АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 500-513
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА НЕПРОНИЦАЕМОМ СФЕРОИДЕ
© 2007 г. Дж. А. Румелиотис, А. Д. Котсис, Дж. Колезас
Национальный технический университет Афин, Школа электротехники и компьютерной техники,
Афины, 15773 Греция E-mail: iroumel@cc.ece.ntua.gr Поступила в редакцию 21.06.2006
Рассматривается рассеяние плоской звуковой волны на непроницаемом сфероиде для случаев, когда этот сфероид мягкий или жесткий, вытянутой или сплюснутой формы. Два метода используются для расчетов. В первом методе поле давления выражается через сфероидальные волновые функции. Во втором методе, основанном на возмущении формы, поле выражается только через сферические волновые функции, а уравнение сфероидальной границы задается в сферических координатах. Получены аналитические выражения для рассеянного поля давления и для различных сечений рассеяния при малых значениях эксцентриситета h = d/(2a) (h < 1), где d межфокусное расстояние сфероида, а 2a длина его оси вращения. Для случая малого эксцентриситета получены точные выражения в замкнутой форме для коэффициентов разложения g(2) и g(4) в соотношении S(h) = = S(0)[1 + g(2)h2 + g(4)h4 + O(h6)], описывающем рассеянное поле и сечения рассеяния. Приведены численные результаты для различных значений параметров.
PACS: 43.35.Df
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача о рассеянии звуковых волн на сфероидах изучается давно и имеет большое количество приложений. Многие исследователи работали над решением этой задачи, публиковали статьи на эту тему и предлагали различные методы решения. Часть из статей посвящена рассеянию на жестких или мягких, вытянутых или сплюснутых сфероидах [1-13], а часть - рассеянию на проницаемых [14, 15] или упругих сфероидах [16, 17]. Вытянутые сфероиды также могут использоваться для аппроксимации цилиндров конечной длины [18], а сплюснутые сфероиды--для аппроксимации дисков [19].
В данной статье мы рассматриваем рассеяние плоской звуковой волны на непроницаемом сфероиде, который может быть мягким или жестким, вытянутым или сплюснутым. На рис. 1 показана геометрия вытянутого сфероида, где ё его межфокусное расстояние, а а и Ь длины его большой и малой полуосей, соответственно. В явном виде мы рассматриваем только вытянутый сфероид, а соответствующие формулы для сплюснутого сфероида получаются простой заменой параметра.
Для решения задачи мы используем два метода. В первом из них поле давления выражается через сфероидальные волновые функции. Второй метод представляет собой метод возмущения формы, где поле выражается через сферические волновые функции, а уравнение сфероидальной границы задается в сферических координатах. Когда ищется решение для случая малого эксцен-
триситета й = ё/(2а) (й < 1), получаются аналитические выражения вида £(й) = £(0)[1 + ,^2)й2 + ^й4 + + 0(й6)] для рассеянного поля давления и различных сечений рассеяния. Коэффициенты разложения g(2) и £(4) даются точными выражениями в замкнутой форме, независящими от й. Величина £"(0) соответствует сфере с радиусом а (й = 0).
Хотя общие точные решения для этой задачи уже были получены ранее [1-14], главное преимущество нашего аналитического решения состоит в том, что оно пригодно для любых малых
значений к и не использует сфероидальных волновых функций (даже в первом методе). Практически это означает, что, если £(2) и £(4) известны, Б(к) может непосредственно быть оценено быстрым расчетом на основе огибающей для каждого малого к, в то время как любые численные методы требуют повторения всего сложного расчета для каждого отдельного значения к независимо от того, мало оно или велико. Наш результат был получен с помощью большого количества аналитических расчетов, которые, после того как были проведены однажды, существенно сокращают время компьютерного счета, которое было бы необходимо для численных оценок большого числа сфероидальных волновых функций в случае малых к. Можно сказать, что полученное решение весьма полезно для "толстого" сфероида, для которого использование общего решения представляется избыточным. Так как члены, опущенные в нашем решении, имеют порядок к6 или выше, то очевидно, что ограничение по использованию малых значений к менее строгое, чем это может показаться вначале. Сравнение с существующими результатами [10, 11] показывает, что даже для к = 0.866 (максимально возможное к = 1.0 соответствует стержню) наши методы дают очень хорошее приближение. Более того, наше аналитическое решение может служить репером, по которому могут проверяться более сложные расчеты со сфероидными функциями.
Рассеяние на мягком сфероиде исследуется в разделе 2, а рассеяние на жестком сфероиде - в разделе 3. В разделе 4 приводятся численные результаты для разных значений параметров.
2. РАССЕЯНИЕ НА МЯГКОМ СФЕРОИДЕ
Задачу для вытянутого сфероида мы исследу-
ем в явном виде, а соответствующие формулы для
сплюснутого сфероида получаем простой заменой параметра.
соответственно, радиальная и угловая сфероидальные волновые функции первого рода; £0 = 1 и £т = 2; т > 1 фактор Неймана; с = кё/2 (к волновое число); Ытп нормировочная костанта [21]:
N =2
J ' ти
ъ
' (О2 ( г + 2 m ) ! ( 2r + 2 m + 1 ) г!'
(2)
Штрих у символа суммы в формуле (2) указывает, что когда п-т четное/нечетное, суммирование начинается с первого/второго значения г и продолжается только для значений, имеющих ту
же четность. Коэффициенты разложения ё"т" определены в [21, 22]. Временной множитель ехр(-/юО опущен.
Рассеянное поле давления имеет вид
Ps = Ъ Ъ Rm)n(С Ch^Smn(С,П)
n = 0 m = 0
x
(3)
x (Amn cos m9 + B mn sin m ф),
(3)
где ЯтП радиальная сфероидальная функция третьего рода. Неизвестные коэффициенты разложения Атп и Втп вычисляются из однородного граничного условия Дирихле р + р3 = 0 при | = | с использованием свойсва ортогональности угловых сфероидальных [21] и тригонометрических функций. В результате мы получаем
B
mn = C°s
mn
sin m ф0
(4)
где
! £m Rmn( С, ch Ц0 )
NmnRmn(c, chЦ)
Cmn 2j
Smn(С, COS 00) ' (5)
2.1. Использование сфероидальных волновых функций
Вначале мы применим метод, основанный на использовании сфероидальных волновых функций. Плоская волна давления, падающая на рассе-иватель, изображенный на рис. 1, описывается выражением [20]
Сфероидальные функции в выражении (3) разлагаются в ряд по сферическим функциям согласно формуле [21]
^С, chЦ)Smn(С, п) =
Ъ -n + c)hm + s(kr)Pm + s( cOS 0) '
(6)
= 2 Ъ Ъ jn^R^С, ch Ц)Smn(С, n)
N
x
(1)
n = 0m = 0
xSmn(С, cos00)cos[m(Ф - ф0)], где Ц, п, ф сфероидальные координаты; углы 0О и ф0 определяют направление падения; R^ и Smn,
Здесь г и 0 сферические координаты, кт + , сферические функции Ханкеля первого рда (верхний
индекс для простоты опущен), а ?т + ж присоединенные функции Лежандра. Штрих у знака X имеет то же значение, что и в формуле (2). Используя асимптотическое разложение для кт + (кт), из
r =0, 1
n
s = 0, 1
^ n
формул (3) и (6) мы получаем выражение для рассеянного поля давления
где Яе означает действительную часть, а звездочка - комплексное сопряжение.
jkr
ps = кг- G (0'®'
(7)
где
ж П ж
G(0,®) = III f"" dmn(c)X
n = 0 m = 0 s = 0, 1
X Pm + s( cos0)Cmncos [m(® - Ф0)]
(8)
Подставляя выражения (10), (11) в (9) получим
п 2п
Q = í í G(0, ©)G*(0, ф)sin0d0d® =
X2 4п2 J J
0 = 0 ® = 0
ж n ж s п 2п
-Цiiii^ í í (пт0П(0)пг:)*(0)+
4п J J
n = 0 m = 0 s = 0 r = 0
0 = 0 ® = 0
амплитуда рассеяния (угол ф общий для сфероидальных и сферических координат).
