М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2013
УДК 532.529:532.59:534.2
© 2013 г. Р. Н. ГАФИЯТОВ, Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, А. А. НИКИФОРОВ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЯХ С УЧЕТОМ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В КАЖДОЙ ИЗ ФРАКЦИЙ
Исследовано распространение акустических волн в двухфракционных смесях жидкости с парогазовыми пузырьками различных размеров и разного состава с фазовыми превращениями в каждой из фракций. Представлена система дифференциальных уравнений движения смеси, выведено дисперсионное соотношение. Выполнены численные расчеты эволюции слабых импульсных возмущений давления в данной смеси. Показано влияние фазовых превращений в каждой из фракции дисперсной фазы на эволюцию импульса давления малой амплитуды.
Ключевые слова: дисперсные системы, акустические волны, межфазный тепломассообмен, дисперсионное соотношение.
В настоящее время значительный интерес представляют исследования волновой динамики дисперсных сред. Значительное количество работ по акустике пузырьковых жидкостей посвящено теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений в монодисперсных смесях. Различные проблемы акустики многофазных сред рассмотрены в известных монографиях [1—4]. Работа [5] посвящена описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры, приведен обзор работ по распространению волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и исследований по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В [6] для смеси жидкости с газовыми пузырьками получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в плоском случае, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей. Задача о распространении малых плоских возмущений в жидкости с пузырьками газа в полидисперсном случае рассмотрена в [7].
В работе [8] рассмотрены парогазовые пузырьки, совершающие малые радиальные колебания в жидкости под действием акустического поля. Показано, что капиллярные эффекты и фазовые переходы в совокупности приводят к новой резонансной частоте мелких паровых пузырьков, отличной от миннаэртовской. В работе [9] в рамках трехтемпературной модели исследуется распространение малых возмущений в двух-компонентной двухфазной смеси. Показано, что дисперсия определяется в основном тепломассопереносом, а не эффектами скольжения фаз. Модель распространения плоских волн давления малой амплитуды в смеси жидкости с пузырьками газа представлена в работе [10]. Показано, что модель работает хорошо при объемных содержаниях дисперсной фазы 1—2% и только для дорезонансных частот. В [11] рассмотрен вопрос о затухании колебаний газовых пузырьков в жидкости и показано, что величина декремента затухания радиальных колебаний существенно зависит от физических свойств веществ. В [12] изучено распространение сферических и цилиндрических волн давления малой амплитуды в двухфазных смесях жидкости с пузырьками нерастворимого газа с учетом акустической разгрузки пузырьков, получено единое общее дисперсионное соотношение. В [13] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости
с пузырьками пара и газа для сферического и цилиндрического случая. Показано сильное влияние значения концентрации пара в пузырьках на затухание импульсных волн. В [14] изучена акустика двухфракционных смесей жидкости с пузырьками разных газов без учета фазовых превращений.
В настоящей работе впервые изучается динамика слабых возмущений в двухфракционных смесях жидкости с парогазовыми пузырьками различных размеров и разного состава с учетом фазовых превращений в обеих фракциях.
