ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 1, с. 103-112
УДК 551.466.8,532.5;
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ
© 2015 г. Т. Г. Талипова*' **, О. Е. Куркина**' ***, Е. А. Рувинская**, Е. Н. Пелиновский*-***
*Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 **Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24 ***Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, 25/12 E-mails: tgtalipova@mail.ru, pelinovsky@gmail.com Поступила в редакцию 06.09.2013 г., после доработки 09.10.2013 г.
Распространение внутренних солитонов умеренной амплитуды в двухслойном океане переменной глубины исследуется в рамках уравнений Гарднера и Эйлера. Аналитическое решение получено с использованием асимптотических разложений по малому параметру — уклону дна. Теоретические результаты сопоставляются с результатами численного моделирования. Обсуждается возможность сохранения солитонной формы импульса по мере его распространения. Получено, что с увеличением начальной амплитуды импульс быстрее отклоняется от солитонной формы.
Ключевые слова: внутренние волны, двухслойный океан, уравнения Эйлера, уравнение Гарднера, солитон.
Б01: 10.7868/80002351515010101
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия в прибрежной зоне очень часто наблюдалась смена полярности уединенной внутренней волны — солитона. Это явление наблюдалось в восточной части Средиземного моря [1], на северо-западном шельфе Австралии [2], в Южно-Китайском море во время эксперимента Л81ЛБХ [3—11], в заливе Нью-Джерси [12, 13] в заливе святого Лаврентия [14], на шельфе Камчатки [15] и других акваториях. Оно обусловлено сменой знака квадратичной нелинейности внутренней волны вследствие как переменной по горизонтали плотностной стратификации жидкости, так и уменьшающейся глубины при распространении волны к берегу. Изменение знака солитона неоднократно моделировалось в рамках нелинейных эволюционных уравнений типа Кортевега—де Вриза и его обобщений для различных регионов Мирового океана [2, 5, 16—18]. Численное моделирование в рамках уравнений Эйлера также подтверждает смену полярности солитона, например, в Андаманском море [19], в озере Констанс [20], и хорошо описывает наблюдения в заливе святого Лаврентия [14].
Вне зоны смены знака квадратичной нелинейности адиабатическая трансформация солитона
внутренней волны в теории рассматривается обычно, когда параметры океана меняются настолько плавно, что солитон в каждый момент сохраняет свою форму, а меняется только его амплитуда и длина. Перестройка солитона внутренней волны на различных шельфах Мирового океана изучается в рамках уравнения Гарднера в работах [17, 18, 21—23], позволяя найти связь амплитуды солитона с локальными параметрами среды. Расчеты показывают, что адиабатическая трансформация солитона может происходить на значительных участках шельфа, где нелинейность не меняет знак, а изменение параметров среды достаточно плавное [17, 18]. Численное интегрирование нелинейных уравнений Эйлера для внутренних волн на шельфе Орегона в рамках эксперимента CODE также дает пример адиабатического распространения солитона [24].
Подробный анализ процесса смены полярности солитона при изменении только знака квадратичной нелинейности был сделан в работах [21, 22, 25, 26], а при изменении только кубической нелинейности — в работе [27]. В этих работах хорошо показана область, где вследствие смены знака нелинейности солитон теряет свою форму,
и дальнейшая трансформация идет не по адиабатической теории.
Однако плавность изменения параметров среды и удаленность от точек смены знака нелинейности являются необходимыми, но не достаточными условиями адиабатического распространения солитонов. В настоящей работе проводится детальное исследование процесса трансформации солитона внутренней волны в двухслойном океане с линейно плавно изменяющейся глубиной. Аналитические результаты, полученные в рамках асимптотической теории, сопоставляются с полученными численно в рамках уравнения Гарднера и уравнений Эйлера. Целью этого анализа является выяснение диапазона применимости асимптотической модели и определение дополнительных условий адиабатической трансформации солитона. Теория адиабатической трансформации солитона в неоднородном океане описана в разделе 1. Данные численных расчетов приведены в разделе 2. Полученные результаты суммированы в Заключении. Численные модели представлены в Приложении.
постоянную толщину к1, а глубина нижнего слоя переменная, к2(х), Ар/р — скачок плотности на границе раздела, g — гравитационное ускорение.
Как легко видеть, коэффициент квадратичной нелинейности а меняет знак в точке, где толщины слоев становятся одинаковыми, а коэффициент кубической нелинейности а1 всегда отрицательный. Отметим, что уравнение Гарднера (1) с переменными коэффициентами не является интегрируемым, но имеет два важных интеграла сохранения:
потока массы
+|»
| Ц?, = | х)еН = | (2)
—да —да —да
и потока энергии
+да +да +да
| Е 2($, х)е1в = | £($, х)еН = | (3)
1. УРАВНЕНИЕ ГАРДНЕРА
В ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ, АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Динамика длинных нелинейных внутренних волн умеренной амплитуды в двухслойном океане переменной глубины описывается обобщенным уравнением Гарднера [2, 16, 28]
В случае, когда глубина океана меняется медленно, то в первом приближении солитон описывается выражением
%, =
1 + ВеИ[у- кх)]' где параметры А, В, к и у связаны между собой
(4)
дк.
дх
а(хЩх)к + а1(х)2 (х)к2 |д§.
с 2(х)
с 2(х)
(1)
, в(х) д_к = о.