Сечение обратного (или лоцируемого) рассеяния (сЬ), сечение рассеяния вперед (Су) и полное сечение рассеяния вычисляются как
1
Г2 = G(n - 00,п + ®0)|2, ^ =1-1G(00, ®
1
J0j\ 5
(9)
X2 П X'
% = ^ 1 1 1С (°'ф)12§1П
0 = 0 ф = 0
где X длина звуковой волны.
Для больших значений с расчеты можно проводить только численно и с большими трудностя-
+[П^п? * (0)+nm^n? *(0)] +[nmnwnr (0)+nmnwnr (0)+
+ * (0)] h4 } sin 0 X
X cos[m(® - ®0)]cos[r(® - ®0)]d0d® =
n(°) Q(2) Q(4) = % + % h2 + ^ h4 + O (h6).
(13)
X2 X2
X2
Коэффициенты разложения %(0), ), %(4) определяются из длинных вычислений с исполь-
ми из-за присутствия сфероидальны1 функций. зованием ортогональных свойств функций Ле-Однако для малых с м°жн° получить аналитиче- жандра и тригонометроических функций. В ре-
ские выражения в замкнутой форме как для С(0, ф), зультате получаются выражения так и для сь, Су, Вместо с используется эксцентриситет й = а/(2а) (с = кай), а также разложение в ряд Маклорена по степеням й2, как в [22], для каждой функции от й (^1), возникающей в процессе вычислений. После долгих, но прямых вычислений мы получили следующее разложение для С(0, ф) вплоть до порядка й4:
q(0) i ж n о
"Хт = 1 I^m^m^q
m mn mn
(14)
n = 0m = 0
G(0, ®) = G(o)(0,®) + h2G(2)(0, ®) + + h4G(4)(0, ®) + O(h6),
(10)
Q(2) ~ n QT = 1Re II 2£mH
<0)q X m mn mn
n = 0m = 0
2 % m, n -2+1 2 % m, n + 2-ч
X(P*n + X qm, n-2a2, 0 + X qm, n + 2^2, 0 )
(15)
где
Q 1 o
G(')(0,®) = j I I £m ní?n(0) cos [m (® - ® 0 )] , -Х2Г = 1-Re I I{ + 8;
n = 0m = 0
l = 0, 2, 4.
(11)
?L X2
+8m
Jm, n - 2
+
_i_ 4 ^ m, n -4+. 4 ^ m, n + 4-\.
-2+ X q*, n-4a4, 0 + X q*, n + 4a4, 0 ) +
Точные выражения для ПП (0) даны в прило жении. Легко показать, что
|С(0,ф)|2 = С (0, ф) С * (0, ф) =
+
IPm
' + PlX (4m
m, n - 2+
m, n + 2-ч
= |g(o)(0, ф)|2 + 2Re[G(0)*(0, ф)G(2)(0, ф)]h2 + + { 2Re [G(0)*(0, ф)G(4)(0, ф)] +
+ |g(2)(0, ф)|2}h4 + O(h6),
(12)
tt(0) 4ri ¡2, mn+^2 + ¿mHm, n + 2X [|4mn\ («2, 0 ) +
■ /-) t m, n + m, n + 4- -i ,
+ 2qmnq*, n + 4a2, 0 a2, 0 ] +
(16)
. z_7"(0) 4 I 2 ✓ mn^2-i + £mHm, n - 2X |qmn| (a2, 0 ) },
2 mn- 2
ж n
ж n
n = 0m = 0
2
где х = ка. Различные величины, входящие в формулы (14)-(16), определены в приложении.
Используя соотношение (21), получим выражение [23]
Выражение (13) можно записать в виде
.(2)1,2 , J4),„4
Qt = Q(0)[ 1
Q = Q<l) / Q(0),
о ( h6 )],
l = 2, 4.
(17)
То же самое верно и для G(0, ф) в формуле (10) и для |О(0, ф)|2 в (12), и, следовательно, для сь и су в (9), что приводит к выражению
а = с(0)[ 1+ ¿2)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.