РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 11, с. 1382-1389
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК :535.02.004
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В СРЕДЕ С АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ © 2004 г. И. Л. Расковская
Поступила в редакцию 15.04.2004 г.
Получены аналитические выражения, описывающие искажения комплексной амплитуды лазерного пучка в среде со слабым возмущением показателя преломления, вызванным акустической волной. Исследованы эффекты, связанные с пространственной ограниченностью пучка, рассмотрены искажения его огибающей, обусловленные интерференцией составляющих пространственного спектра. Дано описание рефракционных и дифракционных эффектов на основе единого представления для широкого диапазона соотношений длины акустической волны и радиуса пучка. Проведено теоретическое обоснование интерференционного, рефракционного и теневого методов определения акустического давления.
ВВЕДЕНИЕ
Необходимость исследования искажений лазерных пучков в среде при наличии акустической волны возникла в связи с применением метода лазерной доплеровской анемометрии [1] для определения параметров звукового поля в жидкости. В работе [2] показано, что, измеряя лазерным до-плеровским анемометром (ЛДА) амплитуду колебательной скорости микрочастиц, находящихся в среде, можно определять интенсивность акустического поля. При этом роль "измерительной линейки" для определения величины смещения частицы играет сетка интерференционных полос в области пересечения двух лазерных пучков. Привлекательность указанного метода заключается в возможности определения именно локальных акустических параметров в области расположения частиц, причем без нарушения структуры исследуемого звукового поля. При этом должны быть известны пространственно-временные характеристики пучков в измерительном объеме. При теоретическом обосновании доплеровских лазерных методов измерений скорости частиц для описания пучка традиционно используется модель плоской волны, не учитывающая распределения его фазы и амплитуды в поперечном сечении. Однако, как показали проведенные ранее исследования [3], из-за наличия модуляции показателя преломления среды звуковой волной (за счет колебаний ее плотности) возможно существенное для измерений искажение лазерных пучков, причем ряд эффектов связан с амплитудной и фазовой неоднородностью в сечении пучка.
Цель работы - анализ распространения лазерного пучка с учетом его пространственной ограниченности в среде со слабым периодическим изменением коэффициента преломления, вызванным акустическим полем, при различных
соотношениях длины акустической волны Ла и радиуса пучка л. Данная работа является продолжением начатых в [3-5] исследований и посвящена главным образом изучению искажений комплексной амплитуды лазерного пучка, проявляющихся, например, как искривление поверхности фазового фронта, смещение или модуляция огибающей.
Искажение фазового фронта лазерных пучков в акустическом поле рассмотрено в [4, 5], но при этом оптическое поле аппроксимировалось плоской волной без учета пространственного масштаба пучка л. Влияние акустического поля на огибающую лазерного пучка исследовано в различных аспектах в ряде работ (см., например, [6-8]). Как правило, исследовали рефракционные эффекты без искажения формы пучка [6] при л < Ла, либо рассматривали дифракцию пучка в дальней
зоне при фиксированном отношении Л [7] и при
Ла
л > Ла [8].
В данной работе получено представление для комплексной амплитуды лазерного пучка, справедливое в широком диапазоне соотношений л и Ла, позволяющем охватить как дифракционные, так и рефракционные эффекты и рассмотреть мало исследованную переходную область л ~ Ла. Причем в отличие от моделей сред с относительно большим изменением показателя преломления 5я, используемых при рассмотрении рефракционных дефлекторов лазерного пучка или акус-тооптических модуляторов Брегга и Рамана-Ната [8], в данной задаче предполагаем слабые отклонения 5я, но достаточно протяженные дистанции в среде, составляющие десятки или сотни Ла в ультразвуковом диапазоне. Выбор модели слабонеоднородной среды связан с практической необходимостью исследования условий малых иска-
жении пучков, при которых еще возможно решение обратной задачи определения акустического давления с допустимой погрешностью. Кроме того, в отличие от указанных выше работ рассматривается распространение пучка под углом к фронту акустической волны, что, с одной стороны, является обобщением полученных ранее результатов, а, с другой стороны, позволяет не учитывать искажения, связанные с "волноводным" распространением пучка.
Заметим, что предлагаемый анализ распространения лазерных пучков в средах с бегущей акустической волной интересен не только для указанной выше прикладной задачи, но и для определенного класса слабонеоднородных периодических сред, в частности для сред, в которых существует одновременно несколько масштабов неоднородности (например, для звукового поля со спектром, соответствующим некоторому диапазону Ла). Кроме того, проведенное исследование является теоретическим обоснованием рассмотренных ниже рефракционного, теневого и интерференционного методов интегральной оценки интенсивности акустического поля.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математическая модель и геометрические параметры задачи иллюстрируется рис. 1. В области г ^ 0 находится среда с распространяющейся в
ней акустической волной, Ка - акустический волновой вектор, Ка = Л— . Лазерный пучок с эффек-
* '-а
тивным радиусом w распространяется в плоскости > 2 п
XOZ, к - оптический волновой вектор, к =
(X, г)
2w<
X '
Рис. 1. Геометрические параметры задачи.
вать, а восстанавливать только в конечном результате.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для решения поставленной задачи поле пучка представим в виде пространственного спектра, а описание распространения каждой спектральной составляющей в неоднородной среде проводим в рамках приближения геометрической оптики с использованием метода возмущений эйконала и амплитуды [9]. Оптическое поле в точке наблюдения является суперпозицией парциальных волн, интерференция которых с учетом возмущений приводит к искажениям амплитуды и фазы пучка. Использование понятия геометрооптических лучей для парциальных волн налагает следующее ограничение на дистанцию г при заданных X и Ла:
где X - длина оптической волны в среде, а - угол, который составляет ось пучка с осью г при г = 0. Далее в соответствии с условиями измерений на основе ЛДА будем предполагать sin а < 1.
Пусть E(x, y, 0) - комплексная амплитуда поля пучка при г = 0 на входе в среду, показатель преломления которой модулируется акустической волной и может быть представлен в виде
Ц « 1.
Л2
(2)
Условия отсутствия каустик в соответствии с [9] имеют вид
n(x, y, г, t) = n0 + An(x, y, г, t), г > 0,
(1)
5n . 2
sin а
< 1, 5n
Л^т а
^ 1, а* 0,
(3a)
причем выполняется соотношение 5п = — <§ 1,
п0
где п0 - показатель преломления невозмущенной среды, Дн - максимальное отклонение от значения п0. Требуется определить комплексную амплитуду Е(х, у, г, 0 в среде в точке наблюдения (х, у, г) в момент времени Заметим, что рассматриваемая задача является квазистационарной, т.е. зависимость от £ в процессе решения можем не учиты-
5n < 1, а = 0. Л2
(36)
Комплексную амплитуду оптического поля при г = 0 представим в виде
E( x, y, 0) = exp {ikx sin а} A (x, y, 0),
(4)
2
где А(х, у, 0) - комплексная амплитуда при а = 0. Разложим Е(х, у, 0) в спектр по плоским волнам с параметрами кх и ку:
х
E(x, y, 0) = exp{ikxsinа}х J J F(kx, ky) exp {i (kxX + kyy)} dkxdky,
(5)
где F(kx, ky) - комплексные амплитуды спектральных составляющих,
F(kx, ky) =
= ——- J J A(x, y, 0)exp{-i(kxx + kyy)}dxdy, (2n) J J
(6)
kx = k sin ax - k sin a,
ky = 0.
(7)
В соответствии с [9] фаза каждой спектральной составляющей в точке наблюдения (х, у, г) может быть представлена в виде
ф( x, y, г, kx, ky) = (kx + k sin a)x + kyy + + zjk2 - (kx + k sin a)2 - kl + Лф
(8)
и определяется путем интегрирования значений показателя преломления (1) вдоль соответствующего геометрооптического луча. Первые три слагаемых в (8) соответствуют фазе парциальной волны в невозмущенной среде, а последнее слагаемое определяет возмущение фазы Дф из-за присутствия звукового поля:
Дф(х, у, г, кх, ку) = 5п/(х, у, г, кх, ку). (9)
Функция /(х, у, г, кх, ку), обозначаемая в дальнейшем для краткости /, характеризует проявление акустооптического эффекта (АОЭ) [5], и вид ее зависит от конфигурации акустического поля.
Поле в точке наблюдения (х, у, г) представляет собой суперпозицию парциальных волн с учетом условий их распространения:
E(x, y, z) = JJ -
F(kx, ky)
где величина у(кх, ку, х, у, г) учитывает расходимость лучей в неоднородной среде и определяется на основании уравнений переноса [9] для каждой спектральной составляющей.
Для пучков с узким пространственным спект-
ром
* « i
w
возможны дальнейшие упрощения.
В показателе экспоненты разложим в ряд функции, зависящие от кх и ку, в точке кх = 0, ку = 0 и ограничимся членами разложения до второго порядка включительно. Будем считать для определенности, что акустическая волна распространяется вдоль оси 0Х, тогда
f = fo + f kx + f k\,
(11)
а направление распространения соответствующих плоских волн характеризуется вектором с компонентами (kx + k sin a, ky, Jk2 - (kx + k sin a)2 - ky;). На рис. 1 в плоскости XOZ изображен геометро-оптический луч, образующий с осью 0Z угол ax и соответствующий парциальной плоской волне с параметрами
где /0, /' и /" - соответственно значение функции, ее первая и вторая частные производные по переменной кх в точке кх = 0, ку = 0. Производные по ку в рассматриваемом случае, когда пучок распространяется в плоскости ХОЪ и К а ||0Х, имеют порядок
о I 5 и
w
, и слагаемыми, содержащими эти произ-
водные, можно пренебречь. Тогда на основании (9)-(11) с точностью до квадратичных членов разложения функций в показателе экспоненты (10) представление для комплексной амплитуды лазерного пучка в точке наблюдения имеет вид
E(x, y, z) = exp {i [ kz cos a + kx sin a + Лф0 ]} Vy(0, 0, x, y
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.