АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 356-367
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН С РАЗРЫВАМИ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ ТИПА БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ
© 2014 г. Е. Г. Лобанова*, С. В. Лобанов**, В. А. Хохлова*, ***
*Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 119991 Москва, Ленинские горы E-mail: moreva@physics.msu.ru, vera@acs366.phys.msu.ru **Сколковский институт науки и технологии 143025 Сколково, Новая улица ***Центр промышленного и медицинского ультразвука Лаборатория прикладной физики университета шт. Вашингтон Сиэтл, шт. Вашингтон, 98105, США Поступила в редакцию 05.02.2014 г.
Развита численная модель описания распространения одномерных встречных волн в нелинейной среде с произвольным степенным законом поглощения и соответствующим законом дисперсии. Модель основана на решении обобщенных одномерных уравнений Навье—Стокса с поглощением в виде оператора свертки по времени в уравнении состояния. Разработанный алгоритм позволяет описывать взаимодействие волн при наличии ударных фронтов в средах типа биологических тканей. Моделирование проводилось с использованием конечно-разностных методов на смещенных сетках; поглощение и дисперсия скорости звука учитывались с помощью причинной функции памяти. На основе развитой модели проведены численные расчеты, демонстрирующие эффекты поглощения и дисперсии при нелинейном распространении импульсов различной формы, а также их отражения от импедансных акустических границ.
Ключевые слова: релаксация, дисперсия, нелинейность. DOI: 10.7868/S0320791914040078
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение фундаментальной проблемы нелинейного распространения встречных акустических волн в неоднородных поглощающих средах представляет собой одно из перспективных направлений современной акустики. Во многом это связано с развитием новых приложений мощного ультразвука в медицине [1—3]. Примерами являются ультразвуковая эхография с использованием высших гармоник [4, 5], разрушение почечных камней сфокусированными ударными импульсами (экстракорпоральная литотрипсия) [6, 7] и не-инвазивная ультразвуковая хирургия [8, 9]. Основные результаты в данной области получены для однонаправленного распространения плоских волн и ограниченных пучков в воде и биологических тканях, описываемых модельными нелинейными уравнениями эволюционного типа [2—6, 8—10]. Однако часто для решения практически важных задач визуализации воздействия ультразвука на ткань и оценки эффективности и безопасности терапевтического воздействия при облучении через слои тканей различного типа необходимо учитывать эффекты отражения и рассеяния. В этом слу-
чае встает вопрос о построении и решении полного нелинейного волнового уравнения, где результатов на сегодняшний день получено гораздо меньше [7, 11, 12]. Важной частью построения полной волновой модели является включение в нее частотно-зависимого поглощения и дисперсии, удовлетворяющих экспериментальным данным и соответствующих принципу причинности.
Как известно, волновое уравнение для классической вязкой теплопроводящей жидкости содержит дифференциальный оператор, соответствующий поглощению, пропорциональному квадрату частоты. Механизмы поглощения в мягких биологических тканях значительно более сложные, они обусловлены различными видами колебательной, структурной и химической релаксации, что приводит к экспериментально наблюдаемому степенному частотному закону поглощения в виде
а(ю) = а с
ю
®0
П = У + 1,
(1)
где а0 — коэффициент поглощения на частоте ю0, ю — круговая частота, а величина показателя сте-
п
пени п обычно изменяется в диапазоне от 1 до 1.5 [1].
Чтобы учесть это различие, дифференциальный оператор поглощения для вязкой теплопро-водящей жидкости заменяется альтернативным оператором потерь. Так, Руденко, Солуяном и Хохловым было предложено записать оператор потерь в уравнении ХЗК в общем интегральном виде как свертку решения с ядром, соответствующим произвольному частотному закону поглощения в среде [13]. Различные конкретные виды интегральных операторов для описания поглощения в средах со степенным законом поглощения были получены позже в работах О'Доннела [14], Коллин-са [15] и Сзабо [16]. Был также предложен альтернативный подход, который заключается в аппроксимации степенного закона поглощения (1) суммой релаксационных процессов. Такой подход соответствует связи поглощения в ткани с различными релаксационными процессами. Были предложены модели непрерывного распределения релаксационных параметров [17] и дискретного набора из нескольких релаксационных процессов [18]. Было показано, что два процесса релаксации достаточно точно аппроксимируют степенной закон поглощения в диапазоне 1—12 МГц [19].
При проведении численного моделирования интегральный вид оператора поглощения существенно замедляет расчеты. В качестве альтернативы Чен и Нолм получили оператор потерь на основе дробного лапласиана для уравнений нелинейной акустики [20]. Этот оператор был позднее обобщен с учетом дисперсии скорости звука в соответствии с требованиями соотношений Кра-мерса—Кронига [21]. В сравнении с оператором временной свертки вычисление дробного лапласиана зависит только от значений поля давления в текущие моменты времени. Это позволяет эффективно проводить численные расчеты с использованием псевдоспектрального и ^-пространственного методов [22].
