научная статья по теме РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛЯВА Кибернетика

Текст научной статьи на тему «РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛЯВА»

Н. Б. Петровская

це Ньютона. На следующих ите-■о малого значения погрешности а к приближённому решению на данное решение не совпадает бо-ыв. Приближённое решение для сетке с числом узлов Мэ = 16. ются и на мелкой сетке. Пример шлен на рис.5Ь, где число узлов

вения осцилляций в схемах РМГ : уравнений. Проведённый в ра-I разрывного решения гладкими оявлению осцилляций (скачков) ыляций является то, что их ам-! исчезают с измельчением сетки, решения зависит только от поло-гку вблизи разрыва с тем, чтобы

тся получить аналитическое вы-рименты подтверждают наличие ,1 демонстрируют, что аппрокси-ся одним из факторов, которые лляций в численном решении ги-ше схемы РМГ высокого порядка

'.utron Transport Equation. Technical Alamos, New Mexico, 1973. lopment of Discontinuous Galerkin tation and Applications, B.Cockburn, lput.Sci.Engrg.,Springer-Verlag, New

iscontinuous Galerkin Finite Element ;h. Сотр., 1989, v.52, p.411-435. 1еские вопросы численного решения 08 с.

тарных течений при помощи схемы ;и, 1999, т.39, №5, с.850-864. ;ы, построенной на основе метода нений производной. // Числ. мето-

nlinear Conservation Laws, // Math, an, // BCAG technical report, The lill, New York, 1991. Поступила в редакцию 18.03.2004.

т

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2005 год, том 17, номер 1, стр.93-108

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛЯВА

© О.А. Белоконь ЮГИНФО РГУ

Рассматривается неоднородная задача Лява, решение которой в области действия нагрузки, построено методом контурного интегрирования. Проведен энергетический анализ полученного решения. Методы, разработанные при изучении неоднородной задачи Лява, могут быть применены при изучении неоднородной краевой задачи Лэмба и других подобных задач для электроупругих и анизотропных сред, состоящих из конечного числа полос и полуплоскости. В конце статьи приведены результаты численных расчетов.

WAVE MOTION IN NONHOMOGENEOUS LOVE PROBLEM

O.A. Belokon

Inhomogeneous problem Love, which solution in a scope of a loading, built by a method of a contour integration is considered. Thus the rule of bypass of poles of an integrand function, the bound with an operating loading for the first time is established.

Methods, designed at study to inhomogeneous Love problem, can be applied at study of inhomogeneous boundary value Lamb problem and other similar problems for electrostatic and the anisotropic mediums consisting of a finite number of bands and a half-plane. At the end of a paper outcomes of numerical calculations are presented.

1. Введение. Однородные волны Лява, как это указано в |1], впервые теоретически предсказаны Бромвичем [2] в длинноволновой области, а их детальное исследование в более широком диапазоне частот было проведено Лявом [3]. Однородные волны Лява часто наблюдаются при землетрясениях, поскольку земная кора имеет слоистую структуру. В последнее время их также стали использовать для создания дисперсионных линий задержки, следовательно, и интерес к этим волнам, значительно возрос [4|,[5]. Однако неоднородная задача Лява не рассматривалась, поскольку даже простая неоднородная задача о распространении горизонтально поляризованных волн в полупространстве достаточно сложна при изучении [6].

В предлагаемой работе рассматривается неоднородная задача Лява, решение которой в области действия нагрузки, построено методом контурного интегрирования. При этом впервые установлено правило обхода полюсов подынтегральной функции, связанных с действующей нагрузкой }{х) = Acos(px), < a/h. Доказано, что в случае р < uih/c2 (h -толщина слоя, Ci - скорость распространения упругих волн в полупространстве 0 < г < оо, ш - круговая частота колебаний, а - область приложения нагрузки) при замыкании контура интегрирования в нижней комплексной полуплоскости полюса ±р обходятся снизу, а в верхней - сверху. Впервые также доказано, что в канале \х\ < a/h, 0 < z < оо при фиксированных х существуют, как прямые, так и обратные волны. Получены энергетические соотношения, позволяющие изучить в неоднородной среде потоки распространения энергии в слое и в полупространстве. Аналитически доказано совпадение осредненных за период колебаний потоков энергии, закачиваемых с дневной поверхности слоя, и распространяющихся в двуслойную среду.

2. Постановка и решение задачи. Рассмотрим неоднородную задачу Лява, математическая формулировка которой достаточно известна и сводится к следующему: требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

Дщ + ilfux = 0, П = {|х| < оо, -1 < z < 0} ,

(1)

94

О.А. Белоконъ

Аи2 + П1и2 = О, П1 = {|х| < оо,О < г < оо}, (2)

где П, П1 - области, в которых ищется решение дифференциальных уравнений, ик - безразмерные перемещения в соответствующих областях, Д - оператор Лапласа на плоскости. Кроме того, в (1) и (2) приняты обозначения

= с1 = ^

Рк

XI /г '

Хз /г

Ьк /г '

и>к(х,г,г) = ьк(х,г)е"

(3)

Из принятых обозначений ясно, что /г - толщина верхнего слоя, с^ - скорость распространения сдвиговых волн; ш - круговая частота колебаний заданной нагрузки на дневной поверхности слоя, ж, г - безразмерные координаты, и)к(х,г, ¿) - искомое решение. Граничные условия для рассматриваемой задачи имеют вид

И

дщ

Ж

= /(*),

\х\ < р Щ=и2,

дщ ди2

■О,

(4)

Применим преобразование Фурье по переменной х к уравнениям (1)-(2) и граничным условиям (4), и, пользуясь принципом предельного поглощения [8], после несложных преобразований найдем:

а1е(г,ки,к2е) =

(12к2евЪк1Сг — щк^сЬк^г

(11киО(Ои,к1с,к2£)

-1 < г < О,

а2е(г,к1е,к2е) =

е-к^г

О < г < оо, Яек2е > О,

где

0(П1е,ки,к2с)'

■ оо

аке(г,ки,к2е)Р{у) = J ике{х,г)ег'<хйх\ ки = ^/7

(5)

с 1

с = —, С2

к2е = 72 - с2П2и; Р(7) = J /(х)е'~гхйх,

0{^1е,ки,к2е) = ки^БЦки) + к2е^2сЬ{ки), а П1£ = П1 — ге. Теперь, применяя обратное преобразование Фурье к (5), найдем:

оо

ике = 2^ /

(6)

(7)

Для нахождения ике воспользуемся методами контурного интегрирования, для чего в комплексной плоскости 7 = а + гт проведем разрезы [6], учитывая, что существует две точки ветвления у подынтегральных функций 7^ 2 = ±сП1£ (индекс "1" у П в дальнейшем будем опускать) (рис.1).

Дисперсионное уравнение рассматриваемой задачи

0(Пе,к1е,к2е)= О

(8)

достаточно хорошо изучено при е = 0 |5]. Это уравнение имеет конечное число вещественных корней при каждом конечном Пи с < 1, а также счетное множество комплексных. Если

(2)

деальных уравнений, щ - без-тератор Лапласа на плоскости.

(3)

его слоя, Ск - скорость распро-»аданной нагрузки на дневной I - искомое решение, •т вид

£ > 6 > 0, то отрицательные вещественные корни уравнения смещаются с вещественной оси в верхнюю комплексную полуплоскость, а положительные - в нижнюю. Если же с > 1, то уравнение имеет только счетное множество комплексных корней -уk = ffc + i^k, к = 1,2, — Следовательно, обязательным условием существования волн Лява является требование с < 1, которое и используется в данной работе.

Перейдем к вычислению интегралов. Для этого, не нарушая общности, выберем нагрузку в виде/(х) = A cosрх. В этом случае

F(~i)e~iix = Я(7)ехр(-»7(я;+ J)) + F2(7) ехрН7(* - £)),

е-ipa/h gipa/h +

Fib) = *Т(7).

7 + Р 7 ~Р. Тогда интегралы в (7) можно представить в виде

Uke = «L + UL

(9)

(4)

сравнениям (1)-(2) и гранич-ощения [8], после несложных

•>0,

(5)

с 1

с= Г' С2

«L

ОО OQ

^ J abFiWe-'iMVdy, и2ке = i- J a^F^e'^1^^ .

f)

IK,

-IK,

Sic

»_____—-•*

/N

-p

гкс

-гк e

(10)

Рис. 1.

Рис. 2.

(6)

урье к (5), найдем:

(7)

о интегрирования, для чего итывая, что существует две вдекс "1" у Я в дальнейшем

(8)

конечное число веществен-ожество комплексных. Если

Для вычисления полученных интегралов воспользуемся методами контурного интегрирования. Заметим, что вид функций Fk(7) определяет полуплоскость, в которой замыкается контур интегрирования, чтобы подынтегральная функция в соответствующей полуплоскости удовлетворяла условиям леммы Жордана |7].

Легко получить, что для подынтегральных выражений, содержащих множителями функции вида Fi(~f)e~ll(-x+a!h\ Fi(~i)e~l~l(-X~alh'> для вычисления интегралов учитывается, что:

1) Для Fj(7)е-п(*+оЛ): +

при х > —a/h контур интегрирования замыкается в нижней комплексной полуплоскости,

при х < —a/h контур интегрирования замыкается в верхней комплексной полуплоскости

2) Для F2(7)e-n(*-a/h).

при х > a/h контур интегрирования замыкается в нижней комплексной полуплоскости,

при х < a/h контур интегрирования замыкается в верхней комплексной полуплоскости.

Цена 18

Переплет í р

96

O.A. Белоконъ

ï

Математическi

Вычислим вначале интегралы в полосе. Замыкая контур интегрирования как показано на рис. 1, найдем ц2е при х > —a/h. Поскольку подынтегральная функция в выражении для и2е имеет два полюса 7^2 = ±Р> т0 на вычислении этого интеграла следует остановиться более подробно. Пусть, например, р > с£1\, тогда очевидно, что точки 7- изолированные особые точки и их можно учесть обычным образом при применении теоремы о вычетах для полюсов, лежащих на вещественной оси. Если же р < cfii, то точки 7^2 = ±р не являются изолированными особыми точками для подынтегральных функций в (7). Это утверждение связано с тем, что вблизи вещественной оси проведены разрезы, на берегах которых функция к2е имеет разные знаки. Действительно, если обратить внимание на рис.2, то в окрестности точки 7^ = — р внутри полуокружности малого радиуса с центром в этой точке в нижней комплексной полуплоскости подынтегральная функция не будет аналитической. Однако, если е —> 0, то разрез в верхней комплексной полуплоскости будет смещаться к вещественной оси и при достаточно малых е точка = — р становится неизолированной, поскольку ее нельзя окружить окружностью достаточно малого радиуса, не зависящего от £, внутри которой функция была бы аналитической. В то же время, согласно принципу предельного поглощения, функция и2 находится из соотношения

lim U2e = U2, £—0

откуда видно, что е может быть сколь угодно мало и не зависит от радиуса окружности, проведенной вокруг точки 7 = —р. Аналогично можно показать, что точка 71 также не является изолированной особой точкой. Из предыдущ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»