределений случайных элементов X, в пространстве компактов К^. Сформулируем основные задачи.
Задача 1. Найти рекуррентные соотношения для безусловных вероятностных распределений последовательности {X,, у,}.
Задача 2. Используя соотношения нелинейной фильтрации, получить условные распределения элементов X, при заданном у, и рекуррентные соотношения для них.
Отдельно рассматривается параметрический случай, когда вместо (1.1) имеем равенства
хг = /(^-1, Ег, иг), Уг = ё(хг-1, Ег, ^),
г = 1,...,N .
где хо = /о(Ео, «о), и е и, V, е V. Здесь и,, V, - неизвестные детерминированные параметры, принадлежащие компактным метрическим пространствам и, V. Функции /, g, /0 предполагаются непрерывными по совокупности переменных. Полагая
F(х, Е) = /(х, Е, Ц), G(х, Е) = g(х, Е, Ц), Fо(^) = /0 (Е,
Ц), можно построить множества X, согласно (1.3). Однако здесь за счет параметрического представления (1.4) удается уточнить характер условных и безусловных распределений для мультиоценок X,. В частности, будет решена задача построения распределений для мультиоценок линейно гаус-совской системы
X = Ахг-1 + и, + Сг, Хо = Ыо + Со, иг е и, Сг ~ N(0, М), Уг = вХг-1 + V, + П, Vг е V, (1.5) Пг - N(0,2),
где х е Я", у е Rm; Ц, V - компакты; матрицы ко-вариаций М, 2 гауссовских распределений невырождены. Величины £0, ^1, П1, • • •, Плг независимы в совокупности.
2. Основные свойства мультиоценок. Положим
А,Е) = и Р( х,Е),
х е А
О(АД) = и о(х,Е).
(2.1)
Тогда справедливо следующее утверждение. Лемма 1. Определенные, согласно (2.1), мультифункции F : кф) х Н —- K(X) и G : к(x) х х Н —► К(У) полунепрерывны сверху.
Доказательство. Согласно [12, теорема 1.2.35], множества F(A, Е), G(A, Е) из (2.1) компактны для каждых А е К^, Е е Н, поскольку исходные мультифункции из (1.1) п.н.св. Предположим, например, от противного, что мультифунк-ция F из (2.1) не является п.н.св. Тогда найдется открытое множество V з F(A, Е) и последовательности А" е К^, Е," е Н, такие, что Ап —► А, Е" — Е, и F(An, Е") п Vе Ф 0, V"; Vе = X V Выделим точки а" е А„ так, чтобы F(an, Е") п VеФ 0. В силу того, что X - ЛКС-пространство, существует компактное множество В з А", V". Значит, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность а —► а* е А. В силу того, что полный прообраз
^ (Vе) = {(а, Е) : F(а, Е) п Vе ф 0} замкнут, получаем F(a*, Е) п Vе Ф 0. Но это противоречит выбору множества V. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь график Gr(G) = {(А, Е, у) : у е е G(A, Е)} мультифункции G из (2.1). Так как G -п.н.св. по лемме 1, то, согласно [12, теорема 1.2.29], график Gr(G) замкнут в произведении К^ х Н х У. Для мультифункции I из (1.2) ясно, что А п 1(Е, у) ф 0 тогда и только тогда, когда тройка (А, Е, у) е Gr(G). Кроме того, мультифунк-ция I : Н х У —- "'(X), где "(X) - совокупность всех непустых замкнутых множеств из X, очевидно, замкнута. Тогда в силу [12, теорема 1.3.3] пересечение А п 1(Е, у) является п.н.св. мультифунк-цией на Gr(G). Заметим наконец, что мульти-функция J : K(X) х Н х У —- К® из 2 как композиция двух п.н.св. мультифункций F(B, Е) и В = А п 1(Е,у) по [12, теорема 1.3.11] остается п. н. св. на замкнутом множестве Gr(G). Таким образом, применяя индукцию по ,, получаем утверждение.
Теорема 1. Мультиоценка Xk(yk, Ек), полученная в силу рекуррентных соотношений (1.3) при , = = 1, •.., к, есть непустое компактное множество для всякого к = 0, •.., N и любого набора Ек е Нк + 1 Соответствующая мультифункция Xk : Укх Нк+1 —► К(X) полунепрерывна сверху по совокупности переменных при условии, что элементы у1 для , = 1, •.., к удовлетворяют включениям в (1.3).
Отметим, что если доопределить множество Xk(yk, Ек), полагая его пустым в случае нарушения включений в (1.3) для какого-то , = 1, •.., к, то расширенная мультифункция X!,, заданная на множестве Ук х Нк + 1 и отображающая его в Ж^), останется п.н.св. Здесь и далее множество Ж^) = К^) и {0} наделяется миопиче-ской топологией [10]. Расширенная мультифункция будет даже непрерывной в тех точках, где Xk(yk, Ек) = 0. Напомним, что миопическая топология в пространстве Ж^ порождается подбазой, состоящей из семейств множеств вида Ж^ и ЖG, где F и G - соответственно произвольное замкнутое и от-
крытое множество в Х. Символом ЖУ здесь и далее обозначается семейство вида {К е Ж : К п V = 0}. По определению ЖУ = (ЖУ)С = {К е Ж : Кп V Ф 0}.
3. Безусловные распределения мультиоценок.
Поскольку второе соотношение в (1.3) является включением, вероятностное распределение пары элементов (Хк, ук), полученных в силу рекуррентных соотношений (1.3), точно не задано. В соответствии с подходом, использованным в [4, 5] и восходящим к [9], введем подходящие емкости Шоке по следующей схеме.
Обозначим через ^(Е) множество всех вероятностных мер на борелевской с-алгебре ^(Е) боре-левского пространства Е. Известно, что топологическое пространство называется борелевским [13], если оно гомеоморфно борелевскому подмножеству некоторого польского пространства. Наделенное слабой топологией [13] пространство ^(Е) само будет борелевским пространством и, в частности, метризуемо. Далее для сокращения записей будем писать Ж вместо Ж(Х). Для Ж(У) сохраним прежнее обозначение. Пространство компактов Ж в миопической топологии является, как известно [10], ЛКС-пространством, поскольку Х предполагалось ЛКС-пространством. Тогда, тем более, Ж будет борелевским пространством в силу теоремы об одноточечной компактификации [11] локально компактного пространства. Рассмотрим некоторую меру р е ^(Ж) и вероятностное распределение ц элемента Образуем декартово произведение мер р х ц на с-алгебре ^(Ж х Е). Обозначим
множество {А} х х G(A, через О (А, Очевидно, что О (А, е Ж(Ж х Е х У), причем мульти-
функция О: Жх Е —► Ж(Ж х Е х У) п. н. св. [12, теорема 1.3.17]. Введем функции множеств согласно формулам
г * (5|р) = = (рхц)({(АД) : О(А,^)п5
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.