ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3:534.1
© 2014 г. В. С. Поленов
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В НАСЫЩЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Изучаются ударные упругие волны в насыщенной вязкой жидкостью пористой среде. Пористость учитывается лишь по отношению к сообщающимся между собой порам, изолированные поры рассматриваются как элементы упругой части пористого скелета. С использованием теории разрывов показано, что в такой среде существуют два типа безвихревых волн и одна эквиволюминальная волна, получены дифференциальные уравнения и их решения для определения изменения интенсивности фронта волны. На примере показано влияние вязкости жидкости и пористости на процесс распространения сферических волн.
Ранее [1—4] рассматривалось распространение ударных волн в изотропных однородных и неоднородных вязко-упругих, упруго-вязкопластических средах, где показано, что в таких средах существует два типа ударных волн и определены скорости и интенсивность их распространения.
1. Скорости ударных волн. Под ударной волной в насыщенной вязкой жидкостью упругой пористой среде понимается изолированная поверхность, на которой перемещения фаз непрерывны, а напряжения, сила, действующая на жидкость, и скорости перемещения фаз претерпевают разрыв. Модули упругости и физико-механические коэффициенты среды непрерывны. Среда перед фронтом волны находится в неде-формированном состоянии.
Распространение волн в неограниченной однородной упругой насыщенной вязкой жидкостью пористой среде описывается системой уравнений [5, 6]
Р11и(1) + Р12и(2) + b(u(1) - ù(2)) = Xuk\i + v&iM + ик!к) + A^kh
Р12U(1) + P22U(2) - b(U(1) - U(2)) = Aukh + A2ùkli (1Л)
Р11 = P1 -P12> P 22 = P2 — P12
Здесь u(1) — компоненты вектора перемещения твердой фазы, u(2) — компоненты вектора перемещения жидкости, X и ц — коэффициенты Ламе, A1 и A2 — коэффициенты, зависящие от пористости среды и сжимаемости жидкости, р11 и р22 — эффективные плотности твердой фазы и жидкости, р12 — динамический коэффициент связи твердой фазы и жидкости, р1 — плотность твердой фазы, р2 — плотность жидкости. Жидкость будем считать сжимаемой. Точкой над буквой обозначена производная по времени. Верхний индекс 1 относится к твердой фазе, 2 — к жидкости.
Для стационарного течения жидкости постоянную b можно определить из условия выполнения закона Дарси:
2 2
b = n m /k, k = cmb (1.2)
где n — коэффициент динамической вязкости, m — пористость, к — коэффициент проницаемости, 5 — диаметр пор, c — постоянная.
Для рассматриваемой среды тензор упругих деформаций и относительное изменение объема жидкости связаны с тензором напряжений и силой, действующей на жидкость, отнесенной к единице площади поперечного сечения пористой среды, следующими зависимостями:
Тк = + Зце^ + Л1е(гГ)8/к, N = Л^? + ^е®
ек = ^ + "ё), е??> = Ц2) (0)
где Тк — тензор напряжений в пористой среде, N — сила, действующая на жидкость, отнесенная к единице площади поперечного сечения пористой среды.
На волновой поверхности ^ (0 для двухфазной среды выполняются динамические соотношения [7]
[ТкЬ к = -Р1Ж(1)] - Р12^(2)], NN к = -Р12^[Кк(1)] - Р22^[Кк2)] (1.4)
где У^ (а = 1,2) — скорости перемещения фаз, О — скорость движения волновой поверхности, VI — компоненты единичной нормали к волновой поверхности. Квадратными скобками обозначается разность между значениями функции на задней и передней сторонах поверхности разрыва.
Из выражений (1.3), динамических соотношений (1.4) и условий совместности первого порядка [7] для малых деформаций
ц(а)] = [У(а)] =_аю(а), [И(а)] = а= 1,2 (1.5)
получим систему уравнений
(к + ц)©^V+ цю® + Лlюk2)v- РиО2Ю® - Р12^2ю(2) = 0 (16)
ЛД^+ Л2Юк2^- Р12^2Ю(1) - Р22^2©(2) = 0
где ю(а) — величины скачков первых производных перемещений фаз.
Из системы (1.6) следуют формулы для скоростей безвихревых и эквиволюминаль-ной волн.
Для определения скорости безвихревой волны умножим оба уравнения (1.6) на V, и просуммируем по повторяющимся индексам, затем положим ю(а)у(- = юа ^ 0 (а = 1,2) на поверхности ^ (0. В результате получим однородную систему двух линейных уравнений относительно е>1, и
(Л а -Р1а£2м + (Ла -ра2^2)Ю2 = 0; а = 1,2, Л1 + 2ц, л2 = Л1 (1.7)
Условием существования ненулевых решений системы (1.7) служит равенство нулю ее определителя, что приводит к уравнению относительно скорости безвихревых волн
(О = О)
кО - к202 + а = 0 (1.8)
2 2 к1 = Р11Р22 - Р^ к2 = Р11Л2 + Р22Л1 - 2Р12Л1, а = Л1Л2 - Л1
Уравнение (1.8), вообще говоря, имеет два различных корня, определяющих скорости О,1 и О,2.
Таким образом, в упругой насыщенной вязкой жидкостью пористой среде существует два типа безвихревых волн.
Если взаимодействие между твердой фазой и жидкостью отсутствует (р12 = 0, A1 = 0), то из уравнения (1.8) следует
О = Л = 11 + 2ц
р11 * р1 (1.9)
О = — = —
2 <Р22 V Р2
т.е. в этом случае скорости безвихревых волн первого и второго типа равны скоростям волн, распространяющихся в сплошной упругой и в сплошной жидкой фазах в отдельности.
Если = 0, ю(2"У,- = 0 на поверхности ^ (,) при условии, что не все ю(а) (а = 1, 2) равны нулю одновременно, то из соотношений (1.6) получим скорость эквиволюми-нальной волны (О = О,)
О, = р22^ 2 (1.10)
\PnP22 -Р12
Если р12 = 0, то из равенства (1.10) следует, что в рассматриваемой среде распространяется эквиволюминальная волна только в твердой фазе, ее скорость равна скорости поперечной волны
О, = ^ (1.11)
\Ри \Р1
2. Интенсивность волновой поверхности. Для определения изменения интенсивности ударных волн возьмем разность соотношений (1.1) на разных сторонах волновой поверхности
+ м([и$*] + [«$*]) + = Рп[и(1)] + РпйР] + Ь([й(1)] - [й((2)]) (2.1)
+ А2[421-] = Р12[й(1)] + Р22[ии- Ь([й(1)] - [й(2)])
Запишем геометрические и кинематические условия совместности второго порядка для безвихревых волн [7]
[й$кК = к - 2П1 юкаЧ, [й^, = Ьа)ук + ^^юк'Х (2)
г (а)
[й(а)] = 02Ь^ - 26, ^, йа)] = -О,; а = 1,2 5,
где Ьа) (а = 1,2) - величины, характеризующие скачки вторых производных перемещений фаз, О, - средняя кривизна волновой поверхности, gув - коэффициенты первой фундаментальной квадратичной формы волновой поверхности, х¡к - производные декартовых координат ^ по криволинейным координатам и р поверхности ^ (,).
Учитывая условия (2.2), соотношения (2.1) запишем в виде системы уравнений (Л„ - РкО^Ук + (Ла - Ра2ОМ^к - (2Л<А + ЩМ -
- (2ЛаП, ± Щ)®2 + 2О1 (р1а ^ + р„2 = 0 (2'3)
Л1 = X + 2ц, Л2 = Л1
При помощи уравнения (1.8) стандартным путем исключим из системы (2.3) величину . Тогда после преобразований получим
р, + + Ъ + В,ю2 = 0 (2.4)
о Г оГ
= 2°,{(Р11 Л2 - Р12Л1) - (Р11Р22 - р22)О;2} ¥2 = Щ{(Л12 - Л1Л2) + (Л1Р22 - ^р^О2} + ЬО,{(Л1 + Л2) - (Р12 + Р22)О2} = 20,(Р12Л2 - Р22Л1)
= + ЬО,{(Р12 + р22)0,2 - (Л1 + Л2)}
(а)
Величину ®2 найдем из первого уравнения системы (1.6) (ю, VI = юа ^ 0)
Г • Г Л1 - Р1102 гч
®2 = Г, ©1; 11 = -2--(25)
Р120; - Л1
и, подставив в уравнение (2.4), получим
£= {«0 -^>1 <2 6>
В1 = (Р11Р12Л2 + Р12Р22Л1 - 2РПР22Л1)0,2 + (Р11Л1Л2 + Р22Л1Л1 - 2Р12Л1Л2) В = {(Л1 + Л2) - (Р12 + Р22)02}{(Л1 + Л1) - (рц + Р12)0,2}
У, = в /в
Определим интенсивность безвихревой волны следующим образом [7]:
= ^ю® ®((1) = л/ЮЮ (2.7)
и, обозначив через 5 > 0 расстояние вдоль нормалей к поверхности ^ (70), 8 -производную можно представить в виде [7]
5^1 _ 0dWl
ИГ" 0,1Г (2'8)
Тогда уравнение (2.6) запишем в лучевой системе координат [8]
^ = (П -Г,Щ®; у, = £ (2.9)
2О,
оно определяет изменение интенсивности ударных безвихревых волн первого и второго типов в твердой фазе. Изменение интенсивности ударных безвихревых волн в жидкости найдем из выражения (2.5):
ж,(2) = Г = Л±-p1GLw{!) (2.10)
Р12О, - А1
Для определения интенсивности эквиволюминальных волн (ЭВ) продифференцируем по Р соотношение к = 0, (а = 1,2):
№ vi ),в =Ю(-,р vi +Ю' ví■,p = 0, vi = -®' ví■,p =Ю( g Ьвохт (2.11)
и, применив геометрические и кинематические условия совместности второго порядка, из соотношений (2.1) получим систему уравнений
5 (1) 5 (2)
Р /~2г(1) 1Р Г ОЮ- ГЛ<1> + Р /-2г(2)„(1) 1Р г ОЮ- +
р1аО,Ц - 2р1аО, I Ю + Ра2О,Ь' Ю - 2Ра2О, Ю + ,,
О, О, (2.12)
+ (-1)аьв,ю'1)(ю'1) - ю'2)) + (2 - а) [-цЬ'1'®'1' + ю'1®'1'] = 0, а = 1,2 где О, - скорость ЭВ.
(2)
С помощью формулы (1.10) исключим из системы (2.12) величину Ц . В результате получим
8 (1)
2цр22 ^ю® - 2цр22^,О,ю(1)ю® + ЬО,'(Р12 + р22)ю®(ю® - ю(2)) = 0 (2.13)
ы
(а)
Из уравнения (1.6), полагая ь, v, = 0 (а = 1,2), имеем
2
Р12О,"
ю(2) =Г, ю(1); Г, (2.14)
Тогда для определения интенсивности ЭВ в первой фазе выражение (2.13) после преобразований и при учете равенства (2.8) можно записать в виде
^ = (О, -у,)W,(1); у, = ^, у, = (Р12 +Р22){(Р11 +Р12)О,2 (2.15)
^ ' 2О/ ЦР12Р22
Интенсивность ЭВ для второй фазы определим из формулы (2.14):
w/2) =Г,Щт (2.16)
Уравнения (2.9) и (2.15) для первой фазы запишем в единой форме
dW(1) т
= (Пр -ур)Wp , р = ,,? (2.17)
Можно показать [7], что среднюю кривизну волновой поверхности в общем случае можно записать в виде
^0 - К05
2
1 - 2^05 + ^5
(2.18)
где и К0 - начальные средняя и гауссова кривизны волновой поверхности.
Интегрируя уравнение (2.17) и учитывая равенство (2.18), получим выражение для определения интенсивности волн, распространяющихся в твердой фазе:
Ж® = 1=ехр(-ур5); ^ = 1 - 2^05 + К052, = (0), Ь = ; р = 1,7
Ж
(1)
р0
(1)
И1)/
Ьу,
№
20,
(2.19)
Интенсивность волн для второй фазы определим из формул (2.10) и (2.16). Тогда выражение для изменения интенсивности волн в насыщенной жидкостью пористой среде при учете вязкости жидкости (1.2) можно записать в виде
Ф = Жр
(1)
+ жр2) = ^ Жр0 ехр
Цт\р ' 20рк '
р = ,, 7
(2.20)
Таким образом, интенсивность волн в насыщенной жидкостью упругой пористой среде с учетом вязкости жидкости зависит от пористости среды, вязкости жидкости, начальной средней и гауссовой кривизн волновой поверхности.
В частном случае, если вязкость жидкости равна нулю, выражения для интенсивности волн совпадают с полученными ранее [8].
Пример. Пусть в упругом насыщенном жидкостью пористом пространстве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.