КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.2
РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ПРОНИЦАЕМОМ СФЕРОИДЕ
© 2008 г. А. Д. Котсис, Дж. А. Роумелиотис
Афинский национальный технический университет, Афины 15773, Греция E-mail: iroumel@cc.ece.ntua.gr Поступила 26.09.06 г.
Рассматривается рассеяние плоской звуковой волны на проницаемом сплюснутом или вытянутом сфероиде. Расчет проводится двумя методами. В первом методе поле давления выражается через сфероидальные функции. Во втором методе - методе возмущений формы - поле выражается исключительно через сферические функции, а уравнение сфероидальной границы выписывается в сферических координатах. В специальном случае малых значений эксцентриситета h = d/(2a), (h < < 1), где d - расстояние между фокусами сфероида и 2a - длина оси вращения сфероида, получены аналитические выражения для поля давления и различных сечений рассеяния. В этом случае получены строгие замкнутые выражения для коэффициентов g(2) и g(4), фигурирующих в разложении S(h) = S(0)[1 + g(2)h2 + g(4)h4 + O(h6)] выражений для рассеянного поля и сечений рассеяния. Приведены численные результаты для различных значений параметров.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 2, с. 189-204
УДК:
PACS: 43.20.Fn
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассеяние звука на сфероиде - давно известная задача, имеющая весьма обширный круг приложений. Многие исследователи решали эту задачу различными методами, и соответствующие результаты опубликованы в многочисленных работах. Одни из этих работ (и их большинство) имеют дело с рассеянием на жестких или мягких, вытянутых или сплюснутых сфероидах [1-14], а другие - с рассеянием на проницаемых [15, 16] или упругих [17, 18] сфероидах. Кроме того, вытянутые сфероиды могут использоваться для аппроксимации цилиндров конечной длины [19], а сплюснутыми сфероидами аппроксимируют диски [20].
В данной работе рассматривается рассеяние плоской акустической волны на проницаемом вытянутом или сплюснутом сфероиде. В случае вытянутого сфероида геометрия задачи показана на рис. 1. Сфероид характеризуется расстоянием й между фокусами и большой и малой полуосями а и Ь соответственно. Плотность и волновое число внутри сфероида (область 1) равны рх и кь а в окружающем пространстве (область 0) - р0 и к0. Считается, что обе области заполнены жидкостью или подобным жидкости материалом, т.е. материалом, в котором не распространяются сдвиговые волны. Детально мы рассматриваем здесь только задачу о вытянутом сфероиде; соответствующие формулы для сплюснутого сфероида получаются элементарно.
Задача решается двумя методами. В первом методе поле давления выражается через сфероидальные функции, а во втором - методе возмуще-
ний формы - поле выражается только через сферические функции, и уравнение сфероидальной границы выписывается в сферических координатах. В специальном случае малых эксцентриситетов Н = й/(2а), (Н < 1) для характеристик рассеяния (рассеянного поля давления и различных сечений
рассеяния) получены аналитические выражения вида ^й) = 5(0)[1 + ^2)й2 + g(4)h4 + 0(й6)]. Для коэффициентов разложения g(2) и g(4) получены не зависящие от й точные замкнутые выражения, а величина 5(0) есть значение соответствующей характеристики для сферы радиуса а (при й = 0). Использование двух разных методов расчета связано с тем, что в опубликованной литературе нам не удалось найти точных численных данных для сравнения с нашими приближенными, полученными в пределе малых й.
Несмотря на то, что общее точное решение этой задачи известно, предлагаемое аналитическое решение имеет то преимущество, что оно справедливо для всех малых значений й и не содержит в результирующем выражении сфероидальных волновых функций (даже при использовании первого метода). Этот факт детально изложен во введении к статье [22] и мы не будем повторять это объяснение здесь.
Решение задачи с использованием сфероидальных волновых функций исследуется в разделе 2, а в разделе 3 исследуется решение с использованием только сферических волновых функций. В разделе 4 приведены численные результаты для различных значений параметров.
2. РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
Мы будем рассматривать вытянутый сфероид; соответствующие формулы для сплюснутого сфероида получаются очевидным образом. Мы начнем с метода использующего сфероидальные волновые функции. Падающая плоская волна давления, набегающая на сфероид, показанный на рис. 1, может быть представлена в виде [22]
значениям той же четности. Коэффициенты разложения определены в [23, 24]. Временной множитель ехр(-/ю£) опускается. Рассеянное поле имеет вид
Ps = X X с0> chц)Smn(Co,n):
n = 0 m = 0
(3)
x (Amn cos тф + Bmn sin m ф).
(3)
где к~тП - радиальная сфероидальная функция третьего рода.
Поле давления внутри сфероида равно
Pi = X X Rm]n(C1, chц)Smn(Ci,n)
x
(4)
1 /. / , ivmn
n = 0 m = 0
х (Cmn cos тф + Dmn sin m ф),
где c1 = k1d/2.
Неизвестные коэффициенты Amn, Bmn, Cmn и Dmn находятся из граничных условий
1 d( Pi + Ps) 1 d Pl
Pi + Ps = Pi,
Эц р1 Эц
(5)
на поверхности ц = ц0 сфероида. Умножая обе стороны полученных уравнений на 5ту(с1, п)сов тф, используя свойства ортогональности угловых сфероидальных [23] и тригонометрических функций и решая уравнение, полученное таким образом из первого уравнения в (5), находим
C = -
1
Rmv
(Ci, chЦо)N mv (Ci)
2 X/
n=0
N mn(C0)
^ n
Pi = 2X X jnWJT7\№c°' chl)Smn(c0' n) x ...
n n N mn( c0) (1)
n=0m=0
x Smn(C0, cos00)cos[m(ф- ф0)],
где n и ф - сфероидальные координаты; углы 0О
и ф0 задают направление падения; яТП и Smn - соответственно радиальная и угловая сфероидальные функции первого рода; £0 = 1 и em = 2 при m > 1 - фактор Неймана; c0 = k0d/2; а нормировочная постоянная Nmn(c0) дается формулой [23]
AT ( ) TV ' [ ^ C0)]2( Г +2m)! ™
Nmn(c0) = 2 X ( 2 r + 2 m + 1 )r! ' (2)
r = 0, 1
Штрих у знака суммы в (2) указывает на то, что в зависимости от того, четна или нечетна разность, n - m суммирование начинается с первого или второго значения r и проводится только по
X Rmn( Со, ch Цо) Nmvn( Co, Ci) Smn (Co, cos 9о )x (6)
x cosТФ0 + X К<тП(c0, ch|)Nmvn(ci)Am
n=0
Подставляя далее выражение (6) в уравнение, полученное из второго уравнения в (5) получаем бесконечную систему относительно Amn:
X am vnAmn = Kmv ( n, V ^ m ^ 0) ,
(7)
где
Rmn( C0, ch ц ) Rm:)(C0, chц)
PidR<m3)n(C0, chц)Idц
p0dR(mH(C0, chц)Idц
ц = iV
Nmvn( C0, Ci ) ,
^ n
n
0
0
n
a
mvn
K„
= -21/
n = 0
Pi dR^ic0, chц)/dц
Nmn( C0 )
Rmni со, ch Цо) R(míi ci, ch Цо)
Ц = Цо-1
p0dR.mv(c1, chц)/dц
x NmvniC0, Ci)SmniC0, cos00)cosmФ0. В выражениях (6), (8) и (9)
(9)
Коэффициенты А (или В) находятся путем решения системы (11) по правилу Крамера, в точности повторяя выкладки, приведенные в формулах (27)-(29) работы [21]. В окончательном виде коэффициенты Ар даются выражением
где
Ap = A(p0) + A(2) h2 + A(p4) h4 + O (h6),
Ap ^ = Zp'
(14)
(15)
N„
n i C0, Ci ) = J Smni C0,n) Smv i Ci,n) d^ =
(10)
1 X-1' ¿mn, \imv, = 2 2 dr i C0)dr i Ci)
= 0, i
i r + 2 m) ! i 2r + 2 m + i ) r!'
