ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 5, с. 752-757
УДК 532.529:534.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В МНОГОФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ © 2015 г. Д. А. Губайдуллин, Е. А. Терегулова, Д. Д. Губайдуллина
ФГБУНИнститут механики и машиностроения Казанского научного центра РАН Казанский (Приволжский) федеральный университет E-mail: gubajdullin@mail.knc.ru Поступила в редакцию 01.04.2014 г.
Изучено распространение акустических волн в смесях газа с фракциями частиц разных материалов и размеров. Представлена математическая модель, получены дисперсионное соотношение, равновесная и замороженная скорости звука, низко- и высокочастотные асимптотики линейного коэффициента затухания, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние размеров частиц и параметров дисперсной фазы для многофракционной газовзвеси с частицами льда, алюминия и песка на диссипацию и дисперсию звуковых волн. Проведено сравнение с экспериментом.
DOI: 10.7868/S0040364415050130
ВВЕДЕНИЕ
Исследование акустики и волновой динамики многофазных сред представляет значительный интерес в связи с широким распространением таких сред в природе и использованием их на практике. Основные модели волновой динамики дисперсных сред и ряд результатов в этой области представлены в [1]. Работа [2] посвящена проблемам изучения двухфазных течений с твердыми частицами, каплями и пузырями. В [3] рассмотрены вопросы образования областей повышенной концентрации дисперсной фазы в многофазных потоках. В монографии [4] дан краткий обзор результатов по исследованию акустических возмущений в монодисперсных газовзвесях без фазовых превращений. Влияние полидисперсного состава газовзвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями выполнен в [5]. В [6] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в [7]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. В [8] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений
в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в [9].
В [10] изучено распространение акустических волн различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров без учета фазовых превращений. Особенности распространения плоских, цилиндрических и сферических волн малой амплитуды в па-рогазокапельных смесях с твердыми частицами проанализированы в [11—13].
В настоящей работе изучается распространение плоских, цилиндрических и сферических волн малой амплитуды в многофракционных смесях газа с произвольным количеством твердых частиц разных размеров и веществ с существенно различными теплофизическими свойствами.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Аналогично работе [9] в системе координат, относительно которой невозмущенная смесь покоится, линеаризованные уравнения неразрывности и сохранения импульсов фаз имеют вид
dpi dt
+ p10
dv 1 dr
)V1
r
= 0,
M dt
-Pj>
dv) dr
■eVj
= 0, j = 2,3, ...,N,
M + M + у „0 jfj = 0,
dt dr ^ 11 j=2
N
P 1С"
dVj dt
= „0 jfj,
Р10 = а„р°о, р, = а, = 4
N
а10 + X аЛ = Ь
1=2
Здесь и далее переменные с индексом 1 относятся к несущей фазе, с индексом у = 2, 3, ..., N — к частицам дисперсной фазы радиусом а у (у = 2, 3, ...,N); индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию; штрихи вверху используются для обозначения возмущенных параметров; р — приведенная плотность; р° — истинная плотность; V — скорость; а — объемное содержание; р — давление; / — суммарная сила, действующая на индивидуальную частицу дисперсной фазы; п0у — число частицу-й фазы в единице объема. При значениях параметра 0 = 0 вышеприведенные уравнения описывают плоские волны в декартовой системе координат, при 8 = 1 — цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, 0 = 2 — сферические волны в сферической системе координат.
При XN а у ^ Р° ^ Р° основными силами,
действующими на индивидуальную частицу дисперсной фазы, являются силы Стокса и Бассэ /ъ, определяемые выражениями
t
. я 1 = 6па7Ц1(у1 - V}), /Ъу = ву | — (V; - Vу)
B , =
= 6a2y"l
, fj = Lj + ÍBp
di[ _ opi ST
Pió — - a10 — 2n00jqVLj, j=y
du) _ p jó — ~ ~n0 fljb,
Qm + Qjx = 0.
Здесь i1 — удельная энтальпия несущей среды, Uj — внутренняя энергия j-го типа частиц, qi2j- — интенсивность теплообмена несущей фазы с поверхностью j-частицы, q^ — интенсивность теплообмена внутренней части j-частицы с поверхностью раздела фаз.
Тепловые потоки извне q12j- и изнутри qj-го включения к его поверхности задаются соотношениями
dpi
N
= 2п»у^и^(Т1 - Гц), Шу = 2ау рТ Д1, = 2пауХуПиу(т; - у Шу = 2»у РТ/Ху .
Здесь Т1 — температура несущей фазы, Ту — температура в приповерхностном 2-слое частицы у-го типа, Ту — температура твердых частицу'-го типа, Ки1у- и р1у- — безразмерный (число Нуссельта) и размерный коэффициенты теплообмена несущей фазы с границей разделау-го типа частиц, Киу- и
рТ — безразмерный (число Нуссельта) и размерный коэффициенты теплообмена у-го типа частиц с границей раздела, X — коэффициент теплопроводности.
Вид числа Нуссельта определяется решением сферически-симметричной задачи о тепло- и массообмене сферической частицы с окружающим газом [7]:
Nuij =
2aj
Nuj =-
(Ti -Уа,
dTi дГ
(t - Tj)
dr
J r =a, \
/ r =a
где ц1 — коэффициент динамической вязкости несущей среды.
Аналогично линеаризованные уравнения притока тепла к газовой фазе, твердым частицам и поверхности твердых частиц записываются следующим образом:
где Т1, Ту — среднемассовые температуры в ячейке
радиусом ау!^а", ау — объемное содержание включений у-типа в дисперсной смеси.
