научная статья по теме РАССЕЯНИЕ ВОЛН В СЛОЯХ С ЖЕСТКИМИ ГРАНИЦАМИ, СОЕДИНЕННЫХ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ ОТВЕРСТИЯ Физика

Текст научной статьи на тему «РАССЕЯНИЕ ВОЛН В СЛОЯХ С ЖЕСТКИМИ ГРАНИЦАМИ, СОЕДИНЕННЫХ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ ОТВЕРСТИЯ»

486

ГОРТИНСКАЯ, ПОПОВ

найдем коэффициенты т1 и т2 в следующем где 5п0 - символ Кронекера (5п0 = 0, при п = 0, в

асимптотическом разложении, где малый пара- остальных случаях 5п0 = 0), точка х задается свои-

метр а (то, что вид разложения выбран удачно, ми декартовыми координатами х1, х2, х3. Асимп-

выясняется при проведении согласования асимп- тотики функций Грина в окрестности особенно-

тотических разложений): сти для спектрального параметра, близкого к

порогу, запишем следующим образом, учиты-

(2) вая, что С+ > d-\

1п 1 ,Уп2 - к2аС+ = та + т2а2 + ....

Функция Грина для уравнения Гельмгольца с граничным условием Неймана для слоя в трехмерном пространстве известна:

в±(( X!, Х2, Хз ), (ух, у 2, Уз ), к) =

2 х3 пп у3 пп

X;

С08-

d±(6n0+1) d:

-008-

X

х 4 1 /я0!)(/ТПП^Л-к2 Тсх^У2?),

G+(x, 0, к) = -п 1 d+11п ^п2 - к2d+ +

+ (2п|х|-1) + (х, к), (3)

в-(х, 0, к) = (2п|х| )-1 + g-(х, к),

где g+(x, к) и g-(x, к) - функции, не имеющие особенностей при х е и П- и для к2 из окрестности

п2/ С+.

Выберем вид асимптотического разложения для квазисобственной функции ¥а(х) следующим образом:

х ) =

' П

±^^7п2-к2аС + а,0±(х, х, ка)+ X ач0±(х, хд, к^)

V д = 1, д

и1(х/а) + и2(х/а)а + ..., х е $ г,

х е П±

где - шар радиуса I с центром в центре '-го отверстия, Ь0, ад - некоторые коэффициенты. Сделаем замену переменных х = ^а, = р, и выделим в полученных выражениях члены одинакового порядка. Процедура склеивания асимптотических разложений заключается в выборе функций

и] (х/а), удовлетворяющих уравнению Лапласа с граничными условиями Неймана и таких, чтобы члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях были равны. Для согласования членов старшего порядка (чтобы найти тх)

можно взять функцию и1 в виде:

-(С ¡п)-1т1 + (2пр)-1^, 0

и Ф =

(4)

I-(2пр)-1 Т1, 0.

Здесь Cю¡ - емкость 7-го отверстия. В результате для

случая п соединяющих отверстий т1 дается выражением (случай d+ = d- = d рассмотрен аналогично):

d+1 X Сю,, d+ > d_,

7 = 1 п

2 <ГХ X С

0

(5)

7 = 1

Для нахождения т2 выбирается обеспечивающая согласование коэффициентов при первой степени а функция и2 (х/а) в окрестности каждого из отверстий:

Г - (С^п)-1 Т2 + (2 пр)-1Т2 + А', 0

и2(0 = \ (6)

I- (2пр)-1 Т2 + А', 0,

где А' - некоторая константа, определяемая в процессе вычислений. Процедура согласования показывает, что т2 является собственным числом матрицы Г = {у- д}

у,' = -Т1 пСю'( g+( 0, к) + g-( 0, к ))| к = п/с+,

У', д = -Т1 пСю,(О+(х', хд, к) + (пС+ )-11п7п2- к2С+ +

+ О~(х, хд, к)) |к = п/с+.

В случае одинаковых волноводов данная матрица имеет вид:

у,' = -2Т1 пС^(0, к)|к = п/с, У, д = -Т1 п С/ О(х, хд, к) + + (п С + )-1\п^пГ-к12+) к = п/с+

п=0

п

Т1 =

ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ В АКУСТИЧЕСКИХ СЛОЯХ

Особо интересно исследовать задачу рассеяния плоской звуковой волны в акустических слоях при наличии малых дефектов (отверстий) в разделяющей границе. Ее изучение при помощи асимптотических методов имеет специфические черты. Если волновое число падающей волны фиксировано (пусть даже и близко к резонансной величине ка), то при достаточно малом а рассеяния практически не будет. Поэтому соответствующий член асимптотического разложения решения задачи рассеяния будет равен нулю, а значит, не содержит полезной для нас информации. Чтобы обойти это математическое препятствие, мы предполагаем,что к близко к резонансу, и отклонение от ка характеризуется разностью между с и т2:

ln

-1

2 ,2 ,2 п - k d+ = т1 а ■

■ са

(7)

ограничений в поперечном направлении (ширина волновода) задача реально сводится к набору двумерных задач для каждой моды. Роль плоской

Х3пп Узп п волны играет exp(-/k(v||, x)cos—-— cos—-—, здесь

11 d± d±

k - волновое число рассматриваемой акустической среды, V|| - компонента единичного волнового вектора, параллельная плоскости x3 = 0. Рассеянные волны для каждой моды на больших расстояниях от локального возмущения (отверстия в точке (y1, y2, 0)) имеют асимптотики:

О / ч хз пni

Pn(V||, W||) COS ; — X

d± 4

X H ^

22

i П-ПП- - k2J(Xi- У1 )2 + (X2- У2 )2

±

При таком подходе удается использовать описанный выше метод согласования. Характеристикой рассеяния на локальной неоднородности является аналог обычной амплитуды рассеяния. Из-за

где п и волновые векторы падающей и рассеянной волн В плоскости х3 = 0 = |Х|||-1Х||, Х|| = (хх, х2, 0)).

