ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 1, с. 91-97
УДК 534.18
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ВО ВСКИПАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ГАЗОВЫЕ ЗАРОДЫШИ
© 2015 г. В. Ш. Шагапов1 2, О. А. Зайнуллина2
Институт механики УНЦ РАН, г. Уфа, 2Бирский филиал Башкирского государственного университета, г. Бирск E-mail: bormotova-olga@yandex.ru Поступила в редакцию 19.11.2013 г.
Изучено распространение малых возмущений в перегретой жидкости, содержащей газовые зародыши. На основе полученного дисперсионного уравнения исследовано влияние величин температуры, концентрации зародышей на скорость распространения и коэффициент затухания возмущения.
DOI: 10.7868/S0040364414050160
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время интенсивно изучается, а также достаточно широко обсуждается в литературе состояние и поведение наноразмерных пузырьковых включений в жидкости, и особенно вблизи границы с твердой поверхностью [1—6]. Присутствие микропузырьков свободного газа (с размерами порядка микрометра) в отстоявшейся в течение нескольких суток воде указывалось в работах [7—19]. Хотя, согласно классическим представлениям о растворимости газа в жидкости, характерное время жизни микропузырьков должно быть не более десяти и даже сотни долей секунды. Однако опытное наблюдение с помощью современной аппаратуры позволяет быть уверенным, что большинство жидкостей, и в том числе вода, в своем составе всегда содержат газовые зародыши с очень низкой растворимостью. Наличие таких зародышей, по-видимому, во многом определяет особенность вскипания жидкости при снижении давления ниже равновесного значения для исходной температуры [20].
Задача о распространении возмущений в паро-жидкостной пузырьковой среде с учетом капиллярных сил на межфазной поверхности рассмотрена в [21]. В этой работе, в частности, показано, что поверхностное натяжение паровых пузырьков сильно ограничивает область применимости формулы Ландау [22] для парожидкостных систем. В настоящей работе изучена акустика перегретой жидкости, содержащей зародыши нерастворимого газа.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть в жидкости, находящейся при температуре Т0 и под давлениемр0, имеются сферические
зародыши радиусом а0, которые содержат газ, не растворяющийся в жидкостной фазе. Тогда при механическом и тепловом равновесии такой системы "жидкость—парогазовые пузырьки" (Ж—ПГП) при состояниях, достаточно далеких от критического состояния, имеют место следующие условия:
+ Pg0 = Ро + —, = Ps То), (1) а0
гдерю (/ = V, g) — парциальные давления пара и газа в пузырьках, а — коэффициент поверхностного натяжения. Здесь и в дальнейшем нижние индексы I = I, V, g относятся соответственно к параметрам жидкости, пара и газа, а нижний индекс "0" соответствует состоянию равновесия. Согласно второму условию из (1) полагается, что парциальное давление пара рм равно равновесному значению для температуры жидкости Т0, если бы межфазная поверхность была плоской. Отметим, что если состояние жидкости достаточно далеко от критического, то это условие всегда выполняется
[23]. При отсутствии газа в зародышах (р^ = 0) из (1) получим
(М) _ 2ст а0 --■
Рv0 - Ро
Это значение (а0 = а0М)) соответствует критическому радиусу, следующему из теории Гиббса
[24], при образовании паровой фазы, когда давление насыщенного пара для значения температуры жидкости Т0 и давления жидкости соответственно равны рм и р0.
Рассмотрим распространение малых возмущений в рассматриваемой системе Ж—ПГП в плоскоодномерном и односкоростном приближении. По-
лагая, что жидкость является акустически сжимаемой, можем записать линеаризованное уравнение
1 -avQ dp, о dv , о avQ da
= 0,
° д V о °
С д? дх а° д?
следующее из закона сохранения масс для возмущения давления р], скорости V и радиуса пузырьков а после некоторых упрощений и пренебрежения слагаемыми вида (+ рI/ рю (р;- — истинные плотности) по сравнению с единицей. Параметр С] — скорость звука в жидкости. Объемное содержание радиус пузырьков а0 и число пузырьков в единице объема пузырьковой смеси п0 связаны как
_ 4 з
avQ — 3 na0 nQQ.
