МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Н.К. АХМЕДОВ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В РАДИАЛЬНО-СЛОИСТОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
В [1-3] показано, что спектр однородных решений для слоистых тел с чередующимися жесткими и мягкими слоями делится на "низшую" и "высшую" части. Причем низшей части спектра всегда соответствует некоторая прикладная теория. В [4] метод, развитый в [1-3], обобщен на задачи стационарных крутильных колебаний радиально-неоднородного цилиндра и дано обобщение на динамический случай прикладной теории, построенный в [2].
В данной работе с помощью аналитических и численных методов исследуется распространение крутильных волн в радиально-слоистом цилиндрическом волноводе.
1. Рассмотрим распространение стационарных крутильных упругих волн в радиально-слоистом цилиндрическом волноводе, состоящем из чередующихся n = 2h - 1 жестких и мягких слоев. Будем предполагать, что внешние слои жесткие. Каждый жесткий слой снабдим нечетным номером j = 1, 3, ..., n, а мягкий - четным i = 2, 4, ..., n - 1 (порядок нумерации от центра цилиндра). Для простоты предположим, что модули сдвига Gj = Gg, Gi = G¡ и плотности m,j = mg, mi = m¡ всех жестких и всех мягких слоев одинаковы. Внутренний и внешний радиусы k-го слоя обозначим г0к и г1к соответственно. За относительную характеристику жесткости примем малый параметр p = G¡/Gg.
Уравнение движения k-го слоя в цилиндрической системе координат имеет вид [5]:
(к) (к) „ (к) -.2 (к) ЭоРФ ЧФ _ d uФ
(к) (к) , >- ч „ , (к) (к)
ное время; иф = иф (р, q, т) - компонента вектора смещений к-го слоя; Орф , аф^ -
+ + = Мк (1.1)
Эр Э^ р к Эх2
где р = т/т1п, £ = Цт1п - новые безразмерные координаты; т = (¿/т1п),уG0/т0 - безразмер-
т( к) ->рф
компоненты тензора напряжений к-го слоя; «фк) = ифк) /т1п, Gк = Gk/G0, тк = тк/т0,
°ркф! = °Тф) сф^1 = с^ /G0 (к = 1, п) - безразмерные величины; G0 и т0 - некоторые характерные параметры, имеющие размерности модулей сдвига и плотности.
Компоненты тензора напряжений к-го слоя, срф , сф^1 выражаются через компонент вектора перемещений следующим образом [5]:
с® = Gk(дифк)/Эр - «фк)/р), сфк^) = GkЭмфк)/Э£ (1.2)
Соединение слоев будем считать жестким, что означает выполнение следующих условий сопряжения
с?ф(Ры ^ т) = срф+ 1)(Ро5 +1. ^ т)
«ф°(р!Д,Т) = «ф' + 1)(Ро« +1.^,т) (' = 1 п -1 )
Предположим, что боковая поверхность цилиндрического волновода свободна от напряжений, т.е.
ССРохЛт) = 0, °РФ( U.T) = 0
(1.4)
Решение задачи, полученное после подстановки (1.2) в (1.1), (1.3), (1.4), ищем в виде
uk (р)e
¡a -
В результате имеем спектральные задачи:
,, 1 ,
uk + - uk +
í2 2
-Г" a e
LVck
2
Р
(1.5)
(1.6)
(u1" V Р)| р0, = (Un " UJP)\ 1 = 0
=u
s + 1
p0s + 1
Gs( u's " Us/P)\pís = Gs +1( us + 1" us + 1/P)|p0s + 1
(1.7)
(1.8) (1.9)
где О - безразмерная частота; ек = (Ок/шк)112; к = 1, п; я = 1, п -1.
Краевая задача (1.6)-(1.9) содержит два спектральных параметра О и а. Определение волновой картины в радиально цилиндрическом волноводе связано с построением дисперсионных кривых а( = аг(О).
При всяком вещественном О задача (1.6)-(1.9) имеет конечное число вещественных собственных значений и счетное множество чисто мнимых собственных значений. Вещественным собственным значениям аг спектральной задачи (1.6)-(1.9) соответствуют однородные волны, распространяющиеся вдоль оси цилиндра и осуществляющие перенос энергии. Мнимые собственные значения а { определяют неоднородные волны, не переносящие энергию.
Для радиально слоистого цилиндрического волновода построение дисперсионных кривых в полном объеме можно осуществить, только сочетая аналитические и численные методы. Чтобы повысить эффективность численного анализа, необходимо дисперсионные кривые а( = а/О) идентифицировать с помощью некоторых "реперных точек" и найти возможные асимптотики этих кривых. В качестве "реперных точек" можно взять собственные значения задачи (1.6)-(1.9) при О = 0 либо собственные значения (1.6)-(1.9) при а = 0.
