КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.26
РАССЕЯНИЕ РЭЛЕЕВСКОЙ ВОЛНЫ МОНОПОЛЬНО-ДИПОЛЬНЫМИ РЕЗОНАТОРАМИ
© 2007 г. Ä. Д. Лапин
Акустический институт им. H.H. Андреева РАН 117036 Москва, ул. Шверника 4
E-mail: mironov@akin.ru Поступила в редакцию 30.11.05 г.
Рассмотрена задача о рассеянии рэлеевской волны цепочкой одинаковых близко расположенных друг от друга монопольно-дипольных резонаторов с трением. Определены значения параметров резонаторов, обеспечивающих непропускание рэлеевской волны. Сформулированы условия, при выполнении которых дипольные резонаторы значительно эффективнее отражают рэлеевскую волну, чем монопольные резонаторы.
PACS: 43.20.Gp, 43.35.Pt
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 15-19
УДК
Простейшим резонатором для рэлеевской волны является пружина с грузом. Такой резонатор, расположенный перпендикулярно границе звуко-провода и присоединенный к нему пружиной, является резонатором монопольного типа, он реагирует на смещение границы звукопровода. В работах [1-4] была решена двумерная задача о рассеянии рэлеевской волны монопольным резонатором и было показано, что на резонансной частоте модуль коэффициента отражения может достигать значения ~0.5. Представляет интерес исследовать закономерности рассеяния рэлеевской волны монопольно-дипольными резонаторами. Простейшим таким резонатором является конструкция из двух пружин с грузами, присоединенных общим жестким (неизгибающимся) стерженьком к звукопроводу, по которому бежит рэ-леевская волна. Одна из этих пружин расположена перпендикулярно границе звукопровода и является монопольным резонатором, реагирующим на смещение границы звукопровода, другая пружина с грузом ориентирована по направлению распространения рэлеевской волны и является дипольным резонатором, реагирующим на наклон ( производную смещения) границы звукопровода [5]. Ниже решена задача о рассеянии рэлеевской волны цепочкой одинаковых близко расположенных друг от друга монопольно-дипольных резонаторов с трением. Показано, что дипольные резонаторы значительно эффективнее отражают рэлеевскую волну, чем монопольные резонаторы. Определены значения параметров резонаторов, обеспечивающих непропускание рэлеевской волны.
Рассмотрим однородное твердое полупространство г > 0 со свободной поверхностью г = 0.
К ней на оси у присоединены одинаковые близко расположенные друг от друга монопольно-ди-польные резонаторы. "Размажем" эти резонаторы по оси у и будем характеризовать резонансную систему параметрами, отнесенными к единице длины по оси у. На рис. 1 дано сечение твердого полупространства с резонаторами плоскостью хг, на нем изображено: 1 - вертикальная пружина с погонным коэффициентом упругости кх(1 - /£х), 2 - горизонтальная пружина с погонным коэффициентом упругости к2(1 - /е2), ех и е2 -погонные коэффициенты диссипации, т1 и т2 -погонные массы монопольного и дипольного резонаторов, 3 - жесткий соединительный стерженек длины Ь и толщины 2а, 4 - твердое полупространство. Поле в твердой среде будем характеризовать скалярным и векторным потенциалами ф и у [6]. В двумерной задаче, когда движение не
Рис. 1. Монопольно-дипольный резонатор для рэлеевской волны.
зависит от координаты у, у векторного потенциала будет отлична от нуля только компонента по оси у; эту компоненту обозначим просто через у. Пусть на резонаторы падает гармоническая поверхностная рэлеевская волна с потенциалами
фо = А ехр [- дог + ¡(Ъ,0х - юX)],
у о = -А ехр [ - 5о ^ + /(%о х - М)], (1)
(%о + *о)
где %0 - корень уравнения Рэлея
В(%) = 4%од* - (%о + *о) = о,
(2)
/( X) = ко( 1- / £о )
ио(X) - Ь-
д х
Ж(х, г, X) - смещение частиц среды по оси г в пол-
ном поле
X)dx и
д Ж ( X )
дх
{(ф + фо), (уо + У)}, Ж(X) = оа£ Ж(х, 0,
1 Га дЖ(х, о, X) ,
= — --г--) ах - усредненные
о^-а дх
{огх}г = 0 = 0, где сгк - компоненты тензора напряжений, р1(х) = о~ ,р2(х) = —5 , |х| < а; [а хр2(х)Сх = 1;
Рх(х) = р2(х) = 0, |х| > а. Его получим методом Фурье [7, 8]. Оно равно сумме рассеянных полей, создаваемых монопольными и дипольными резонаторами ф = ф1 + ф2, у = у1 + у2, где
ф
1 = ^т [ &1(%)(ТТ7%~ГехР(- ^ + 1 %х)Сх, рсо * В
(5)
у1
/оЩ [ ехр(- + /%х)С%,
%д
д = о - к], Яе д > о, 1т д < 0, * = ^о - ко, Яе * > о, 1т * < о, до и *0 - значения величин д и * при % = %0, к = ю/с, к( = ю/с^ с; и cX - скорости продольной и поперечной волн, ю - круговая частота. Под действием волны (ф0, у0) резонаторы колеблются и создают в твердом полупространстве рассеянное поле (ф, у), полное поле равно {(ф + ф0), (у + у0)}.
Обозначим через и^) - смещение груза т1 по оси г от положения равновесия и через и2^) - смещение груза т2 по оси х от положения равновесия. Уравнения движения грузов имеют вид
ти (X) = -Е( X), то Но (X) = -/(X), (3) где силы Е^) и/(X) определяются по формулам Е( X) = кД 1- /£, )[ и! ( X ) - Ж( X)] ,
д Ж (X Г (4)
Р с(
'В (%)
фо = ^Щг [ &о(%)^^^г-.ехр(- дг + /%х)Сх
Р с1
В(%)
(6)
у о = о ^ [§о ВчЬ ехР(- ** + г %х. ,
р - плотность среды. Величины и &2(%) определяются по формулам
а
& = к 1 р1( х.ехр (-/%х.ах = о^8^,
а
= оП 1 ро (х) ехр (-/%х) Сх
= (/%) оп(%а )о
008(%а) -
8т ( % а)' (%а) ]
При (%а) <§ 1 имеем приближенно &1(%) = —,
оп
смещение и наклон границы на площадке соединения жесткого стержня и твердого полупространства (г = 0, |х| < а < 1/к). На верхний конец стержня действует по оси г сила Е^) и по оси х сила /(X). Сила Е(^) равномерно распределяется по площадке |х| < а границы, сила/(X) создает изгибающий момент М(Р) = /) на этой площадке. При гармонической падающей волне (1) нормальную силу и изгибающий момент можно представить в виде Е^) = Е0 ехр^Ш), М(Р) = М0 ехр^Ш), где Е0 и М0 - соответственно комплексные амплитуды силы и момента.
Рассеянное поле в твердой среде удовлетворяет уравнениям Дф + к° ф = 0, Ау + к° у = 0 и граничным условиям {сгг}г = 0 = -р(х)Е^) - p2(x)M(X),
&2(%) =
(-/% ) о п
Смещения по оси г при г = 0 в полях (ф0, у0), (ф1, у1), (ф2, у2) получим по формулам
^о( х, о, X) = В ехр [ / (%о х - ю X)],
В = ко до А/(%о + *о),
^ (х, о, X) = к)Е(р [ (%)т^7£техр(/%х),
рсо В
ко Е (X) ^о(х, о, X) = о
ко М(X)
р с
1 Вн%) ехр(г% х.
а
-а
РАССЕЯНИЕ РЭЛЕЕВСКОЙ ВОЛНЫ
17
Смещение по оси г при г = 0 в полном поле (ф0 + + ф1 + ф2, у0 + Ух + у2) равно Ж(х, 0, 0 = т0(х, 0, 0 + + w1(x, 0, О + т2(х, 0, 1). Усредненные по площадке |х| < а смещения и их производные равны
дТ0
w0 = В ехр (-1ю 1), = 1 С0В ехр (-1ю 1),
~ к2^Х 1 ) Г 2,йч а 1^1 = 2п-— ] рС¿С,
Р С
д W
д х
длФ11
2 _ , ,.к2М( 1 ) Г_ ^ Са
= 12 п -
рС,
| &1(С)^2(С)^¿С,
^ ~ -ь ~ д Ж д!Уп д 1У2
ж = а-т= эх-+эх--
Амплитуды и М0 подберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения (4). Согласно уравнениям (3) смещения грузов будут
«,(>) = Щ, «,<о = М('>
Ьт2 ю
2
дГТ
Подставляя величины ]¥, --— , и1(1), и2(1) в соотно-
д х
шения (4), получим искомые амплитуды силы и момента
^0 = 1 юВ/(У10 + У11), М0 = -юС0В/(220 + ^22), (7) где обозначено
1 ю
^10 = 1
У20 Ь 220 1
ют1 к1 (1-1 е1)_ 1ю
ют
2
К2( 1-1 £2 )-1
У11 = -1ютф1 1/^(1) = -12пРС | g2(С)^¿С
д Т к
222 = -1Ю^/М( 1) = 2п-С-1 gl(С^(С)
.Са р ( С )
¿С,
У10 и У20 - проводимости монопольного и диполь-ного резонаторов. При кр < 1 вещественные компоненты величин У11 и 222 практически не зависят от толщины жесткого соединительного стерженька, мнимые компоненты этих величин существенно зависят от его толщины.
Рассеянные поля монопольного и дипольного типов получим соответственно по формулам (5) и (6) при подстановке амплитуд ¥0 и М0 в них, эти
поля ортогональны. Резонанс монопольного рассеяния происходит при частоте ю1, являющейся решением уравнения 1т(У10 + У11) = 0. Резонанс дипольного рассеяния наступает при частоте ю2, удовлетворяющей уравнению 1т(220 + 222) = 0. Величины Яе У11 и Яе 222 характеризуют средние за период мощности рассеянных монопольного и дипольного полей. При к-р 1 эти величины равны приближенно Яе У11 = У, + Уя, Яе222 = 2, + 2я, где
У, = Яе
1к*
2 прс,.1Р(С)
-к,
¿С
> 0,
У = кза0 > 0 У* р с р ( С 0 )> 0
2, = Яе
1к*
2 прс^Р(С)
¿С
> 0,
, 3*2
2 = к1 С0 а0 > 0 р с Р'(С 0 )>
Мощности, уносимые объемными и рэлеевскими волнами монопольного и дипольного полей, получим по формулам
1
1
0 2,
61, = --у^|2, 61 я = --уд|^(
62, = 12,М02, 61 я = 1
Мощности, поглощаемые монопольным и ди-польным резонаторами, соответственно равны
бы = 1 У^0|2, 62а = 12^, где Ул = Яе У^,
2й = Яе 220.
В формулах (5) и (6) интегралы вычислим методом перевала. Интегралы по перевальному пути дают объемные цилиндрические волны, вычеты в полюсах С = Со и С = -Со, где Со - корень уравнения Р(С) = 0, дают рэлеевские волны, бегущие соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси х. Скалярный потенциал рэлеевских волн в полном поле получим по формуле
{ф0 + (ф1 + ф2)я} = А\ ехр(1С0х) -
.(У10 + У11)
+ sign х
( 220 + 222 )-
ехр (—1С 01 х|) г ехр (- д0г - 1 ю 1),
Рис. 2. Зависимости yj (□) и Y2 (о) от коэффициента Пуассона V.
Рис. 3. Зависимости -К1(ю1) (□) и 1/2(Ш2) (о) от коэффициента Пуассона V для резонаторов без диссипа-тивных потерь.
где |х| > a, sign х = +1 при х > 0, sign х = -1 при х < 0. Коэффициенты отражения и прохождения рэле-евской волны соответственно равны
V(Q) = -Т(ю) = 1 -
-( Y10 + Y11 ) (Z20 + Z22 )-
(8)
-( Y10 + Y11 ) ( Z20 + Z22 )-
Для монопольных (т2 = 0) и дипольных (т1 = 0) резонаторов эти коэффициенты получим по формулам
^(ю) = -7
(Y10 + Y11) Г1(ю) = 1 + V1 (ю) = 1-
< 0,
(9)
V2(®) =
( Z20 + Z 22 )
(Y ю + Y „ )• > 0,
(10)
Т(ю) = 1 - V2(ю) = 1 -
(Z 20 + Z 22)
Для монопольно-дипольных резонаторов коэффициенты отражения и прохождения (8) можно представить в виде ¥(ю) = К1(ю) + К2(ю), Г(ю) = 1 + + Рх(ю) - Р"2(ю). На резонансных частотах формулы (9) и (10) можно преобразовать к виду
V1 (Ю!) = -[ 1 + (Yd + Yv) / Yr ]-1 =
= -[ 1 + (Q d + Qw) / Q1 R ]-1 < 0,
Г1(ю1) = 1 + V 1(ю1),
V2 (Ю2) = -[ 1 + (Zd + Z v) / Zr ]-1 = = -[ 1+ (Q2d + Q2 v)/Q2R]-1 > 0, Т2(Ю2 ) = 1 + V2^ ) .
При ю = ю1 = ю2 коэффициенты V и T равны соответственно [^(ю^ + V2(ffl2)] и [1 + V1(ю1) - V2(ffl2)].
Вели
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.