МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. О.М. ХАЙ
РАССЕЯНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН ДИСКОВЫМ ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ В ТРЕХМЕРНУЮ УПРУГУЮ МАТРИЦУ
Рассматривается трехмерная задача о взаимодействии гармонических волн с тонким жестким подвижным включением в бесконечном упругом теле. Задача сводится к системе двумерных граничных интегральных уравнений типа потенциала Гельмгольца относительно функций скачков напряжений на противоположных поверхностях включения. Предлагается гранично-элементный способ решения интегральных уравнений, предусматривающий регуляризацию их слабосингулярных ядер. На основании асимптотических соотношений между амплитудно-частотными характеристиками волнового поля в дальней зоне и полученными граничными функциями скачков напряжений определены амплитуды рассеяния круговым дисковым включением плоской продольной волны для различных случаев направления волны на неоднородность и широкого диапазона волновых чисел.
1. Гранично-интегральная формулировка задачи. Тонкие неоднородности оказывают существенное влияние на напряженно-деформированное состояние тела как вблизи дефектов, так и на больших расстояниях от них. С точки зрения механики разрушения актуальными являются коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности неодно-родностей. Исследованию статической и динамической концентрации напряжений в трехмерных телах с трещинами и тонкими инородными включениями посвящено большинство работ [1-6]. Однако, с целью идентификации локальных препятствий, для определения геометрических и механических их характеристик не менее важно изучение дальней волновой зоны (области Фраунгофера). Результативность предложенного ниже подхода к определению трехмерных волновых полей, рассеянных плоским жестким включением, обосновывается использованием в качестве плотностей потенциалов этих полей решений двумерных интегральных уравнений, которые допускают эффективное решение в частотной области. Ранее данный подход применялся в трехмерных задачах для анализа полей перемещений, обусловленных дифракцией волн на трещине [7, 8] и объемном включении [9-11].
Пусть в бесконечном изотропном упругом теле (матрице) содержится плоское абсолютно жесткое включение массы M, занимающее область S в плоскости x1Ox2. Система координат (Ox1x2x3) вводится таким образом, чтобы ее центр O совмещался с центром
масс дефекта, а поверхностям размежевания S± включения и тела соответствовали значения x3 = ±0. Предполагается, что жесткое включение идеально сопряжено с матрицей. Напряженно-деформированное состояние возбуждается падающей гармонической волной с заданным распределением в пространстве x(x1, x2, x3) и во времени t перемещений
U'n(x, t) = u'"(x)exp(-¿rat), где u'n(и'1, u'2 , u'3) - амплитуда колебаний, ю - циклическая частота. Путем выделения общего для величин установившегося процесса экспоненциального временного множителя задача сводится к рассмотрению соответствующих амплитудных значений.
Исходя из принципа суперпозиции, полное дифракционное поле перемещений и(м1; и2, и3) в теле с включением можно представить в виде
и (х) = и'"( х) + и3С( х)
3С / 30 30 30 \
Здесь и (, и2 , и3 ) - неизвестные перемещения отраженных от включения волн, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям Ламе гармонических колебаний, условиям излучения на бесконечности, а также граничным условиям
и]С(х)|хе 5 = - и'"(X) + и] + (-1)ОзХз-. (] = 1, 2)
111 (1.1) и3С( х )| х е 5 = - и"( х) + и3- О2 х1 + О1 х2
где и00 (у = 1, 2, 3) - поступательные перемещения центра масс включения как жесткого целого в направлении соответствующих осей Ох,, О. ( = 1, 2, 3) - его углы поворота вокруг осей координат.
Перемещения отраженных волн в произвольной точке тела с включением представляются интегральными соотношениями [6]:
3
30
иу
(х) = 4ДДОу(X) и1}{X, х)йБ^ (у = 1, 2, 3) (1.2)
I = 1 5
где и. (I, у = 1, 2, 3) - элементы матрицы фундаментальных решений стационарной динамической задачи теории упругости в перемещениях [12]:
тг , 1,* ехр(х - X) 1 д
иа(Х х) =
■ехр (I « |х - XI) ехр (г'ю2| х - X)"
4пО|х - X «2дХ1 дХу1 |х - X |х - XI
Здесь О - модуль сдвига, 5. (I, у = 1, 2, 3) - символ Кронекера, ю. = ю/с. ( = 1, 2) - волновые числа, сх, с2 - скорости распространения в теле продольных и поперечных волн, |х -XI - расстояние между точкой тела х(х:, х2, х3) и точкой интегрирования Х(^1, Х2). Неизвестные плотности До, ( = 1, 2, 3) потенциалов Гельмгольца, образующих представления (1.2), характеризуют скачки компонент напряжений на противоположных поверхностях включения, а именно
ДОу(х) = -4П [о±3 (х) - о-3(х)] (у = 1, 2, 3) о+3(х) = Иш о ,3(х), х(х1; х2,+0)е 5
1 х3 ^±0 1
Удовлетворяя с помощью представлений (1.2) граничным условиям (1.1), перейдем к следующим граничным интегральным уравнениям (ГИУ) относительно функций До.
. = 1, 2, 3):
ДДо3(Х)х, X)dSx = -ю2Ои3 (х), х(х1; х2) е Б
5 (1.3)
Ц[До;.(Х)Я.(х, X) + ДО3-у(X)Я к3-у)(х, X)]dSx = -«2Ои'п(х) (у = 1, 2), х(х1; Х2) е Б
В ГИУ (1.3) ядра Яа Ц = 1, 2, 3), Я12, Я21 имеют форму
я/х, X) = Ь(Iх-х)-(Ха^ь2(Iх-X) ; |х - XI- с-М
»3
(j = l, 2)
Яз(x, X) = Li(|x- X)
c2 m
Rj(3-j)(x. X)
2
( x1-^1)( x2"^ 2 )
l + 51x1 + 5 2 x2 1 + . 2 + .2 i2 i
(1.4)
l
|x - XI
i- /i si\ 4nG^;x3-j --L2( I x - x ) + -2--]—3r¿
2 c2M i3
где а = 1, 2, 3) - радиусы инерции включения относительно осей Оха.
ТГI ек , й|чехР(''ю1 Iх - Х) , ,1 5кехР(г'®-1х - Х! ~
Ьа (| х - XI) = ¡а 1 (I х - XI) —-—-з--1а-(I х - XI) —-—-3— (а = 1, -)
|x - XI3
|x - XI3
¡п (г) = 1- тхг, ¡12 (г) = 1- ¡ю-г - ю-г2, ¡2 а (г) = 3-3 гюаг - ю-г2 (а = 1, -)
При получении уравнений (1.3) учтено, что перемещения и повороты включения как жесткого целого связаны с функциями Лоа ( = 1, 2, 3) соотношениями
о 4п
JjAOj(X)dSX (j = 1, 2, 3)
] ю2 MS
Q = ВЙП JJ5 3-j A03 (X) dSX (j =1 2)
юМ' S
Q = --4П
Q3 = 2
ю Mi
-2 JJ[5 2ЛО1 (X) -^Д02 (X)] dSX
3S
Ядра (1.4) уравнений (1.3) имеют слабосингулярную (полярную) особенность в точке X = х, которая выделяется посредством разложения входящих в эти ядра экспоненциальных функций в ряды относительно величины |х - Х|. Вследствие этого ГИУ (1.3) допускают тождественное преобразование к виду, в котором сингулярности содержатся в интегралах типа ньютоновского (статического) потенциала.
гЛо3 (X)
A JJ Tí-Xt dSX + JJ^3 (X)
1 R3(x, X) -ю2
x - XIJ
dSX = -Gu'3(x), x(x1; x2) e S
rr ]
JJ...x.....-....X.....
S
A - B
(x] -5 ])
2
-X2
dSX - в ГГла3-] (X)( x 1 - 51 ) (gx,23 - 2 - dSX +
■JJb ](X)
1 n / 2 4 A n(xj- 5j)
—Rj(x, X) - ¡-=7 + B—''-J-
ю
-X3
+ Л03-](X)
ю
2
+B
( x1- 5 1 ) ( x2 - 52 = ' ---x----X-3-------------
x - X |x - XI dSX = -Gu'"(x) (j = 1, 2), x(x1; x2) e S
1 Rj(3- j)(x, X) + (1.5)
2 2 2 A = ¿t1 B = ¿-=i y2 = C2 = 1 - 2 v
A = 2 ' = 2 ' Y = ¿ = 2 ( 1 - v 7
S
S
где V - коэффициент Пуассона. Первое уравнение системы (1.3) либо (1.5) относительно скачка нормальных напряжений Ао3 соответствует антисимметричной задаче колебаний плоского включения в упругом теле, а система остальных двух уравнений относительно скачков касательных напряжений Ао1, Ао2 - симметричной.