Первая задача прир ^ 0 исследована в [2]. Задача (1.6)-(1.9) при а = 0 описывает толщинные резонансы. В плоскости (а; О) каждая кривая пересекает ось частот в точке (0; Ог), где О{ - частоты толщинного резонанса и является началом дисперсионных кривых.
Изучим множество толщинных резонансных частот. Для этого исследуем следующую задачу, положив а = 0 в (1.6)-(1.9):
1
+ - uk Р
2
Q2
2
Р
0
(uí- u1/Р)|р01 = (u'n " un/P) I1 = 0
*s + 1
Pоs
(1.10)
(1.11) (1.12)
ф
0
k
u
s Р1
u
u
sl Р
1 s
и'я _ М5/р)|р^ = Ся +1 (и'я + 1- + ,, (к = 1, п; я = 1 п-1)
Р05 + 1
(1.13)
2. Проведем анализ спектральной задачи (1.10)-(1.13) при р ^ 0. Будем различать два случая: С1 ^ 0, - фиксировано и ^ С1 - фиксировано.
Выделим слой с номером к и рассмотрим для него следующую вспомогательную задачу:
1
и„ + - иу +
О_±
2 2 .ек Р .
и
к],
У-> ик
ик = 0
К
|р0к " " |р1к " Решение (2.1), (2.2) имеет вид
ик = —[_ ук^(1к1)(р1к> Р) + У+ ^1к1)(Рок Р)] ¿п(О)
0°) = Рок)^Р:к) _ <ОРк)^Р Р) = ■/( ^Т Р^к) Г.( Ор) _ /.( Ор) Г,(
(2.1) (2.2)
(2.3)
где 1,, У, - функции Бесселя первого и второго родов соответственно, , = 0, 1; 0 = 0, 1;
q = 071.
Возвращаясь к исходной задаче (1.10)-(1.13) и удовлетворяя с помощью (2.3) условиям (1.11)—(1.13), получим однородную алгебраическую систему:
А(О; р)и = А0(О)и + рА1(О)и = 0
(2.4)
Здесь, учитывая У+ = У_ +1, введем 2Н-мерный вектор вида и = (V1, V +, У3, У+, ..., V_ , У+ )г (Н - число жестких слоев); А0, А: - блочные матрицы вида
А0
А10) 0 Д0)
0
0 Аз ... 0
0 0 ... А
(0)
А1 =
(1) 2
А
(2) 2
0
(3) а(!) . л (4) А(2)
2
0 0
А4 + А2
0 0
4
0 0
0 0
,(3)
п _3
0 0
А°) + А(4)
Ап _ 1 + Ап _ 3
А
,(3)
А
0 0
(2)
п-1
(4)
А(0 =
L^Q)
Jj) Aj)
U(( U(2
Áj) Aj) "21 "22
А( ( ) = 0 0 , a(2) 0 0
------------------ 0 (i) ------------------ 4?(О) (i) - "(2 0
А(3) = 0 (i) , A(4) = --------(-------- (i) - "22 0
------------------ l^q- 0 0 L((!() (О) 0 0
(к) "(1
2С(О) - ^р0^(О)
(к) (2
2 П
(к) "2(
2, п'
(к)
22
2 4?(О) -Q Р(кЬ((к0)(О)"
] = 1, 3, ..., п; I = 2,4, ..., п -1; к = 1, 2, 3,..., п
Для изучения спектра матрицы A(Q, р) при р ^ 0 исследуем спектр предельной матрицы A(Q, 0) = A0(Q). Спектр А0(О) является объединением спектров матричных блоков ее составляющих:
п
Л,( о) = и Л. (0)
} = 1,3,.
Здесь Л^(0) - спектр оператора A0(Q), а ЛДф - спектры операторов (О), представляющих собой двумерные матрицы.
Рассматриваемый предельный случай A0(П) и = 0 (А(0) и. = 0, и. = (V- ;У+)Т) соответствует условию отсутствия напряжений на боковых поверхностях к отдельных несвязанных между собой жестких слоев.
Приравнивая определители А.0*1 нулю, получим
о2
Ак (О) = — L^(Q) -
2О (к)
ек Р( к
0( (О) -
2О (к)
ек Рок
(О) +
ь[к(\О) = 0
р0кр(к
(2.5)
Таким образом, каждая ветвь Л/(0) состоит из собственного значения О0 = 0 и счетного множества собственных значений, которые представляют корни уравнения
L00)(O) -
2 ек
lO^Q) -—к- L(0 (О) + 2 Ор к 0 Ор0к 0 О2р0кр к
2ек
г( к).
