АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 6, с. 914-919
^=ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 534.222
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОДНОПОЛЯРНЫХ ИМПУЛЬСОВ ДЕФОРМАЦИИ В СРЕДАХ С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
© 2008 г. В. Е. Назаров, А. В. Радостин
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова 46 E-mail: nazarov@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 10.12.07 г.
Проведено теоретическое исследование распространения однополярных импульсов деформации в твердотельных средах с произвольной степенной гистерезисной нелинейностью. Получены точные аналитические выражения, описывающие распространение и эволюцию первоначально синусоидального и треугольного импульсов в таких средах. Проводится численный и графический анализ полученных решений.
PACS: 43.25. Ba, 43.25. Dc
Теория волновых процессов в средах с упругой аналитической (степенной - квадратичной или кубичной) нелинейностью развита в полной мере и изложена в большом числе монографий [1-5]. Из этой теории, в частности, следует, что при распространении в нелинейной идеально упругой среде однополярного возмущения вначале происходит укручение его фронта (переднего или заднего, - в зависимости от знака параметра нелинейности среды), а затем в его профиле образуется неоднозначность или "перехлест". Вследствие физической нереализуемости подобной ситуации такая неоднозначность устраняется введением в профиль возмущения разрыва - ударного фронта, что, в итоге, приводит к нелинейному поглощению возмущения и увеличению его длительности.
Экспериментальные исследования эффектов амплитуднозависимого внутреннего трения (АЗВТ) в поликристаллических твердых телах (металлах и горных породах) свидетельствуют о том, что уравнения состояния подобных сред описываются неаналитической гистерезисной (т.е. неоднозначной) функцией а = а(£, sign £), где а, £ и sign £ - напряжение, деформация и знак скорости деформации £. Результаты этих экспериментов свидетельствуют о том, что многие из таких материалов (например, медь, цинк, гранит, песчаник) характеризуются квадратичной гистерезисной зависимостью а = а(£, sign £). Нелинейные волновые процессы (в том числе и распространение однополярных импульсов) в средах с квадратичной гистерезисной нелинейностью изучены достаточно подробно [6-10]. Однако, как показывают эксперименты, существует немало других
горных пород и металлов, для которых также проявляется гистерезисная степенная нелинейность, но с отличным от целого числа 2 показателем степени п > 1. Так, например, для отожженной меди (в зависимости от температуры отжига) этот показатель может быть равен 3/2, 2 и 5/2, для известняка - 5/3, а для отожженного цинка, свинца и мрамора - 3. В связи с этим представляет интерес изучение закономерностей распространения и эволюции однополярных импульсов деформации в средах с произвольной степенной (п > 1) гистерезисной нелинейностью, когда возмущения среды на переднем и заднем фронтах импульса описываются различными зависимостями а = а(£). Специфика такой задачи заключается в том, что в этих случаях "перехлест" и ударный фронт в импульсе не образуются (именно этот случай здесь и будет, в основном, рассматриваться), однако амплитуда импульса будет убывать, а его длительность -увеличиваться. Это связано с тем, что гистерезис-ные среды обладают нелинейными потерями, эквивалентными площади петли гистерезиса, и, кроме того, малые возмущения одной и той же величины на переднем и заднем фронтах импульса движутся с различными скоростями, что и приводит к увеличению его длительности.
В настоящей работе проводится теоретическое исследование и анализ распространения и эволюции однополярных акустических возмущений (или импульсов) в средах с произвольной степенной гистерезисной нелинейностью (без учета линейной диссипации); при таком подходе могут быть получены точные аналитические выражения для формы и параметров этих возмущений. Отметим, что, строго говоря, точные решения нелинейных волновых уравнений в эксперименте не
реализуются, поскольку в эксперименте всегда проявляются факторы, не учитываемые в теории, однако точные решения представляют большую ценность, потому что, во-первых, таких решений чрезвычайно мало, а во-вторых, точные решения дают наиболее полное представление о закономерностях нелинейных волновых процессов.
В низкочастотном диапазоне, при достаточно больших амплитудах деформации, когда линейную диссипацию можно не учитывать, уравнение состояния среды с гистерезисной нелинейностью, т.е. зависимость а = а(£, sign £), можно представить в виде:
а(£, sign £) = E [е - f (£, sign £)],
(1)
уменьшается, поэтому £ш = £т(х), где х - пространственная координата.
Гистерезисное уравнение состояния (1), совместно с уравнением движения - законом сохранения импульса [16]:
Э U = д а( £, sign £ )
рэ7 =
Эх
(3)
где а, е и £ - напряжение, деформация и скорость деформации, E - модуль упругости, f(£, sign £) -гистерезисная функция, |f£(£, sign £ )| <§ 1. Такое представление уравнения состояния справедливо для многих микронеоднородных (или мезоскопи-ческих) сред с несовершенной упругостью [11, 12] (в частности, поликристаллических горных пород и металлов) в области достаточно низких частот, когда релаксационные и резонансные свойства гистерезисных дефектов, например, дислокаций, не проявляются, при этом нелинейность среды является безинерционной. (Вообще говоря, в этом уравнении необходимо учитывать и линейное диссипативное слагаемое п £, где п - коэффициент вязкости, однако, вследствие того, что при его учете не всегда удается получить точное решение нелинейного волнового уравнения, мы будем рассматривать достаточно сильные и медленные возмущения, для которых выполняется неравенство: E| f(£, sign £ )| > п|£ |.)
Для гистерезиса, подобного обобщенному гистерезису Гранато-Люкке [11, 12], функция f(£, sign £) имеет вид [13-15]:
f (£, sign £) = 'Y1 £n, £ > 0, £ > 0;
(Y1 + Y2)£nm'1 £ - Y2£n, £ > 0, £ < 0; (2) -Y3|£n, £ < 0, £ < 0; 1 - (Y 3 + Y 4 ^Г1 M + Y 4l £n, £ < 0, £ > 0,
n - 1
где |Yx_4 £m | < 1, Y1, 3 + Y2, 4 > 0, n > 1.
В уравнении (2) величина £m, в отличие от параметров E, Yi_4 и n, не является характеристикой среды, а определяется максимальной ее деформацией, т.е. амплитудой возмущения; по мере распространения и затухания возмущения (из-за нелинейных - гистерезисных потерь) его амплитуда
где и - смещение, £ = их, р - плотность, определяет нелинейные волновые процессы в таких средах. Как обычно, при решении уравнений (1)-(3) мы не будем учитывать геометрическую нелинейность уравнений движения (по сравнению с сильной гистерезисной нелинейностью среды), полагая что |у1-41 > 1). Далее мы будем исследовать распространение однополярных возмущений, для определенности положительной полярности (£ > 0), полагая также, что Y1, 2 > 0. В этом случае ударных (или разрывных) фронтов в таких импульсах не образуется, поскольку малые возмущения (£ <§ £т) одной и той же величины на переднем (£ > 0) и заднем (£ < 0) фронтах импульса движутся с различными скоростями С1( £ > 0) =
= С = (Е/р)1/2 и С2( £ < 0) = С[1 - (Ъ + Y2) С1 /2п], причем С1 > С2. В результате, по мере распространения, длительность возмущения растет, а амплитуда и энергия, вследствие гистерезисных потерь, уменьшаются.
При решении уравнений (1)-(3) мы будем пользоваться методом сращивания (или "сшивания") простых волн [6], отвечающих каждой ветви гистерезиса. Подставляя (1)-(3) в уравнение движения, дифференцируя его по х и переходя к переменным т = £ - х/С, х' = х, получим одноволно-вые уравнения для простых волн деформации -переднего £х(х, т) и заднего £2(х, т) фронтов возмущения:
д£1 _ 1 п-1 д£ Э£1
эх-""¡С 1 £1 эГ' эГ > и'
Э£2
1
дх 2 C
Y1 + Y 2 n-1 n-1
——— £m - Y2£2
Эт' Эт
< 0.