4 Av
+ avv Av +
+а
2 Av
v, v + 2Av + 2 + av, v + 4Av + 4 = Kv
v > m > 0.
(11)
Комментарии, приведенные в [21] вслед за уравнением (24), верны и в данном случае; мы не будем повторять их здесь.
Громоздкие прямые вычисления для малых эксцентриситетов Н приводят с точностью до членов порядка Н4 к соотношениям:
а,
= d™+d™h2 + D4vh4+O i h6)'
а
v, v ± 2
а
= D^ 2l±, h2 + D^v ± 2h4+ O i h6)'
±4
, v± 2'
= D(v4)v ± 4h4 + O i h6)'
K v = K(v0) + K(v2)h2 + K(v4) h4 + O i h6).
(12)
(13)
Af = Up + Zp 2 Xs,
s = p ± 2
Ap = Vp + Zp 2 iФs + ^s) +
(16)
где Nmnn(c, с) = Nmn(c).
Умножая все члены в (5) на Smv(c1, n)sinmф и точно так же используя свойства ортогональности, получим выражения, совпадающие с (6)-(9) с той разницей, что Cmv, Amn и cosmф0 заменятся соответственно на Dmv, Bmn и sinmф0.
В общем случае произвольных с0 и с1 (= c0k1/k0) систему (7) можно решить только численно (путем обрезания системы), что является непростой задачей в связи с необходимостью вычисления сфероидальных функций для каждой пары разных с0 и Cj. Однако для малых с0 и c1 существует замкнутое аналитическое решение. Использование вместо этих переменных эксцентриситета h = d/(2a) (c0 = k0ah, C1 = k1ah), а так же приведенных в [24] разложений всех фигурирующих в (7)-(10) функций от h(<1) в ряды Маклорена по степеням h2 приводит систему (7) к виду (с точностью до членов порядка h4):
■2
s = p ± 2 '
s = p ± 4
D^DfJ
Y + ps sp
s D{0) D(0)
pp ss
(17)
+ UpXs
Новые символы в (15)-(17) определены в Приложении выражениями (П24)-(П30). Здесь уместно заметить, что результат вычисления коэффициентов Bp отличается только заменой cosmф0 на sin m90.
Сфероидальные функции в (3) раскладываются по сферическим функциям с использованием формулы разложения [23]
R^niC0, chц)SmniC0,n) =
= 2' /
s = 0, i
■m - n + s jmn s
d7i C0)hm + sik0r)Pm + si cos 0).
(18)
В формуле (18) г и б - сферические координаты, Нт + , - сферические функции Ганкеля (для
m
m + s
простоты мы опустили верхний индекс) и Рт присоединенные функции Лежандра. Штрих у знака суммы имеет такое же значение, как и в формулах (2) и (10). Используя теперь асимптотическое разложение Нт + ,(к0г), из (3) и (18) получим рассеянное поле в дальней зоне
гког
р, = е—в(б,ф) (19)
к ог
с амплитудой рассеяния
^ П га
а(б,Ф) = ц I' гп1 йтп(со)х
Точные выражения для параметров 0(Г) и К1 (I = = 0, 2, 4) приведены в Приложении (формулы (П1)-(П6)).
n = 0 m = 0 s = 0, i
x Pm + s i cos 0)i Amn cos m Ф + Bmn sin m ф)
(20)
(в сфероидальной и сферической системах координат используется один и тот же угол ф).
X
r
а
Сечение обратного рассеяния или локационное сечение рассеяния оь, сечение рассеяния вперед оу и полное сечение рассеяния п определяются формулами
1
1
К0
= П G(K - 00,п + фо)|2, ---2 = ПG(00, ф,
0 = —2 f f |G(0, ф)|2sin0d0йф,
22
^0
п 2п
(21)
К0 4п
G(0, ф) = G(O)(0, ф) + G(2)(0, ф)h2 + + G(4)(0, ф)h4 + O(h6),
(22)
где
G(1)(0,ф) = XX ^n 1 nm°n(0)cos[m(ф - ф0)],
n = 0 m = 0
l = 0, 2, 4.
T( i)
(23)
Выражения для птП (0) пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.