Предполагая, что газ является калорически совершенным газом, и учитывая, что в уравнения неразрывности входят возмущения приведенных плотностей, уравнения состояния несущей фазы можно записать в следующем линеаризованном виде:
pi = pi + p0т;, i[ = CpiTi, Yiaio To
cpi = const.
Уравнения состояния дисперсной фазы имеют вид
Cj = const.
Р°/ = 0 К' = сТ,
Здесь С1 — скорость звука в несущей фазе, у1 — показатель адиабаты несущей фазы, Су — теплоемкость у-й фазы, ср1 — теплоемкость несущей фазы при постоянном давлении.
Таким образом, линеаризованная система уравнений возмущенного движения многофракционной газовзвеси с твердыми частицами разных материалов и размеров в системе координат, относительно которой невозмущенная среда покоится, записывается в виде
М дг
+ Р10
дп +
дг г
V
= 0,
дРу
17+ Р»
д!1 дг
= 0,
N
д^1 др1 V
рю дд7+дг + ^
0
;=2
бпау^у^ - V') +
- V;■)
й Т
Рус
дv
дг
■ = п
оу
дт
У
(
6па - V■■) +
= о,
(1)
+ 6а
! / о Г д
л/п^1р1 ] дт
дт
N
(v1 - V')
й т
77-
РюСр1 дТ- = а10 § - X 2гсиоуаАКи1у(7Т - Ту,
У=2
дТ '
РУ0СУ = -2пп0уаухушу(ту - T¿■), ^шут; - ту + ХуКиу(т; - ту) = 0,
Р1
У 1а10
р1 + Т0 7'.
70
К* — К + /К*
ср =
ю
а = 2п
К*
Система уравнений (1) замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в полидисперсных смесях газа с твердыми частицами разных тепло-физических свойств и размеров в плоском, сферическом и цилиндрических случаях.
ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ И АСИМПТОТИКИ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ
В системе уравнений (1) вводим потенциалы скоростей фаз (у' =^-1 и будем исследовать ре-
дг
шения полученной системы уравнений в виде прогрессивных волн для возмущений
П' = Л^, (2)
где
у = ехр[/(К*г — ю?)] — для плоских возмущений,
у = И(^)(К*.г) ехр (-/юг) — для цилиндрических возмущений,
у = 1ехр[[((*г - юг)] — для сферических воз-г
мущений,
р К К
Здесь Лц — амплитуда колебаний возмущений параметров, К* — комплексное волновое число, I — мнимая единица, Ср — фазовая скорость, К** линейный коэффициент затухания, а — декремент затухания на длине волны, Н(0\г) — функция Ханкеля, являющаяся комбинацией функций Бесселя первого и второго родов нулевого поряд-
ка(#01)(г) = /0® +/ад).
Подставляя потенциалы скоростей и решения вида (2) в систему уравнений (1), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
-/юАр! - Р10К*Аф1 = 0, -/юЛу - р у0К*Л^у = 0,
( N \ N
Vт; • л , /к* л V т л п
X гт - /ю Лу1 +—ЛР1- X т* ■ = 0
ЧУ=2
Р10
У=2
/ю--
ЛУУ т* Лу1 = 0,
( N
1
— Г* =2 ТТ1У
X- /ю
\У=2
N
1Т1
/ю
о
р10ср1
ЛР1- I;
*ЛТ у = 0,
У=2
т*
тТу
- /Ю
1
Лту т* Лтъу — 0, тту
1р1
г* ' тТ1у
'р*
Т1у
тс
1т ъу
¥ Лту — 0,
с 2
с1
У1аю
рю
Лт1 - Лр1 - 0,
(3)
*
1 - / .л/2
(Ютщу)
1/2
о 2
2 РуОу 9 !
тц1у —
у2 Р1 ау
* _ 1 «1 тиу
тТ1у — "
3 ау 1 + гц
= 3т
V
[Згу - (3 - ^у], г^Ьг.- - г,)
г1у = ^(ЮTЯJУ)V2, гу = 1-2г(ютv)V2,
ту
т
Р1
N
= X
у=2
к, - Х1 К1 - о ,
Р1ср1
иу к/
V
к
к --у
ку -Р0су ■
Из условия существования нетривиального решения у системы линейных алгебраических уравнений (3) получено следующее дисперсионное соотношение:
ю
= V (ю) Б (ю),
(4)
где
N
V И = 1 + Хг
т у
- - гюх* у
У=2 ^
—% _ %
ТТу -
тс т*
ср1
Б (ш) = 1 + (У1 -1)-
N
У
у=2
Ср1 1 - ¡ШТТ*
N
1+Т
1
у=2
ср1 1 - тъ
Ту
Выражения для равновесной Се и замороженной С скоростей звука в многофракционной газовзвеси могут быть получены из дисперсионного соотношения (4) при предельных переходах ю —> 0 и ю —> да соответственно и имеют следующий вид:
С = С1 [у е/т1У1]1/2, С/ = Си
тс у
т
1 - У^
N с
1 = 1 + У ^ У е = -¿ТГ^
у=2
1 - Т
У1 - ср1
Низкочастотная асимптотика линейного коэффициента затухания К**, справедливая для частот юх^ <§ 1, запишется как
К о
( ч (та + а2а,) 2
(ю) _ I- ю ,
2С1 ут1а0
а
1+(- ^ 1 = 'г—;1 [«1 -п. ,
N
11 =1 + у mj,
2- У mУTvУ, Ъ = У у=2
N ( ^
т,сп,-
у=2 СР1
П1 = У
у =2
ТХ1уС2у тус2уТХ2у
3т°Ср1
15с
р1
у=2
N N
_ у— у
у=2 Ср1 ~~2Ът'Ср1
N N N
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.