Суммируя по всем модам, получаем следующую асимптотику решения вдали от неоднородности:

^ I 2 2 -2 2 I 2 2 2 2 1 2 2

exp(i(л/п nk d -1-1 )(ivп nd - k Mx1 -y1) + (x2 -y2) )) х3пп у3пn

X ^V||, W|P-/2 2.-2.-2 , ,-COS—COS —•

n = o л/п n k d -1-1 ± ±

В рассматриваемом диапазоне волновых чисел вклад в амплитуду рассеяния (коэффициент в асимптотике решения при |хи| —► ^ перед

а = |1 + (i - 1)(4пА[Ы~+) 1 aj2, где a1=-(g+ (0, k) + g~(0, k) + ■

i T](1)a I 2. 24 x3nn4

-H0 (kA/x1 + x2)cos-——) дает только нулевой 4 d±

член ряда. Амплитуда рассеяния плоской волны на одном соединяющем отверстии имеет круговую симметрию и квадрат ее абсолютного значения а равен:

п d+ т1

(8)

В случае двух соединяющих отверстий амплитуда рассеяния имеет вид:

ЯV, w, к) = а1 + а^ (9)

Ь = х2 - х1, Ь = |Ь| - расстояние между отверстиями связи,

а1 =

(16 1 спd+ + G)exp(-ik(V||, L)) + (16 1 с пd+ + g +( 0, k) + g - ( 0, k) )

( 8 -1 с пd+ + g+ ( 0 , k ) + g_ ( 0 , k) + G ) (g+( 0, k ) + g~ ( 0, k) - G ) k = п/d

а2=

= (16-1 спd+ + g+ (0, k) + g~(0, k))exp(-ik(Vy, L)) - (16^^+ + G)

(8 спd+ + g+ (0, k) + g-(0, k) + G)(g+ (0, k) + g-(0, k) - G)

G = G+(x1, x2, k) + (пd+) 1 \n/Jп2 - k2d+ + G~(x1, x2, k)

k = п/d+

k = п/d. •

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Для случая двух соединяющих отверстий построены диаграммы направленности (графики модуля амплитуды рассеяния в зависимости от на-

правления), вид которых сильно меняется при изменении параметров системы. Изучена зависимость диаграмм от расстояния между отверстиями связи. Результаты (для расстояний, заданных в

90

90

90

180

0 180

0 180

270

L = 2

270

L = 5/2

270

L = 3

Рис. 1. Зависимость диаграмм направленности от расстояния между отверстиями в системе из двух соединяющих отверстий.

0

единицах ширины волновода С+) представлены на рис. 1, угол падения волны - п/6. На графиках волна падает справа под заданным углом, а отверстия находятся в центре графика вдоль горизонтальной линии рисунка.

Зависимость вида диаграммы от направления падающей волны при расстоянии между отверстиями, равной ширине волновода, показана на

90

Рис. 2. Зависимость диаграмм направленности от угла падения волны на систему из двух соединяющих отверстий.

рис. 2 (график 1 - угол падения 0, график 2 - угол падения п/6, график 3 - угол падения п/4, график 4 - угол падения п/3).

Работа поддержана грантами РФФИ 05-0332576 и Санкт-Петербурга.

Авторы благодарят Григорьева В.А. за полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьев В.А, Кузькин В.М. Управление фокусировкой поля в многомодовых плоскослоистых волноводах // Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 3. С. 352359.

2. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах // Акуст. журн. 1984. Т. 30. № 2. С. 339-343.

3. Athanossoulis G., Prospathopoulos A. Three-dimensional scattering from a penetrable layered cylindrical obstacle in a horizontally stratified ocean waveguide // J. Acoust. Soc. Amer. 2000. V. 107. № 5. P. 2406-2407.

4. Кузькин В.М. Об излучении и рассеянии звуковых волн в океанических волноводах // Акуст. журн. 2001. Т. 47. № 5. С. 678-684.

5. Лукьянов В.Д. Соотношения для амплитуд акустических волн, возбуждаемых тонкими упругими пластинами // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 1. С. 9499.

6. Шарфарец Б.П. Метод расчета поля излучателя и поля рассеяния неоднородного включения в плос-

кослоистых волноводах // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 1. С. 123-128.

7. Лапин А.Д. Поглощение звука монопольно-ди-польными резонаторами в многомодовом волноводе // Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 3. С. 428-430.

8. Попов И.Ю. Расчет собственных частот резонаторов, связанных через малые отверстия, с использованием теории расширений операторов // Акуст. журн. 1991. Т. 37. № 2. С. 380-385.

9. Popov I.Yu, Frolov S.V. Three laterally coupled quantum waveguides: breaking of symmetry and resonance asymptotics // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. P. 1655-1670.

10. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Москва, Наука, 1989. 336 с.

11. Exner P., Vugalter, S. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window// Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. V. 65. P. 109-123.

12. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states and bands for laterally coupled waveguides and layers // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № 1. P. 215-234.

13. Ландкоф НС. Основы современной теории потенциала. Москва, Наука, 1966. 516 с.

Wave Scattering in Layers with Rigid Boundaries and Lateral Coupling

through Small Windows L. V. Gortinskaya and I. Yu. Popov

Abstract—Wave propagation in weakly coupled acoustic layers with rigid boundaries is studied. The method of matching the asymptotic expansions of the solutions to boundary-value problems is used. Directional patterns are constructed for different positions of the coupling windows and different directions of wave incidence.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком