БИОФИЗИКА, 2015, том 60, вып. 2, с. 337-342
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 538.95
Р АСП P О СТР АНЕНИЕ АВТОВОЛН В КАПИЛЛЯР АХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ДВИЖУЩЕЙСЯ ВЯЗКОЙ ВОЗБУДИМОЙ СРЕДОЙ
© 2015 г. В.А. Давыдов, Н.В. Давыдов
Московский государственный техническийуниверситет радиотехники, электроники и автоматики,
119454, Москва, просп. Вернадского, 78 E-mail: davydov@mirea.ru, vadavydov@yandex.ru Поступила в p едакцию 23.11.14 г.
Рассмотрено распространение автоволн в движущейся жидкой возбудимой среде. В рамках кинематического подхода определены формы автоволновых фронтов для случаев куэттова и пуазейлева течений в плоских капиллярах. Показано, что автоволновые фронты должны рваться при достижении скоростью потока определенных критических значений. И сследована возможность появления диодного эффекта - односторонней проводимости капилляра. Результаты проведенных численных экспериментов находятся в хорошем соответствии с теорией.
Ключевые слова: нелинейность, автоволны, капилляры, кривизна, возбудимые среды.
Автоволновые процессы в активных, в частности, возбудимых ср едах играют существенную роль во многих нелинейных физических, химических и биологических системах [1]. Возбудимые ср еды состоят из локально связанных друг с другом активных элементов, способных формировать импульс в ответ на приход внешнего сигнала. Импульсы, распространяющиеся в возбудимых средах, часто называют автоволнами. Свойствами возбудимых сред обладают нервные и мышечные ткани, колонии микроорганизмов, ряд химических растворов и гелей (в частности, знаменитая реакция Белоусова-Жаботинского), магнитные сверхпр оводники с током и другие системы.
Как правило, возбудимые среды описываются системой нелинейных параболических уравнений типа «реакция-диффузия»:
DAT?,
(1)
где ? - вектор состояния элемента рного объема возбудимой ср еды. Так, в химической ср еде его компоненты представляют собой концентрации реагентов, матрица Ъ определяет коэффициен-
ты диффузии, а нелинейная функция ¥(Ь) задает скорости химических реакций в элементарном объеме. В других системах компоненты вектора состояния могут иметь смысл температуры, потенциала и т.д., а элементы матрицы Т) могут быть коэффициентами теплопроводности или проводимости. Чаще всего для моделирования пользуются двухкомпонентной моделью, когда
система (1) состоит из двух уравнений. В этом случае компоненты вектора состояния называются активатор и ингибитор.
Многие возбудимые ср еды пр едставляют со -бой жидкости. Макроскопические движения в такой жидкости могут оказывать самое существенное влияние на характер протекающих в ней автоволновых процессов. Волновые фронты могут деформироваться и рваться [2,3], что порой приводит к хаотизации процессов.
В настоящей работе мы исследуем автоволновые фронты, распространяющиеся в плоских капиллярах, заполненных движущейся вязкой возбудимой ср едой. Градиенты скоро сти движения среды, возникающие вследствие вязкости, как мы увидим, искажают форму стационарного автоволнового фронта и приводят к появлению новых интер есных эффектов. Отметим, что ряд эффектов в капиллярах, заполненных покоящейся активной ср едой, рассмотрен в ра -боте [4].
Для получения аналитических результатов мы воспользуемся аппаратом так называемого кинематического подхода [5,6]. При кинематическом описании автоволна задается указанием линии ее фронта. Каждый участок фронта смещается по нормали со скоростью V = У(к), определяемой локальной кривизной к на этом участке. Для слабоискривленных фронтов зависимость У(к) линейна:
V (k) = V 0 - Dk,
Эк дк д + д1
I
+ к 2У +
0
Э2У
ЭР
= 0.
и = и,
у+1
к 2
V У
тичееки совпадает с коор динатой у. Скор о сть участка сечения фр онта имеет вид:
Рис. 1. Форма фронта в плоском капилляре с движущейся верхней плоскостью (течение Куэтта).
где У0 - скор о сть плоского фр онта, В - коэффициент диффузии активатор а. Фор ма фр онта задается натур альным ур авнением, котор ое связывает кр ивизну линии фр онта и длину дуги I. Эволюция автоволны на плоскости описывается о сновным кинематическим ур авнением, котор ое для фр онта без разр ывов имеет следующий вид:
(3)
ПЛОСКИЙ КАПИЛЛЯР С КУЭТТОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ
Рассмотрим плоский капилляр, образованный двумя пло скостями, пар аллельными о си х и пер пендикуляр ными о си у (р ис. 1) и р аспо-ложенными на расстоянии к друг от друга.
Пусть верхняя пло скость движется гор изон-тально вдоль о си х со скор о стью и0. В этом случае реализуется так называемого течение Куэтта с линейной зависимостью скор о сти потока и от координаты у (начало координат у = 0 находится на о си симметр ии капилляр а):
(4)
Р а ссмотр им стациона р ный автоволновой фр онт, р а спр о стр аняющийся вдоль о си х. В случае, когда верхняя плоскость неподвижна, фр онт пр едставляет собой движущую ся со скор о стью У0 часть плоскости, пар аллельную о си у. При увеличении и0 фр онт будет постепенно искривляться. Найдем форму линии сечения фр онта плоскостью г = со^. Аналитическое решение основного уравнения кинематики (3) удается получить в случае слабо искр ивленных фр онтов (для малых значений и0). В этом случае любой участок сечения фр онта р аспр о стр аня-ется практически параллельно оси х , а его длина I (отсчитываемая от о си капилляр а) пр ак-
V = у 0 - Вк + и0
у + 1
к 2
У
(5)
При этом общее решение линеаризованного кинематического ур авнения (3) оказывается весьма пр о стым: к = к0 + Ау, где к0 и А -некоторые константы. Эти константы легко найти из следующих соображений. Во-первых, вследствие непроницаемости границ капилляра, автоволновой фронт должен подходить к ним
Э ^ п
по но р мали. Это значит, что —у = 0 пр и у =
±к/2. Диффер енцир уя соотношение (5), находим и0
константу А: А = Кроме того, касательные
к фр онту в точках у = ±к/2 пар аллельны др уг
к / 2
др угу. Это означает, что ^кйу = 0 (напомним,
-к / 2
что этот интегр ал пр едставляет собой пр ир а -щение угла наклона касательной в точке у = к/2 по отношению к точке у = -к/2). Из р а -венства нулю этого пр ир ащения следует, что к0 = 0. Таким образом, натуральное уравнение, описывающее фор му линии сечения фр онта, имеет следующий вид:
: Вк,
(6)
а само сечение фронта представляет собой часть спир али Кор ню. На р ис. 1 изобр ажена типичная фо р ма этого сечения, полученная в рамках кинематического подхода. Фор ма сечения стационар ного фр онта, р аспр о стр аняющегося пр отив оси х , получается из уравнения (6) простым изменением знака скор о сти и0.
Скорость фронта относительно неподвижной системы отсчета получается подстановкой ур авнения (6) в (5):
V = V 0 + Т
(7)
Опр еделение фо р мы сечения фр онта и ср ав-нение его с уравнением (6), а также проверка пр о стого соотношения ур авнения (7) являлись одной из целей наших численных экспериментов с двухкомпонентной системой (1), резуль-таты которых приводятся ниже.
и
к
и
ПЛОСКИИ КАПИЛЛЯР С ПУАЗЕЙЛЕВЫМ ТЕЧЕНИЕМ
Р а ссмотр им тепер ь плоский капилляр, жидкая возбудимая ср еда в котор ом движется под воздействием разности давлений на входе и выходе. Такое течение называется пуазейлевым. П р и этом зависимо сть скор о сти ср еды от координаты у описывается квадратичной функцией [7]:
и = и
_4
к2
1 - 2
где и0 - скор о сть жидко сти в центр е потока. Решением линеаризованного кинематического ур авнения является следующая зависимость к р ивизны от коор динаты у:
к =
3П
2
1 - ^
У = У 0 + 3 ио-
(8)
Рис. 2. Форма фронта в плоском капилляре в случае течения Пуазейля.
исг = 2°к сг.
(11)
(9)
С оответствующая фор ма фр онта пр едстав-лена на р ис. 2. Обр атим внимание на то, что кривизны в центре капилляра и на его границах отличаются по абсолютной величине в два раза. Что касается фор мы фр онта, р аспр о стр аняю-щегося п р отив о си х, она получается из ур авнения (9) заменой знака и0. И спользуя ур авнение (9), можно получить скор о сть фр онта относительно неподвижной системы отсчета:
(10)
Соотношение уравнения (10) наряду с (7) может быть проверено в численных экспериментах на уравнениях «реакция-диффузия».
КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ДИОДНЫЙ ЭФФЕКТ
В р аботе [8] В.С. Зыков показал, что пр и до статочно большой кр ивизне фр онта, пр евы -шающей кр итическое значение к сг, устойчивое р аспр о стр анение автоволны становится невозможным. П р и этом фр онт, как пр авило, р вется в области, где его кр ивизна пр евышает кр ити-ческую.
Из уравнений (6) и (9) следует, что при увеличении скор о сти и0 кр ивизна фр онта увеличивается. Мы, следовательно, вправе ожидать, что пр и увеличении скор о сти и0 до некоторого критического значения исг кривизна фронта превысит ксг и волна разорвется. В случае течения (4) величина критической скор о сти может быть получена из ур авнения (6) пр и подстановке к сг вместо к (у = к/2):
В случае фр онта, р а спр о стр аняющегося пр о -тив о си х, к р итическая к р ивизна также описы -вается соотношением (11). Таким обр азом, устойчивое р а спр о стр анение стационар ного фр онта в случае течения (4) возможно только, если скор о сть и0 до статочно мала и не пр евы -шает значения 2Вк сг. Отметим также, что кр и -тическая скор о сть не зависит от шир ины капилляр а.
Еще более интересный результат получается для пуазейлева течения (8). Из ур авнения (9) следует, что самое большое значение кр ивизны достигается в центре капилляра, если волна р аспр о стр аняется вдоль потока. Подстановка к = к сг в ур авнение (9) пр и у = 0 дает значение кр итической скор о сти: исг1 = 3Вк сг, и пр и до с-тижении потоком этой скор о сти волна должна р азорваться в центр е капилляр а. Если же фр онт р аспр о стр аняется пр отив потока, то кр итиче-ская кривизна будет достигнута вблизи границ капилляр а (у = ±к/2), а соответствующая кр и -тическая скор о сть будет вдвое меньше: 3
исг2 = -^рк сг. Таким обр азом, в интер вале ско-3
ростей 2^ксг < и0 < 3Вксг капилляр с пуазейле-
вым течением работает как автоволновой диод, допуская устойчивое р аспр о стр анение волн только в одном направлении, а именно вдоль потока жидко сти. Отметим, что диодные свойства обнаружены у некоторых неод
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.