2. Асимптотические соотношения для параметров дальнего поля. Использование в качестве расчетных для перемещений формул (1.2) затруднено присутствием в них интегралов типа свертки по трем координатам, а также сильно осциллирующих функций при удалении актуальной точки. С целью получения более эффективных представлений и физической интерпретации волновых полей на больших расстояниях от рассеива-теля воспользуемся приближениями
|х - X = 1x1 - (X • X)/|X, |х - XI-1 = 1x1-1, |х| (2.1)
После учета в (1.2) приближений (2.1) приходим к асимптотическим соотношениям для компонент перемещений в дальней зоне в виде
, ехр ( Iт 1 I х I ) ехр(гю2|х|)
I х |) I х I + I I х 1) I х I
«;■ (x) - j( О 1 ^^ + j( О 1 ^Л^ (j = 1, 2, 3) (2.2)
л( 1) л (2 )
где амплитуды рассеяния продольных Aj и поперечник Aj волн в направлении единичной нормали x/|x| вычисляются по формулам
A? = G X [8;Л2 + (А 1 - §k2) j]ЯЛ°«(X)exP^)dS\ (k = 1, 2) (2.3)
n = 1 lxl S
Из (2.2), (2.3) следует, что волновая картина на больших расстояниях от дефекта представляется суперпозицией плоских продольных и поперечных волн. Разделения переменных в представлениях (2.2) удается достичь переходом к сферической системе координат (R, 0, ф), связанных с декартовыми координатами следующим образом:
x1 = Rsin0cosф, x2 = Rsin0 sinф, x3 = Rcos0, 0 <0, ф< 2п Тогда радиальные uR и тангенциальные u0, ифс компоненты перемещений вдали от включения примут вид
sc exp (i ю R)
uRc(R, 0, Ф) = R 1 'Fp(0, Ф), R ^ -
sc exp(iю2R)
ulc(R, 0, ф) = R 2 'Fsv(0, Ф), R ^ - (2.4)
М;с(Я, 9, Ф) = ' I' ^ 2 I ^я(9, Ф), Я ^ -
Функции ¥Р, ^у, определяют амплитуды рассеяния продольных и поперечных горизонтально и вертикально поляризованных волн соответственно в дальней зоне, причем
2 3
exp (i ю2 R) _
Fр(0, ф) = G X XijЦЛст;(X)exp [(X • X)]dSx
j = 1 S 3
Fsv(0, ф) = G X VjJJл^j(X)exp [-i®2(X • X)]dSx (2.5)
j = 1 S 13
Fsh(0, ф) = G X X)exp [-i®2(X • X)]dSX
j = 1 S
где Ха, у а, '¿а - координаты единичных векторов. х = (зтОсоэф, зтВэтф, ео80),
у = (со80со8ф, соз0зтф, ^т0), £ = (-8Шф, соэф, 0).
Таким образом, задача о рассеянии гармонических волн жестким включением в дальнюю зону сводится к решению системы слабосингулярных интегральных уравнений (1.5) с последующей подстановкой функций Лоа ( = 1, 2, 3) в соотношения (2.5) и определением регулярных интегралов по области, занятой неоднородностью.
3. Дискретизация интегралов на граничных элементах. При обращении уравнений (1.5) необходимо учитывать, что решения Лоа ( = 1, 2, 3) должны принадлежать классу возрастающих на контуре области интегрирования функций. Согласно известным результатам [1, 13], непрерывность перемещений в окрестности контура дискового включения радиуса а будет обеспечиваться, если функции Лоа' представить как
Ло а(х) = а'(х) (а = 1, -, 3), х(х1; х-) е 5 (3.1)
I
222 a — xi — x^
12
где а - неизвестные функции.
Подстановка выражений (3.1) в интегральные уравнения (1.5) и в соотношения (2.5) приводит к возникновению сингулярности на контур
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.