научная статья по теме РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ Геофизика

Текст научной статьи на тему «РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 1, с. 103-112

УДК 551.466.8,532.5;

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

© 2015 г. Т. Г. Талипова*' **, О. Е. Куркина**' ***, Е. А. Рувинская**, Е. Н. Пелиновский*-***

*Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 **Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24 ***Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, 25/12 E-mails: tgtalipova@mail.ru, pelinovsky@gmail.com Поступила в редакцию 06.09.2013 г., после доработки 09.10.2013 г.

Распространение внутренних солитонов умеренной амплитуды в двухслойном океане переменной глубины исследуется в рамках уравнений Гарднера и Эйлера. Аналитическое решение получено с использованием асимптотических разложений по малому параметру — уклону дна. Теоретические результаты сопоставляются с результатами численного моделирования. Обсуждается возможность сохранения солитонной формы импульса по мере его распространения. Получено, что с увеличением начальной амплитуды импульс быстрее отклоняется от солитонной формы.

Ключевые слова: внутренние волны, двухслойный океан, уравнения Эйлера, уравнение Гарднера, солитон.

Б01: 10.7868/80002351515010101

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия в прибрежной зоне очень часто наблюдалась смена полярности уединенной внутренней волны — солитона. Это явление наблюдалось в восточной части Средиземного моря [1], на северо-западном шельфе Австралии [2], в Южно-Китайском море во время эксперимента Л81ЛБХ [3—11], в заливе Нью-Джерси [12, 13] в заливе святого Лаврентия [14], на шельфе Камчатки [15] и других акваториях. Оно обусловлено сменой знака квадратичной нелинейности внутренней волны вследствие как переменной по горизонтали плотностной стратификации жидкости, так и уменьшающейся глубины при распространении волны к берегу. Изменение знака солитона неоднократно моделировалось в рамках нелинейных эволюционных уравнений типа Кортевега—де Вриза и его обобщений для различных регионов Мирового океана [2, 5, 16—18]. Численное моделирование в рамках уравнений Эйлера также подтверждает смену полярности солитона, например, в Андаманском море [19], в озере Констанс [20], и хорошо описывает наблюдения в заливе святого Лаврентия [14].

Вне зоны смены знака квадратичной нелинейности адиабатическая трансформация солитона

внутренней волны в теории рассматривается обычно, когда параметры океана меняются настолько плавно, что солитон в каждый момент сохраняет свою форму, а меняется только его амплитуда и длина. Перестройка солитона внутренней волны на различных шельфах Мирового океана изучается в рамках уравнения Гарднера в работах [17, 18, 21—23], позволяя найти связь амплитуды солитона с локальными параметрами среды. Расчеты показывают, что адиабатическая трансформация солитона может происходить на значительных участках шельфа, где нелинейность не меняет знак, а изменение параметров среды достаточно плавное [17, 18]. Численное интегрирование нелинейных уравнений Эйлера для внутренних волн на шельфе Орегона в рамках эксперимента CODE также дает пример адиабатического распространения солитона [24].

Подробный анализ процесса смены полярности солитона при изменении только знака квадратичной нелинейности был сделан в работах [21, 22, 25, 26], а при изменении только кубической нелинейности — в работе [27]. В этих работах хорошо показана область, где вследствие смены знака нелинейности солитон теряет свою форму,

и дальнейшая трансформация идет не по адиабатической теории.

Однако плавность изменения параметров среды и удаленность от точек смены знака нелинейности являются необходимыми, но не достаточными условиями адиабатического распространения солитонов. В настоящей работе проводится детальное исследование процесса трансформации солитона внутренней волны в двухслойном океане с линейно плавно изменяющейся глубиной. Аналитические результаты, полученные в рамках асимптотической теории, сопоставляются с полученными численно в рамках уравнения Гарднера и уравнений Эйлера. Целью этого анализа является выяснение диапазона применимости асимптотической модели и определение дополнительных условий адиабатической трансформации солитона. Теория адиабатической трансформации солитона в неоднородном океане описана в разделе 1. Данные численных расчетов приведены в разделе 2. Полученные результаты суммированы в Заключении. Численные модели представлены в Приложении.

постоянную толщину к1, а глубина нижнего слоя переменная, к2(х), Ар/р — скачок плотности на границе раздела, g — гравитационное ускорение.

Как легко видеть, коэффициент квадратичной нелинейности а меняет знак в точке, где толщины слоев становятся одинаковыми, а коэффициент кубической нелинейности а1 всегда отрицательный. Отметим, что уравнение Гарднера (1) с переменными коэффициентами не является интегрируемым, но имеет два важных интеграла сохранения:

потока массы

+|»

| Ц?, = | х)еН = | (2)

—да —да —да

и потока энергии

+да +да +да

| Е 2($, х)е1в = | £($, х)еН = | (3)

1. УРАВНЕНИЕ ГАРДНЕРА

В ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ, АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Динамика длинных нелинейных внутренних волн умеренной амплитуды в двухслойном океане переменной глубины описывается обобщенным уравнением Гарднера [2, 16, 28]

В случае, когда глубина океана меняется медленно, то в первом приближении солитон описывается выражением

%, =

1 + ВеИ[у- кх)]' где параметры А, В, к и у связаны между собой

(4)

дк.

дх

а(хЩх)к + а1(х)2 (х)к2 |д§.

с 2(х)

с 2(х)

(1)

, в(х) д_к = о.