(2)
4 зо 4 зо 3 na Pg = 3 naoPgQ = mgQ-
(5)
С учетом (5) выражение для давления из (4) можно представить как
\3 „
а°\ Т
Когда состояние жидкости достаточно далеко от критического (р° > ), из уравнения Клапей-рона—Клаузиуса следует
(6)
Поскольку для рассматриваемой системы
обычно pQo (1 - avQ) > (pvo + рgo) а^о, уравнение импульсов запишется как
q (Л \dv , dp, „ PQ0 (1 -«vQ)— + = 0-dt dx
Примем, что возмущения давления в жидкости p l и пузырьках pv + pg связаны уравнением Рэ-лея—Ламба, которое с учетом капиллярных сил имеет вид
о д2a , „ pQ0v(^) da 2о
Рloao—j + = Pv + Pg - P, +— a. (3)
dt a0 dt a0
Здесь — кинематическая вязкость жидкости.
В дальнейшем парциальные давления пара pv
о о г
и газа p а также их плотности pv и р будем считать однородными. Кроме этого, для каждого из них примем уравнение Клапейрона—Менделеева
Pv = pQRTv и pg = pQRgTg (Tg = Tv). (4)
Эти допущения означают, что влияние диффузионного сопротивления газа в пузырьках на фазовые процессы между паром и жидкостью несущественно. Массу газового зародыша mg будем считать постоянной (mg = mg0). Тогда в соответствии с этим можем записать
¿Ру = р°1 ¿Ту Ту
Здесь I — удельная теплота парообразования. Из (6) с учетом уравнения состояния пара (4) следует
Т*
Рv = Р*е Т, Т* = ¡¡Яу, где Т и р^ — эмпирические параметры, зависящие от вида жидкости [25].
Запишем также уравнение для изменения массы пара в пузырьке, полагая, что интенсивность испарения жидкости (или конденсации пара) определяется из условия теплового баланса
№
^ = 4na2 dt
\ дг
m„
4 з о у-,. 3 na Pv, (7)
где X1 — коэффициент теплопроводности.
Для определения тепловых потоков необходимо учесть уравнение теплопроводности в жидкости вокруг пузырьков, которое в линеаризованном виде запишется как
3TL dt
к,г
2 д ( 2 dT,
к,
11. о .
Р, оС
(8)
дг \ дг,
Здесь к1 — коэффициент температуропроводности для жидкости, с] — теплоемкость жидкости.
Систему граничных условий для уравнения (8) примем в виде
дТ
Т, = Tv, г = ao = 0, r дг
avQ
(9)
Р, = Р,° х , т
\а I Т°
Будем полагать, что парциальное давление пара pv равно равновесному значению для температуры на поверхности пузырька Тст (pv = р5 (Тст)), которая в свою очередь равна температуре внутри пузырька (Тст = Ту).
Второе условие в (9) выражает отсутствие перетоков тепла между ячейками в жидкости (условие адиабатичности ячейки) [23].
Для большинства случаев тепловым взаимодействием соседних ячеек можно пренебречь и вместо второго граничного условия из (9) можно принять
Т]= 0, г ^ да.
Это условие в дальнейшем будем называть условием изотермичности ячейки. Здесь следует учесть, что г — микрокоордината, а Т] — возмущение температуры от исходного равновесного значения.
Как уже было отмечено выше, в силу принятых допущений температура пара в пузырьке однородна и равна ее значению на поверхности пузырька. Для значений температуры на межфазной поверхности выполняется уравнение Кла-пейрона—Клаузиуса (6). Поэтому на основе этого уравнения для возмущений температуры и давления пара запишем
т — TQ
Tv — о pv.
PvQl
(10)
a
Поскольку газ в зародыше также удовлетворяет уравнению Клапейрона—Менделеева (4), с учетом того, что Т& = Т^, для возмущения парциального давления газа можем получить в линеаризованном виде следующую зависимость:
РФ
за + Т 1(0 Т
(11)
Подставляя выражение (11) в уравнение Рэ-лея—Ламба (3), получим
д2 „О (ц) ,
р а д а + 4 р,0У, да Рюа0~2 + 4 "^Т дг а0 дг
\
1 +
Р,0 0 1
Pv0, )
( 2а 0 | а
+ 1--3 Р0 I--Р, ■
^ а 0 ) а0
Из уравнения для изменения массы пара (7), учитывая, что для большинства случаев выполняется условие //К > Т0, имеем
3 йа + А- йр^
зх
волны:
р, pv, V, а ~ ехр [/ (Кх - ю?)],
Т = А(1)(г)ехр [[ (Х - ю?)]
(К = к + /5, СР = ш/ к, / = V-!), где ^ — волновой вектор, 8 и Ср — соответственно коэффициент затухания и фазовая скорость волны. Из условия существования решения такого вида с учетом эффектов акустической разгрузки [26] пузырьков получим дисперсионное уравнение
К2 = (1 - ау0) + з Р00ау0 (1 -аур)
ю2 С2 у ,
(12)
¥ =
+ Р^ _ р00ю2а02
... 0 (ц) 2о ,
- 4/р,оVГ ю--+ Зр 0,
а0
0 Т
е = 1 + вshv(J,), Р = £0°С-Трр-Р^0 1 РУ
с, = 1 - /'ю ?а, гА =
shv(х), ответственной в дисперсионном уравнении (12) за фазовые переходы и теплоперенос, будем иметь
sh v(х) = 3(1 + х)/х2 ■ Рассмотрим предельное выражение, следующее из дисперсионного уравнения при ю ^ 0. Функция sh v(х) при ю ^ 0 (х ^ 0) имеет следующую асимптотику:
М =
shv(y) = а0 (1 - Му,2)
av0
(А -1)3 (5А + 6А + 3А +1)'
(13)
15(( -1) у
Используя (13), на основе дисперсионного уравнения (12) можем получить для величины равновесной скорости Се
дТ,)
а0 йг р^ йг рю1а0\ дг /а
(р°ю = р^! КТ) ■
ДИСПЕРСИОННЫИ АНАЛИЗ Решение ищем в виде затухающей бегущей
С2 = С1 + ' 1
((0 - 2ст/3а0 )р;°0а
— _ Нш—
С2 ю
К2 ^ _р00 I
Сг
р00
(14)
■\1С,Т0 )
где Сь — скорость Ландау.
При получении (14) учтено, что а^0, С^/С2,
(рЖ ) СМ) ^ 1.
Отсюда видно, что система Ж-ПГП термодинамически устойчива [27] (С2 > 0), если
(15)
^ 2а 0 ^,2 Зап
sh = _з_ Г + х (Д,^ -1) -1)>|,
х21 Ах - Лх^ - 1) )
А = а-0/3, у! = - к, ■ В том случае, когда принимается условие изо-термичности ячейки, вместо частотной функции
Отметим, что одиночный парогазовый зародыш в неограниченном объеме жидкости будет устойчивым [20], если
Р*0 > ^ ■ (16)
3а0
Следовательно, в случае наличия распределенных по объему зародышей область значений для парциального давления газа р^ становится несколько шире. Условие (16) является достаточным условием, чтобы жидкость с зародышами нерастворимого газа была термодинамически устойчива.
Из формулы (14) видно, что при
Р*0 ^
3а0
равновесная скорость звука приближается к скорости звука Ландау (Се ^ Сь) [22].
Условие механического равновесия (1) совместно с (16) дает следующее ограничение для радиуса газовых зародышей:
4а
^ а0* = ■
-■ (17)
з (рТ) - Р0)
Таким образом, перегретая жидкость с газовыми зародышами будет устойчивой, если их радиусы удовлетворяют нера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.