Решение этих уравнений имеет вид: £(х, 6) =
F1[0 - Y)£n-1кх |, £ > 0;
i х \ а , Y2„n-1, Y1 + Y2 f„n-1, ,
0 + — £ кх---)—
2 2n
) je 1 (х') dx'
(4)
, £ < 0,
где функции ^12(б, х) определяются граничным условием на излучателе (х = 0), при этом функция
^2(0, х) зависит от амплитуды £т импульса, равной максимальному значению функции ^1(б, х) в некоторой точке 0т(х), определяемой из условий "сшивки" этих функций:
Fi [еи -Y2 =
= F,
а Л2»-и Yi + Y2, т +2 £m kX -~ЪГk
jC\X') dx x
\ (5) = £
/
0m( X)
• i £m 1 Y1 n - 1 ,
arcsin — I + у £m kx,
V£(
0 * (x) = 2 arcsin | ^ J +
^ kx
m
Энергия и импульс такого "синусоидального" возмущения (в расчете на единицу площади его фронта) соответственно равны:
Для импульса, имеющего форму положительного полупериода синусоиды: £(х = 0, г) = £^т Ог, 0 < Ог < п, из выражений (4) получаем:
W
= E J£2(x, 0)d0 =
£( x,0) = £0
sin| 0 -Y-£« 1kx |, £ > 0;
sin
о . Y2n-1,
0 + 2 £ kx -
(6)
Y1+Y2, I £n -
2 n "V|~m
0
kjc *(x')dx'
, £ < 0,
= W(
arcsin — 1 + «—1^ 1-| ^
£(j n +1 \£o
2
где б = От, к = О/С, а параметры возмущения - амплитуда £т и фаза бт, разделяющая передний и задний его фронты, определяются из условия (5):
£osin1 0m - ^ £nm 1 kx I =
О Л2»-1, Y1+Y2
0m +2 £m kx -~bl
k J£m 1 (x') dx'
(7)
= £
Из системы (7) получаем дифференциальное уравнение для £m:
===== + Y 1 + Y 2(« - 1 )£m 2£okx
1-122
d£
m
dx
/ = E j £(x, 0)d0 = 2E£0 = const,
0
где Wo = E£2.
Аналогичные результаты получаются для импульса, первоначально имеющего треугольную
Г t/ T, 0 < t < T/2, форму: £(x = 0, t) = 2£0 <
[ 1- t/T, T/2 < t < T.
Из выражений (4), (5) имеем:
0 -у £«-1 kx, 0 < 0 < 0m;
£(x, 0) = 2£0<
1 О Y2 n-1, , Y1+Y2, „ 1- 0 - — £ kx +-—— k x
2 2n (8)
xj£m_1(x')dx', 0m < 0 < 0*,
1 + 2 n-1
—4m- ( n -1 )£m £0k,
2£d 0m -Y21 ^ kxl =
из решения которого находим выражения для £m(x), 0m(x) и длительности 0*(x):
1 J (n -1)(Y1+Y2) n-1,
£0 kx,
4n
= 2£0
2 n-1 1- 0m £m kx +
V
Y1 + Y^ f n-1. ,
+ -2T k l£m
k j£m 1 (x') dx'
= £m
0
*
0
0
*
x
= £0sin
x
0
x
0
где б = т/Т, к = 1/СТ, а эволюция параметров возмущения - £т(х), бт(х) и б*(х) определяются выражениями:
1 -
(п -1 1+ Y2)
п -1
кх,
бт ( х ) =
2£
+ ^ £ 1 т
кх,
б *( х) = ^+Щ-12 £т-1 кх.
В этом случае выражения для энергии и импульса напряжения имеют вид:
Ж
= Е|£2(х, б^б =
= Ж
3 п
п - 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.