1. Основные уравнения. Рассмотрим случай двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками различных размеров и состава при наличии фазовых превращений. Линеаризованная система уравнений будет иметь вид аналогичный [13], но с учетом двухфракционности состава дисперсной фазы
др1 + Р10ди = -Т •,
дГ дх
Т' = Т'1 + Т'11
др2: + р !о ди! = J ■1
д Г дх
др7 + рI до' _ Т• I
+ р 20 й£1 = Т-и,
д Г дх
дру, II ди' Г'Н
+ р70 — = Т
дГ дх
дп
+ п0 ^ = о,
дГ дх
Р10ди! + М = 0,
д Г дх
+ пО1 ди-
дГ дх
дгТ1
= О
Р10С1
дГ
I I II II
= П0?1Е + П0 дп;
I I дТ2 _ I др2 , I I
р20^2 7— - а20 ~--+ n0g2E,
дГ дГ
.I
Л ГГ1 I II Л » II
II II дТ2 _ II др2 II II
р20с2 —-- - а20 7--+ п0 д2Е
дГ дГ
I I , I I , ТЛ II II , II II , г-Н
ЩЯъ + П0?2Е = -¡0-Т , П0 ^ + П0 = —0 Т
Т да'11
да'1 ,1 .I , — = wA + + —т— дГ 4л(а0)2п0р?0
дГ
.II л , = wA + wR +
Т'I
л / П\ 2 II о 4п(а0 ) П0 р00
(1.1)
I дw'R 10 ~
+ 4X1 w'I - £2-
£1
II дwRII , 4у! ,н р2П
а0 ^-¡7 WR = £2—
£1
Р10
дГ
а0
Р10
■I Р2 W А =
-Р1
.I
^ =
Р2 - Р1 Р?0С1(а 20)1/3'
Р1 = ОД0
.I «I гтЛ
= рЕ_ + I $ + Т2_, Р0 р20 Т0
AR1 =
0 - 0 к00Я00 + к7 0 0
.II
Р2
Р0
'О11
:Ря_ + Дд п^л + Т2 Рм 7 Т
.II
АД11 =
я11 я11 к 11 Я11 + к 11 я11
к00я0 0 + к7 0Я7 0
П
= Е ^ + О
I Р2_ Р0
е 1 = (1 _ ^0),
Я20 ¡0рГ0
ОI = ку0ЕI
= Епк£ + О11 Р^, Е11 = 40-^(1 - куо), С11 = к?йЕ11 То Ро ^20 /оРго
I ц , I 4 з I и 4 з и
а1 +а2 +а2 = 1, а2 = 3па п , а2 = 3па2п
Здесь и далее ? — время, х — координата; р°, р — истинная и средняя плотность смеси, и — скорость, р — давление, п — число пузырьков в единице объема, Т — температура; а — радиус пузырька, ^ — скорость радиального движения пузырьков; д — интенсивность теплообмена, а — объемное содержание, J — интенсивность фазовых переходов, l — удельная теплота парообразования, kj — массовая концентрация _/-го компонента дисперсной фазы, с — удельная теплоемкость, X — коэффициент теплопроводности, VI — кинематическая вязкость жидкости, С — скорость звука в несущей фазе, 4 — газовая постоянная. Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз, индексы V и G — соответственно к паровому и газовому компонентам дисперсной фазы, индекс £ — к поверхности раздела фаз; штрихи обозначают возмущения параметров, индекс 0 — начальное невозмущенное состояние, верхний индекс I относится к параметрам пузырьков первой фракции, индекс II — к параметрам пузырьков второй фракции. Согласно уточнению, приведенному в [6], будем полагать, что возмущение радиальной скорости пузырьков ^ состоит из двух слагаемых: ^' = + Слагаемое описывается уравнением Рэлея—Ламба [1], — акустическая добавка, определяемая из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в несущей жидкости в акустическом приближении.
Для определения межфазного теплообмена и кинетики фазовых переходов, аналогично работам [7, 9], примем следующие соотношения:
11 1 Ту — Т1 11 1 1 1 у — 1 2
п0о Я\у = С1р2о у 1 , п0д2у = с2Р20 1
ТТ1 ТТ 2
J' 1 _ р2о ТУЪ - кУ 1 - к1о тт
т 1 _ 4clp220(aо0^)2 ту _ 4с2Р°о(ао)2 т, _ 2^)2 . = ^ „
Тт1 _-, Тт2 _-:—:—, тт _ -, у —
Т1 ЗМщЪ, ' Т2 зЫи{Х{ т 3ShD,
Здесь Т1 — температура на поверхности раздела фаз, № — число Нуссельта, Sh — безразмерный коэффициент массообмена (число Шервуда), D — коэффициент бинарной диффузии.
Исследуем решения системы уравнений (1.1), имеющих вид прогрессивных волн [1] для возмущений ф'
Ф' = Аф ехр [; (К*х - ю?)] = Аф ехр (-К**х) ехр [; (Кх - ю?)] (1.2)
К * = К + К **, Ср = ю/К
В (1.2) i — мнимая единица, К * — комплексное волновое число, К ** — линейный зэффициент затухания. Через Ср ний, Аф — амплитуда возмущений.