4 ек
L(n)(Q) = 0
(2.6)
Предельный переход при р ^ 0 невозможен, если О является корнем одного из уравнений
L (((О) = 0
(2.7)
к
Это указывает на возможность существования дополнительных ветвей у предельного спектра. Для определения возможности существования дополнительных ветвей у предельного спектра, соответствующих случаю ^ - фиксировано, рассмотрим следующую вспомогательную задачу
1
2
и„ + - и^ +
0
О_±
2 2 ек Р
Ск(ик_ ик/Р)|Р0к = Ск(ик _ ик/Р)|Р1
Решение (2.8) имеет вид
=
(2.8)
Ск Лк (О)
IО Орш Р) _ р- ¿и (Рш Р) )+
ек Р1к
+ (От(к), ч 2 т(к), ч + т(р0к> Р) _ —¿п (р0к> Р)
ек Р0к
(2.9)
Удовлетворяя с помощью (2.9) условиям (1.11)—(1.13), получим В(О; р)^ = В0(О)^ + рБ1(О)^ = 0
(2.10)
Здесь с учетом
ж«
0 и = +1 введен вектор w = (, , , ,
_ 1, 1 )т, где В0(О), В1(О) - блочные матрицы вида
В
в20) 0
0 в
(0) 4
0 0 ... в
0 0
(0) п _1
В1 =
В11) + в34)
В
(2)
В
(3)
в31)+в54) в52)
0 0
0 0
в(3) в( 1) + в( 4)
вп_2 вп _2 + вп
в(0) =
Л; (О)
Ь(;) и(;) Ь21 ь22
в?> =
в(3) =
1
Л/О) 1
■Л Л) 22
0 0
_&2? 0
Л ,(О)
0 _ь
0 0
в(2) =
1
вГ> =
Л Л (О) 1
Л Л (О)
0 0
_Ь12) 0
0 0
0 _ь11)
и
к
+
0
3
3
b(k) b11
2 LflcQ) - 0Lf0)(Q>; b1k2
Pik
nPok
b(k> -b21 -
b(k> -b22 -
2-L(iki>(Q) -0 L0ki>(Q)
t-1
пР1к Р1к ек
к = Т7й; г = 2, 4, ..., п -1; / = 1, 3, ..., п
Обозначим спектр предельного оператора Б(О, 0) = Б0(О) через Лг(0), где
п-1
Л1 (0) = и Л;( 0 )
1 = 2,4, ...
Каждая ветвь Лг(0) соответствует условию отсутствия перемещений на боковых поверхностях мягких слоев и определяется корнями уравнения (2.7).
Применяя теорию возмущений линейных операторов [6] к алгебраической системе (2.4), (2.10), сформулируем следующую теорему.
Теорема. Спектр Л(р) задачи (1.10)-(1.13) представляется в виде Л(р) = Л0(р) и и Л1(р) и Л2(р), причем
1). Л0(р) состоит из двукратного собственного значения О = 0 и из 2(й - 1) собственных значений вида
~ 1/2 3/2 ч
О, - p п, + O (p )
(2.11)
где п - ненулевые собственные значения однородной якобиевой алгебраической системы
CX - п2DX - 0
C -
-с
11
0... 0
с11 -(с11 + C33) с33-
0 0 0...с„
(2.12)
D - diag||djj\\, X - (X1, X3,..., Xn)T
4 4
d.. -PjJP0i с..
jj 4 jj
2 p 2. P 0.+2
2 2'
p0, j + 2 - p1 j
j - 1,3,
2). Л:(р) состоит из й множеств собственных значений вида О г = О + О (/)
где Оуй - корень уравнения (2.6).
3). Л2(р) состоит из й - 1 множеств собственных значений вида
О,7 = О1Чо + О (р§)
(2.13)
(2.14)
где О1/0 - корень уравнения (2.7).
Здесь 5 = 1, если О/Ю ф О/ + 1г0, О/-г0 ф О/ - 1г0 и 5 = 1/2, если имеет место хотя бы одно из равенств О/Ю = О/ + 1Ю, О/г0 = О/ - 1/0.
k
с
11
Рассмотрим построение асимптотических приближений в окрестности (а, О) = (0; 0). При О = 0 точка а = 0 является двукратной точкой спектра (1.6)-(1.9). Учитывая это, будем искать решение задачи (1.6)-(1.9) в окрестности (а, О) = (0; 0) в соответствии с методами теории ветвления [7]:
а2 = й2 О2 + й2 О4+ ...; ик = ик 0 + О«к1 + ...
(2.15)
Подстановка (2.15) в (1.6)-(1.9) приводит к некоторой реккурентной системе, пос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.