АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 1, с. 3-12
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.222
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ СФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ С МОНОПОЛЬНЫМ ТИПОМ КОЛЕБАНИЙ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ В УЗЛАХ ПЛОСКОЙ БЕЗГРАНИЧНОЙ СЕТКИ
С ОДИНАКОВЫМИ ЯЧЕЙКАМИ
© 2014 г. Ю. А. Кобелев
Институт прикладной физики РАН 603950Нижний Новгород, ул. Ульянова 46 Е-таИ: kobelev@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 24.12.2012 г.
Дано решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны безграничной и регулярной сеткой, в узлах которой находятся сферические частицы с монопольным типом колебаний. Получены выражения для амплитуд колебаний частиц, коэффициентов отражения и прохождения звука через сетку, справедливых вплоть до соприкосновения частиц. Показано, что в случае плотных сеток, когда длина звуковой волны много больше расстояния между соседними узлами, коэффициент отражения звука от сетки близок к единице в широком диапазоне частот. В предельном случае несжимаемой среды амплитуда колебаний частиц равна нулю, в отличие от частиц, распределенных в объеме, и одиночной частицы.
Ключевые слова: звуковое поле, многократное рассеяние, сферические частицы, монополь, жидкие и упругие среды.
БО1: 10.7868/80320791913060105
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] предложен метод описания среднего звукового поля в жидких и упругих средах, содержащих сферические частицы с монопольным видом рассеяния звука. Утверждается, что метод справедлив как для среднего поля по ансамблям статистически независимых положений частиц, так и для среднего по ячейке трехмерной регулярной решетки поля, в узлах которой расположены частицы. Метод базируется на описании взаимодействия частиц с помощью сферических средних от полей вокруг частиц и учете сдвиговых напряжений от колебаний частиц в звуковом поле. Из результатов работы можно выделить три, по мнению автора, наиболее интересных. Во-первых, в волне среднего поля исчезают радиационные потери энергии колебаний отдельной частицы в сжимаемой среде, что характерно для сплошной среды. Во-вторых, для случая пузырьков газа в жидкости, хотя и сохраняется резонансный характер поведения скорости звука от частоты, но с увеличением концентрации частиц резонансная частота увеличивается, стремясь к бесконечности при объемном содержании частиц около 30%, когда скорость звука становится не зависящей от частоты. Известные автору работы (см. например, [2—5]) дают уменьшение резонансной частоты колебаний частиц в среде и уве-
личение потерь энергии на излучение [2—4] или уменьшение суммарных потерь энергии колебаний частиц [5]. И, наконец, в-третьих, при увеличении концентрации пузырьков газа в жидкости скорость звука в низкочастотном пределе монотонно уменьшается, в отличие от квазигомогенной теории, которая дает для скорости звука минимум при объемной концентрации частиц около 50% [6]. Указанные работы и множество других не подтверждают и не опровергают результаты работы [1]. Подтвердить их в какой-то мере или опровергнуть можно с помощью другой теории, может быть, более очевидной. На взгляд автора, это может быть задача о прохождении плоской звуковой волны через бесконечный плоский слой частиц, расположенных в узлах регулярной трехмерной решетки, составленной из одинаковых и плоских безграничных сеток. Примером решения подобной задачи может служить работа [7], где замаскирована ошибочная гипотеза о равенстве среднего по ячейке поля и эффективного, действующего на частицу, поэтому эффектов, описанных в [1] там нет. Далее еще коснемся этой работы. Первым этапом здесь является определение звукового поля от одной сетки. Эта вспомогательная задача имеет и самостоятельный интерес, отвечая на вопросы о характере колебаний отдельной частицы в сетке и величинах коэффициентов отра-
жения и прохождения звуковой волны. Подобная задача для точечных частиц решена на основе неоднородного волнового уравнения с помощью разложения полей в двухмерный ряд Фурье [8, 9]. В настоящей работе предлагается ее решение методом многократного рассеяния звука, более пригодным в случае частиц конечного размера, и также с помощью разложения в двухмерный ряд Фурье. Результаты работы [10] позволяют с единой точки зрения решать эту задачу как для жидких, так и упругих сред, окружающих частицы.
ДВУХМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПОЛЯ ОТ МОНОПОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА
Монопольным гармоническим колебаниям одиночной частицы, пропорциональным exp (mt) (w — частота в радианах в секунду, t — время), соответствует потенциал у m (r) колебательной скорости частиц (v = Vy m (r)) среды [10]:
. . [an sin(k.r)/kpr, r < R, VmM = RUexpHkV, r, R, (1) где r — расстояние от центра частицы, R — ее радиус, ap, kp и am, к — амплитуды и волновые числа полей внутри и вне частицы в случае жидких сред и продольные волновые числа для упругих сред. Как отмечено в [1], частица внутри может быть любой, а поле у m (r < R) можно построить по известному импедансу частицы. Амплитуды am и ap определяются следующим образом. Пусть вокруг частицы задано полное поле у (r), которое состоит из рассеянных частицей монопольного, ди-польного и т.д. полей и действующего на частицу внешнего или эффективного поля уef (г). Сферическое усреднение его на радиусе r по правилу
2п п
W (r/ r = JJV (F)sin Qd Qd ф:
0 0
= fyef (0)r + amR eXP (-ikr//r
(2)
выделяет из рассеянных полей монопольное, а из эффективного — составляющую, ответственную за монопольное рассеяние. Равенство (17) из работы [10]
í1 + S?RÍ) r=R =
(4)
где рр, и р, # — плотности и волновые числа сдвиговых или вязких волн в частице и окружающей среде соответственно. Замена волнового числа кр, содержащего, в том числе, и вклад от сдвиговых напряжений, на волновое число, определяемое только упругостью всестороннего сжатия среды
£ро = («Vс1о)(1 - гар), кр, = кр„/(1 + 4кр„/3ч2), исключает из параметра Бр волновое число сдвиговых или вязких волн [10]:
Бр = 3р р/рк^Я2 + V Ч2 = = ®0 (1 + га р )/®2 + V Ч 2Я2,
где ср0 = д/у рР0/Р р — адиабатическая скорость звука, ур — постоянная адиабаты, ар — определяет потери энергии колебаний, связанные с объемной вязкостью и обменом тепла, Р0 — статическое давление, ю0 = (ср0/ Я )у] 3р р/ р — параметр, который в случае газового пузырька в жидкости есть собственная частота его колебаний, при этом = -гю/у (V — кинематическая вязкость жидкости). Амплитуда внутреннего поля ар дается формулой (8) работы [10]
aP =--
1
d
w (r)) r=r • (5)
Sin (kpR))kpR - cos (kpR) dr
Соотношения (3) и (5) позволяют выразить амплитуды am и ap через поля (у (г))r или ef (r)) .