коэффициент затухания. Через Ср обозначена фазовая скорость, ю — частота колеба-
2. Дисперсионное соотношение. Из условия существования у системы линейных уравнений (1.1) нетривиального решения (1.2) было получено следующее дисперси-
онное соотношение:
К
ю
2
а1о
С1 РоМ4
I ( тЛ ттИ ттИ ^
а2оР1о 1 + И\ + И\ + И2 Х1
Мз^/^ .
II ( а2ор1о
Ро^1
1 +
+ н,11 + Н2хз ^
М^ /¿Г
(2.1)
Х1 =
м4 ь"м4
м3
¿мЗп'
нн\Х
X2 = + -ЦК
Мз
м3
= м1 - ¿?м 4"
Хз I II I
мЗ ьмз
IV! з
иЫ zj-IIJ.II Н2Ь1 Н2 Ь1 , т Х4 + 2 „ , 5 =
о1
-1
мз
Мзп
кУ о
н{ =-т— ф(м{ + м(м{), н{ =-т— ф(м( - и(м1)
¿1 ТТ1 ь1 ТТ1
м{ = о1 - м{--
¿1N1
¿44
1,1 N211
м2 = 2 1 -
1
N4 ¿4 -8^
1 N{8- ¿{N1 Т1 ¿4 - ¿2^'
у - з 2 з + ¿з + м4у, м4у = 4 22
мз =
¿4 - 8^
(¿4 -8N2
1 _ с1тТ 2
Ь1 =
с2 ТТ1
_---Г1-,
Ро з(о4?А +1)
4
1 (ао)2
= ~л-'
4v1
^ = ао Т = 4с1Р2о (ао)2 Т =
А С1(а22о)1/Г Т1 з^^ ' Т2
4с2 р°о(ао)2
зми2' х2
N1 = ^ -1, N22' = /ютТ2 -1, ^ = к2(с2 - ^о) -1 + О1
2т
¿1 = Е;(тт;т -1), ¿2 =-
/ок
о«-2
(1 - куо) То
- + А41 - ¿1(1 + ¿1)
¿з = 1 - е1(1+ь/), ¿4 = + д4#2, к2; = ^^,
с2
О = куоЕ
Е =
Ро4У о
-а/ р1
■(1 - к/о), А4' = го . оо, 42о = коо^оо + куо4уо
42-
т^ , т1 , 1 = I, II
/оРуо42о 42о
Ао
Р1о Р1о
Дисперсионная зависимость (2.1) комплексного волнового числа ^ от частоты колебаний ю определяет распространение акустических возмущений в двухфракцион-ной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками различных газов (разных начальных
Фиг. 1. Зависимости фазовой скорости (а) и коэффициента затухания (б) от частоты для двухфракционной смеси воды с паровоздушными пузырьками и пузырьками гелия с водяным паром (1), монодисперсных смесей воды с паровоздушными пузырьками (2) и пузырьками гелия с водяным паром (3)
радиусов а0 и объемных содержаний а2о:] = I, II) с учетом межфазного диффузионного массообмена.
В частном случае при отсутствии фазовых превращений в двухфракционной смеси жидкости с газовыми пузырьками дисперсионное соотношение (2.1) согласуется с [14].
3. Результаты. Сравнение зависимостей фазовой скорости и коэффициента затухания от частоты возмущений для двухфракционной смеси воды с паровоздушными пузырьками и пузырьками гелия с водяным паром (1), монодисперсных смесей воды с паровоздушными пузырьками (2) и пузырьками гелия с водяным паром (3) построены с помощью дисперсионного соотношения (2.1) (фиг. 1). Использовались следующие значения параметров смеси: р0 = 0.1 МПа, Т0 = 327 К; кривые 1 построены для значений а2 = а21 = 0.005, а0 = 2 • 10-3 м, аО1 = 10-3 м; кривые 2 — а2 = 0.01, а0 = 2 • 10-3 м;
кривые 3 — а-2 = 0.01, а0 = 10-3 м. Учет двух фракций пузырьков различных начальных радиусов дисперсной фазы смеси приводит к возникновению двух л
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.