с 4(х) дs3
Это уравнение написано для модифицированного смещения границы раздела слоев
х)
^ х) =
0(х)
где п есть смещение границы раздела. Входящие сюда параметры задаются аналитическими выражениями
_ Я Ар /^(х)
с(х) 41 ,
р Й + Й2(х)
а (х) = Зс^^Мх)
Ых ^с(х)
- г„
а1(х) = -
ййх)
Зс
в (х) = сйА(х),
8й12й22(х)
(й2 + Й22(х) + 6А1А2(х)),
е(х) =
гк20 й1 + й2(х)^ 1
А =
2 2 2 г, 2
О 2' Н2 -1)' (5)
Qac \6а1р с4
Амплитуда солитона а есть
ОА = Оа (в _ 1)
(1 + В) а1
(6)
Форма солитона (4) зависит только от одного параметра (амплитуды): при малых амплитудах форма солитона близка к форме солитона уравнения Кор-тевега—де Вриза, а при больших амплитудах (В ^ 0) солитон стремится к предельному, так называемому "толстому" солитону, амплитуда которого есть
А1т =
Оа
(7)
а.
Здесь параметры солитона зависят от локальной глубины бассейна, а его амплитуда произвольна. Изменение амплитуды солитона с глубиной можно найти аналитически, используя закон сохранения потока энергии (3) [17, 29].
й1 й1 + й2о )
Символ "0" здесь обозначает стартовую точку, откуда распространяется волна. Верхний слой имеет
Е(х) =
1
О 2с\
^ 2агеШ, М -71-
1 + В
в2 | = Е(хо)'
откуда получаем следующее трансцендентное уравнение относительно параметра В(х), непосредственно связанного с амплитудой волны (6):
\
(a(x))2 ß(x)
1
(ai(x)) (Q(xo, x)) c(x)
/ /
X 2arcth
v
1 - B(x)
1 + B(x)
!|-V 1 - (B(x))
0
(a(xo))2 ß(xo) 1
(a1(xo))3 (Q(xo, xo))2 c(xo)
(8)
i f 2arcth
v v
1 - B(x o) 1 + B(xo)J
-J1 - (B(xo))2
Отсюда можно найти значение амплитуды солитона в любой точке х. Следует отметить, что ширина солитона у (5) для уравнения Кортевега— де Вриза (малые амплитуды) стремится к бесконечности при стремлении амплитуды к нулю. С ростом амплитуды солитон становится более "гарднеровским", и его ширина сначала падает, а потом растет и стремится также к бесконечности при стремлении амплитуды толстого солитона к предельной амплитуде (13). Уже отсюда ясно, что в предельных случаях малой и большой амплитуды, когда ширина солитона велика, асимптотическая теория не должна работать. Условием асимптотической теории является малость ширины со-литона (на самом деле длины нелинейности) по сравнению с характерным изменением глубины.
Для построения конкретных зависимостей рассмотрим трансформацию длинных уединенных внутренних волн умеренной амплитуды в конкретном численном лотке с двухслойной стратификацией и пологим дном (рис. 1). Длина наклонной части лотка 57 км, полная глубина бассейна меняется от H0 = 100 м до H1 = 43 м, уклон дна к = 0.001, граница раздела двухслойной жидкости (пикно-клин) находится на глубине h1 = 30 м от поверхности. Перепад плотности Лр/р составляет 0.01. Точкой переворота является точка, где коэффициент квадратичной нелинейности обращается в ноль (на расстоянии 40 км, где полная глубина равна 60 м). На больших глубинах коэффициент квадратичной нелинейности отрицателен, а на малых — положителен.
Зависимость коэффициентов уравнения (1) от координаты х представлена на рис. 2. Все коэффициенты меняются достаточно плавно и монотонно. Зависимость ширины солитона уравнения Гарднера от его амплитуды показана на рис. 3. Точками показаны соотношения длины и амплитуды солитонов, динамика которых моделируется в настоящей работе. Для выбранных солитонов (a = 3.3 м, X = 403.2 м; a = 7.3 м, X = 311.2 м; a = 9.7 м, X = 298.6 м; a = = 12.9 м, X = 309.2 м; a =17.5 м, X = 453.6 м) в рам-
100 80 60
г
40 20
0
P1 h1
Г
" P2 h2(x) ^^
1 1 -4-1-
10 20 30 40 х, км
Рис. 1. Схема задачи.
50
са
a
Г1-5
j 1.0
0.5 1000 500 0
1 0.1
ö" 0 0
0.005 0.010 1.4 1.2
0
0
10
20
30 х, км
40
50
Рис. 2. Изменение коэффициентов модели с расстоянием.
800
700 600 500 400 300 200
20
15
10 a, м
Рис. 3. Кривая зависимости ширины солитона уравнения Гарднера от его амплитуды.
1.0
1
0.8 2
0.6 - \ \ \ \ \5\\ \ \
0.4 _ -1 а0 = 3.36 м 2 а0 = 7.45 м
0.2 -3 а0 = 10.06 м -4 а0 = 12.95 м 5 а 0 = 16.77 м | | | *
0 10 20 30 40
х, км
Рис. 4. Зависимость безразмерной амплитуды а/а0 от
расстояния х в рамках адиабатической теории.
ках адиабатической теории (8) построено семейство кривых, описывающих зависимость безразмерной амплитуды а/а0 (отношение амплитуды перестраивающегося солитона в точке х к амплитуде первоначального солитона) от расстояния х до точки переворота (рис. 4).
Следует отметить, чт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.