Таким образом, моделирование распространения акустических волн в средах со степенным законом поглощения по частоте |п сводится к введению в волновое уравнение дробного лапласиана (-V 2)п 2 в пространственных координатах или интегрального временного оператора поглощения. При этом построение самого интегрального оператора, отвечающего степенному закону поглощения и принципу причинности, является неоднозначным и по-прежнему представляет интересную научную задачу.
В данной работе предложен новый подход, позволяющий, исходя из известной зависимости поглощения от частоты, рассчитать функцию памяти в интегральном законе поглощения. В рамках развитого метода зависимость поглощения от частоты может не описываться аналитическим
выражением, а, например, может быть получена в эксперименте или иметь сложный вид, когда не удается рассчитать дисперсию скорости звука на основе локальных дисперсионных соотношений. В работе получена система уравнений для одномерных встречных волн, описывающая эффекты нелинейности, поглощения и дисперсии. Развит конечно-разностный алгоритм для численного моделирования полученной системы. Точность алгоритма протестирована на примере решения ряда задач акустики, имеющих аналитическое решение. Получены новые результаты в задаче о распространении нелинейного импульса в среде типа биологической ткани и его отражения от мягкой границы.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОД
2.1. Метод построения причинного интегрального оператора для степенного закона поглощения
Будем описывать одномерное волновое движение в нелинейной среде с памятью системой уравнений типа гидродинамики для акустических волн:
ди = _ 1 др 1 ди^ д? р0 + р' дх 2 дх
др=-дх [ро+р'н
д? дх
р = с01 $(Ор'(? -
, 1 8 - 12 .2
+--СоР ,
2 Ро
(2)
(3)
(4)
где р и p — отклонения плотности и давления от равновесных значений: р = р0(х) + р', p = p0 + p'; u — колебательная скорость частиц среды; р0(х) — равновесная плотность среды, с0(х) — скорость звука в среде, е — параметр акустической нелинейности среды. Уравнение состояния (4) записано в виде свертки во временной области. Здесь и далее ядро S(т) в интегральном законе поглощения (4) будем называть функцией памяти рассматриваемой среды. Линеаризуя систему уравнений (2)—(4) для однородной среды, сведем полученную систему к волновому уравнению относительно возмущения плотности среды р':
1 дУ
дх2
с0 д?
| БЦ)р( -
= 0.
(5)
Предложенный здесь способ получения дисперсионного уравнения для (5) и на его основе восстановления вида ядра S(t) в интегральном соотношении (4) заключается в следующем. Будем искать решение (5) в виде бегущей волны
р' = р0 ехр (-г(ю? + кх)), (6)
где комплексное волновое число k имеет вид
о
&(ю) = &'(ю) + /к"(а>) = + /а(ю).
с(ю)
Здесь к"(ю) = а(ю) описывает частотную зависимость закона поглощения, а с(ю) — закон дисперсии. Подстановка выражения (6) для возмущения плотности р' в волновое уравнение (5) дает дисперсионное соотношение
(7)
к(-) = - S ~05(ю),
(8)
где ^(ю) определяется, с учетом принципа причинности, как
ад) = | Б(Г)ешсН\
(9)
Приравнивая правые части соотношений (7) и (8) для волнового числа к, получим выражение для функции памяти Дю) в частотном представлении:
ад = + ¿£о0(®) ус(ю) ю
-2
(10)
Выражение (10) легко переписать в виде соотношений, выражающих поглощение а(ю) и дисперсию скорости звука с(ю) через функцию памяти ^(ю):
а(а>) = - Im [5 ~0-5(ш)],
с° (11) Ф>) = С0 (Re [5^(ш)]).
В выражении (11) зависимость с(ю) неизвестна. Однако известно, что изменения скорости звука с частотой в биологических тканях небольшие [1]. Тогда будем искать ^(ю) методом последовательных приближений, ограничиваясь первым приближением. Для этого поглощение а(ю) и дисперсию скорости звука с(ю) представим в виде
а(ю) = а(0)(ю) + а (1)(ю) = а 0 |ю/ю0| + Аа(а>),
Аа(а>) < а0, (12)
с(а>) = с(0) + с(1)(ю) = с0 + Ас(а>), Ас(а>) < с0. Если теперь подставить соотношения (12) для поглощения а(ю) и дисперсии скорости звука с(ю) в выражение для ^(ю) (10), то, после ряда преобразований в приближении, что длина затухания намного больше длины волны рассматриваемого излучения, а(ю) <§ ю/с(ю), перейдем к выражению
ад) = 1 - 2/-^ + 2 АСИ - 2/ Аа(ю)с0.
ю с0 ю
(13)
щую закон дисперсии Яе{^(1)(ю)}, и искусственную добавку Аа(ю)с0/ю к закону поглощения на длине волны 1ш{^(1)(ю)}. Таким образом, выражение (13) представляет собой первое приближение для ¿(1)(ю).
Перейдем теперь непосредственно к построению причинного ядра S(f) в интегральном законе поглощения, используя метод последовательных приближений, который состоит из двух шагов. На первом шаге, если пренебречь дисперсией скорости звука и использовать в соотношении (10) выражение (1) для поглощения, то получим
5(ю) = (1 + 1С0а0 ИУ зщл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.