Запишем поле (1) через двухмерный интеграл Фурье в прямоугольной системе координат xyz, совмещенной с центром частицы, т.е. представим в виде
<(r) = J Vs (x) exp [-i (syy + szz)] dsydsz =
(sy,sz )=-«
(6)
2n Jy s (x) J0 (rLs) sds ,
где 5 = + г1_ = 4у2 + г2, г = ^гр + х2, Jо (г±?) -функция Бесселя нулевого порядка. Фурье-компонента у ^ (х) дается выражением
W s
(x) = -12 í W m (r) exp [i (syy + szz)] dydz 4n , •
(y,z )=-<*
/ d\r -i (3) - R if(ap/K)sin(r), r < R\ ( Г
= (l + SpRd)) (?)), + amR exp (-ikr)I r\__R = 0, - 2n J [ am exp (-ikr), r > R J Jo ( — Г
определяет амплитуду ат. Величина Бр, характеризующая частицу, при условии к]Я2 ^ 1 имеет вид:
Бр = (3рр/рЯ2\llk2 - фч2) + VЯ2Ч2,
XI
При условии |х| > R в компоненту у ^ (х) дает вклад только рассеянное частицей поле. Наличие у волнового числа к отрицательной мнимой составляющей делает интеграл сходящимся и равным [11]
GO
ЗО
0
= а„Л
2п
у, (IX > я) =_
ехр(-\x\yls2 - к22 - к2, 5 > к
ехр(-¡|х|л/к2 - я2))п/к2 - я2, 5 < к
= ^Лл (о, 0, я). 2п
Функция Л(\]Я|2 - х2^2 - х2, я) (9) при Я = XI и Я1 ^ да дает Фурье-компоненту точечной части-= (7) цы Л (да,0, я) из (7). Второй интеграл в (8) есть раз-
функций Л (да, ,0,я), а пер-
состоит из разности функций Л (VЯ2 - х2,0,я)
ность
вый
Выражение в фигурных скобках не зависит от ра- с положительным и отрицательным волновым
диуса частицы Я и дает Фурье-компоненту точеч- числом кр. В результате для Фурье-компоненты
ной тастщы во всей области значений координа- (8) получаем выражение ты х (—да < х < да). Для XI < Я вклад в компоненту
у я (Х| < Я) дают оба поля — внутреннее и рассеянное частицей:
^я (|х| < Я) = 2ЁП|а.
V я ( < Ё )= Ё 2п
— ^(крг) /0 ((г2 - х2) йг +
Л (да,0, я)-
(8)
, п+1
•=0
ат |ехр (-¡кг) /0 (4г2~-~х2) йг |
"()(—
я
(11)
Вычисление интегралов проведем с помощью интеграла
|ехр (-¡кг) /0 (4,
I ^ ((
я V
г2 - х2 )йг =
кр7=0я
2 2 - х
•+1
(9)
Л ((-х2
2 2 - х , я
• V '(ЯйЯ)" I Я
Покажем, что второе и третье слагаемые в (11) который после замены переменной интегрирова- при обратном преобразовании поля согласно (6) ния г на г± и многократного интегрирования по и дополнительном условии г > Я не дают вклада в частям с использованием свойства функций Бес- исходное поле (1), а сумма первого и второго равна
селя
^•-1 (£) = й (%))/й% принимает вид:
Л (V ё2 - х2,л/Я2 - х2, я) =
да
= I (-1)"/„+1 К )г
•+1 •+1
•=0
г
ехр (-¡к^Т2 + х2
I
2 , 2 г, + х
! =а/ Я12-х
I (-1)" ((
12 - х2
•=0
уя2
2 2 -х
•+1
нулю для значений г < Я. Для этого подставим второе слагаемое (11), равное Л (4 Я2 - х 2,0, я), в (6):
Л (Я, г) = 2п |Л ((Я2 - х2,0, я) /0 (г±, я) яйя -0
= (-)• ()(Яя)^
I»
X J/•+l (ял/я2 - х2)0 (г1_я)
' •'
я
X (10)
Г (ехр (-¡кЯ )
(ЯхйЯху { Я
да
-1 ((V)
Интеграл здесь есть гипергеометрическая функция [12], которая при условии х2 = г2 — г^ выражается через функцию
л/Я7^ ^
•+1
^ (ехр (-¡кЯ)
(ЯйЯ)
Я
(Я2 - г2)) 2••! (л/Я^7)г < Я 0, г > Я,
а функция Л (Я, г) после элементарных преобразований равна
х
Я
Я
ж
0
•=0
X
Геометрия сетки.
A (R, Г) =
¿ (_!Г (r2 - г2 )-£.
n=0
с
X
n ¡ V ; dR))
exp
Л2
0, г > R
_ exp (-ikr)
, r<R.(12)
V
У
Поскольку слагаемые в (11) состоят из функций (12) с различными к, то при условии г < Я вклад в исходное поле (1) от первых двух слагаемых (11) равен нулю, а для г > Я второе и третье равны нулю. В результате во всей области изменения координаты х, но при г > Я, Фурье-компонента монопольного поля сферич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.