с 4(х) дs3

Это уравнение написано для модифицированного смещения границы раздела слоев

х)

^ х) =

0(х)

где п есть смещение границы раздела. Входящие сюда параметры задаются аналитическими выражениями

_ Я Ар /^(х)

с(х) 41 ,

р Й + Й2(х)

а (х) = Зс^^Мх)

Ых ^с(х)

- г„

а1(х) = -

ййх)

Зс

в (х) = сйА(х),

8й12й22(х)

(й2 + Й22(х) + 6А1А2(х)),

е(х) =

гк20 й1 + й2(х)^ 1

А =

2 2 2 г, 2

О 2' Н2 -1)' (5)

Qac \6а1р с4

Амплитуда солитона а есть

ОА = Оа (в _ 1)

(1 + В) а1

(6)

Форма солитона (4) зависит только от одного параметра (амплитуды): при малых амплитудах форма солитона близка к форме солитона уравнения Кор-тевега—де Вриза, а при больших амплитудах (В ^ 0) солитон стремится к предельному, так называемому "толстому" солитону, амплитуда которого есть

А1т =

Оа

(7)

а.

Здесь параметры солитона зависят от локальной глубины бассейна, а его амплитуда произвольна. Изменение амплитуды солитона с глубиной можно найти аналитически, используя закон сохранения потока энергии (3) [17, 29].

й1 й1 + й2о )

Символ "0" здесь обозначает стартовую точку, откуда распространяется волна. Верхний слой имеет

Е(х) =

1

О 2с\

^ 2агеШ, М -71-

1 + В

в2 | = Е(хо)'

откуда получаем следующее трансцендентное уравнение относительно параметра В(х), непосредственно связанного с амплитудой волны (6):

\

(a(x))2 ß(x)

1

(ai(x)) (Q(xo, x)) c(x)

/ /

X 2arcth

v

1 - B(x)

1 + B(x)

!|-V 1 - (B(x))

0

(a(xo))2 ß(xo) 1

(a1(xo))3 (Q(xo, xo))2 c(xo)

(8)

i f 2arcth

v v

1 - B(x o) 1 + B(xo)J

-J1 - (B(xo))2

Отсюда можно найти значение амплитуды солитона в любой точке х. Следует отметить, что ширина солитона у (5) для уравнения Кортевега— де Вриза (малые амплитуды) стремится к бесконечности при стремлении амплитуды к нулю. С ростом амплитуды солитон становится более "гарднеровским", и его ширина сначала падает, а потом растет и стремится также к бесконечности при стремлении амплитуды толстого солитона к предельной амплитуде (13). Уже отсюда ясно, что в предельных случаях малой и большой амплитуды, когда ширина солитона велика, асимптотическая теория не должна работать. Условием асимптотической теории является малость ширины со-литона (на самом деле длины нелинейности) по сравнению с характерным изменением глубины.

Для построения конкретных зависимостей рассмотрим трансформацию длинных уединенных внутренних волн умеренной амплитуды в конкретном численном лотке с двухслойной стратификацией и пологим дном (рис. 1). Длина наклонной части лотка 57 км, полная глубина бассейна меняется от H0 = 100 м до H1 = 43 м, уклон дна к = 0.001, граница раздела двухслойной жидкости (пикно-клин) находится на глубине h1 = 30 м от поверхности. Перепад плотности Лр/р составляет 0.01. Точкой переворота является точка, где коэффициент квадратичной нелинейности обращается в ноль (на расстоянии 40 км, где полная глубина равна 60 м). На больших глубинах коэффициент квадратичной нелинейности отрицателен, а на малых — положителен.

Зависимость коэффициентов уравнения (1) от координаты х представлена на рис. 2. Все коэффициенты меняются достаточно плавно и монотонно. Зависимость ширины солитона уравнения Гарднера от его амплитуды показана на рис. 3. Точками показаны соотношения длины и амплитуды солитонов, динамика которых моделируется в настоящей работе. Для выбранных солитонов (a = 3.3 м, X = 403.2 м; a = 7.3 м, X = 311.2 м; a = 9.7 м, X = 298.6 м; a = = 12.9 м, X = 309.2 м; a =17.5 м, X = 453.6 м) в рам-

100 80 60

г

40 20

0

P1 h1

Г

" P2 h2(x) ^^

1 1 -4-1-

10 20 30 40 х, км

Рис. 1. Схема задачи.

50

са

a

Г1-5

j 1.0

0.5 1000 500 0

1 0.1

ö" 0 0

0.005 0.010 1.4 1.2

0

0

10

20

30 х, км

40

50

Рис. 2. Изменение коэффициентов модели с расстоянием.

800

700 600 500 400 300 200

20

15

10 a, м

Рис. 3. Кривая зависимости ширины солитона уравнения Гарднера от его амплитуды.

1.0

1

0.8 2

0.6 - \ \ \ \ \5\\ \ \

0.4 _ -1 а0 = 3.36 м 2 а0 = 7.45 м

0.2 -3 а0 = 10.06 м -4 а0 = 12.95 м 5 а 0 = 16.77 м | | | *

0 10 20 30 40

х, км

Рис. 4. Зависимость безразмерной амплитуды а/а0 от

расстояния х в рамках адиабатической теории.

ках адиабатической теории (8) построено семейство кривых, описывающих зависимость безразмерной амплитуды а/а0 (отношение амплитуды перестраивающегося солитона в точке х к амплитуде первоначального солитона) от расстояния х до точки переворота (рис. 4).

Следует отметить, чт

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком