АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 38-49
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ^^^^^^^^
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ДВУХ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ, ОДНО ИЗ КОТОРЫХ ИМЕЕТ МАЛЫЙ РАДИУС
© 2007 г. Дж. А. Румелиотис, А. Д. Котсис
Школа электротехники и компьютерной техники, Национальный технический Университет Афин
ул. Ирон Политехниу 9, Афины, 15773 Греция E-mail: iroumel@cc.ece.ntua.gr Поступила в редакцию 19.09.05 г.
Исследуется рассеяние плоской звуковой волны на акустически проницаемой или непроницаемой (мягкой или жесткой) сфере, находящейся на некотором расстоянии от другой сферы, также проницаемой или непроницаемой (мягкой или жесткой), с акустически малым радиусом. Проницаемые сферы и окружающая среда являются жидкими или жидкоподобными, т.е. в них невозможно распространение сдвиговых волн. При решении задачи используется разделение переменных в сочетании с теоремами трансляционного сложения для сферических волновых функций. Получены аналитические выражения для рассеянного поля давления и для сечений рассеяния. Приводятся численные результаты для проницаемых и непроницаемых сфер, иллюстрирующие влияние малой сферы на сечение рассеяния большой сферы.
PACS: 43.35.Df
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача о рассеянии звуковых или электромагнитных волн на множестве объектов имеет большое количество практических приложений, таких как моделирование сложных тел, управление сечениями рассеяния различных объектов, предсказание излучения от рефлекторных антенн, и т.д. Некоторые приложения такого рода описаны, например, в [1-3]. Рассеяние плоской звуковой волны на двух непроницаемых сферах одинаковых или разных размеров исследовано в [4-7]. Рассеяние звука на двух одинаковых сферических пузырьках газа исследовано в [8], а рассеяние на скоплении не обязательно одинаковых пузырьков в воде - в [9]. В работах [10, 11] рассматривается рассеяние плоской звуковой волны на двух упругих сферических оболочках. Рассеяние электромагнитных волн на двух сферах рассмотрено в работах [12-15], на двух или трех сферах - в [16, 17], и на скоплении сфер - в работе [18].
В настоящей статье рассматривается рассеяние плоской звуковой волны на акустически проницаемой или непроницаемой (мягкой или жесткой) сфере, находящейся на некотором расстоянии от другой сферы, также проницаемой или непроницаемой (мягкой или жесткой), с акустически малым радиусом (много меньшим длины волны звука). Метод, примененный в работе [19], используется в расширенном варианте для получения приближенных в первом порядке аналитических решений для рассеянного поля давления и различных сечений рассеяния. Рассматриваемая трехмерная задача алгебраически намного слож-
нее аналогичной двумерной задачи с двумя бесконечными параллельными круговыми цилиндрами, которая была исследована в работе [20]. Для ее решения мы используем метод разделения переменных в сочетании с теоремами трансляционного сложения для сферических волновых функций.
Статья состоит из следующих разделов: в Разделе 2 исследуется рассеяние на двух проницаемых сферах; в Разделе 3 рассматривается рассеяние на двух сферах, из которых, по крайней мере, одна непроницаемая (мягкая или жесткая). Наконец, в Разделе 4 приводятся численные результаты для различных сечений рассеяния как для проницаемых, так и для непроницаемых сфер.
2. ДВЕ ПРОНИЦАЕМЫЕ СФЕРЫ, ИЗ КОТОРЫХ ОДНА ИМЕЕТ МАЛЫЙ РАДИУС
Геометрия задачи показана на рис. 1. Радиусы сфер и Я2, соответственно, а ё - расстояние между их центрами 0Х и 02, которые являются началами координат для двух декартовых систем с параллельными осями. Начало координат 02 находится в точке (ё0, 0О, ф0) относительно системы 01хьу121. Плотность, скорость звука и волновое число вне сфер (в области 0) обозначены как р0, с0, к0; внутри первой сферы (в области 1) - как рх, с1, к{; и внутри второй сферы (область 2) - как р2, с2, к2. Все среды являются жидкими или жидкоподобными, т.е. в них не распространяются сдвиговые волны.
Падающая плоская волна давления, бегущая в направлении +г и ударяющаяся о рассеиватель, показанный на рис. 1, может быть представлена как сумма сферических гармоник [21]
Рг = ехр (]к02х) = ехр (Д0 г^оъ 0!) = = £( 2п + 1 ) ]"]п ( ко Г! ) Рп ( 008 0! ),
(1)
п = 0
где г1 и 0Х - сферические координаты относительно Оъ]п - сферическая функция Бесселя первого рода, и Рп - функция Лежандра. Временной множитель ехр(-/юО везде опущен.
Пустьргп, х(0) иРл(0) поле давления внутри первой сферы и поле рассеяния на первой сфере, соответственно, в отсутствие второй сферы радиусом Я2 (невозмущенная задача). Эти поля выражаются как
где
Вп( 0) =
/( 2 п + 1 ) [](Ыо )/п(™ ! ) - Я!]„(^0 )]п() ] Ч!]п()К(^0) - ]п()Лп(^0)
^0 = к)= к! Я! = Р1С1/р0С0,
а штрих у символа функции означает производную по аргументу.
В формуле (4) использовано соотношение для Вронскиана [22]]п(^0)К (^о) - ]п = ]/^0.
В присутствии второй сферы с малым радиусом выражения (2) и (3) становятся слабо возмущенными:
Ргп, 1 = X Ап]п(к1 Г1 )Рп( 008 01 ),
(5)
Рг„, 1 (0) = X Ап(0)]п(кг )Рп( 008 01 ), (2)
п=0
Р,1 (0) = X Вп (0) Лп( к0 Г1) Рп( 008 01), (3)
п=0
где И„ - сферическая функция Ханкеля первого рода; верхний индекс (1) для простоты опущен. Выражения для Ап(0) и Вп(0) имеют вид [19]:
Ап( 0) =
] +1(2п +1)Я1
^0 [ Я1]п () Лп (^0) - ]п () Лп (^0)] АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 53 < 1 2007
Р.-,! = X ВпЛп(к0Г1)Рп( 00801),
п=0
(6)
где Ап и Вп немного отличаются от Ап(0) и Вп(0),
пп
соответственно.
В этом случае также имеется поле 2 внутри второй сферы и поле р.2, рассеянное на ней:
Ргп, 2 = XX Стп]п(к2Г2 )РГ( 008 02 ) еХР (]тф2 )
, 2 / , / , ^ тп п
п = 0 т = -п
^ п
(7)
(4) Р.2 = XX °тпкп(к/2)Ртп (008 02) ехр (]тф2), (8)
п = 0 т = -п
п=0
^ п
ро1 д[р, + рл(0)]/Эгх = р/ д[рт, х(0)]/Эгх. Здесь следует отметить, что 5рп х и 5рл даются выражениями (5) и (6), соответственно, если Ап и Вп заменить на 5Ап и 5Вп, так как
Ап = Ап( 0) + 5 Ап, Вп = Вп( 0) + 5 Вп. (16)
Удовлетворяя равенствам (14) и (15) и используя формулу (12) для выражения величины р2 относительно начала координат 0Ъ а также используя ортогональные свойства функций Лежандра и экспоненциальных функций, путем прямых вычислений мы приходим к следующему результату:
-i
где г2, 02, ф2 - сферические координаты с началом так как при гх = Я1 мы имеем р, + рж1(0) = ргп, х(0) и
в точке 02, а Рт - присоединенная функция Ле-жандра.
Различные коэффициенты разложения в формулах (5)-(8) могут быть оценены исходя из граничных условий, которые должны выполняться при г1 = и г2 = Я2 (непрерывность давления и радиальной компоненты колебательной скорости):
Р i + Psi + Ps2
P^d(Pi + Psi + Ps2 )/drv = PV1 dPin, v/dr
in, V ^ V?
(9) (10)
где v = 1 или 2 относится к первой или второй сфере, соответственно. Мы используем теоремы трансляционного сложения для сферических волновых функций [23], чтобы найти для всех коэффициентов выражения относительно начал координат O1 или O2:
Zn (krx) Pmn( cos 0!) exp (jmtyx) =
III (-iVT+P - n( 2 v +1 )x
v = 0 ц = - vP = |n - v|
x a(m, n I-ц, VP)jv(kr2)Pi(cos 02) exp (jцф2) x x Zp (kd) Pm - ц( cos 0o) exp j [(m - ц)фо ], Zn (kr2 )Pm( cos 02) exp (jm Ф2) =
Г2 <
^ V
III (-i)
v = 0 ц = -v P = |n - v|
P - цjv+P - n (2 v +1 )x
(12)
n + P - s
6An = j-nAn(0)I I I Dms(-1 )Pj
s = 0 m = -s P = |s - n|
x a(m, s|0, n\P)Hp(k0d)P™(cos00)exp(jmфo), SB, = ^ 6 An =
x
(17)
a. (0)
(18)
(11) = Jll[jn(w0)Jn(w1) - qjn(w0)jn(w1)]6a.-
Удовлетворяя соотношениям (9) и (10) при г2 = Я2 (V = 2) и используя (1) и (6)-(8), теорему сложения (11) для выражения рл относительно начала координат 02 и ортогональные свойства функций Лежандра и экспоненциальных функций, мы приходим к результату (|т| < п, п > 0)
г Нп( ™) ^ , .п ,Л) ]п(™ ) х
С„„ = —--Отп + ] (2п + 1) ---т х
x a( m, n|-ц, v| p) jv (kr1) P^v (cos 01) exp (j цф1) x
x Zp (kd) Pmp - ц( cos 00) exp j [(m - ц)ф0 ], Г1 < d,
где zn - сферическая функция Бесселя любого рода, а фх полярная (сферическая) координата относительно системы x1O1y1. Индекс суммирования р изменяется от |n - v| до n + v шагами, равными 2. Некоторые частные значения коэффициентов a(m, n|-ц, vp), необходимые в данной работе, определены в Приложении B работы [19] и здесь не приводятся.
Поля pin, 1 и ps1 могут быть заданы в виде
Pin, 1 = Pin, 1 ( 0) + 6Pin, 1, Ps1 = Ps 1 (0) + 6PsU (13)
где 6pin 1 и 5ps1 - малые возмущения полей pin, 1(0) и Ps1(0), соответственно, возникающие в присутствии второй (малой) сферы. Подставляя выражения (13) в (9) и (10), при r1 = R1 мы получим
б Ps1 + Ps2 = Spin, 1, (14)
P-1 d(6ps1+ Ps 2 )/d r = P-1 Э(5 Pin, 1) / dr, (15)
jn ( W2 )
jn ( W2 )
^ s + n
xjI I [ Bs (-1 )mjP - s a( 0, si-m, n\p )x (19)
= 0 р = |s - n|
x hp (M) Ppm (cos 00) exp (-jmфo)] +, + 6mexp(jk0dcos 00) J,
r H'n( W) ^ , .n (0 ,Л) j'n( W ) x
Cmn = 42—,-ГDmn + j (2n +1 )q2—/-- x
jn(w2 ) jn(w2 )
г ^ s + n
|I I [Bs(-1 )mjP-sa(0, s|-m, n\p) x (20)
^s = 0 p = |s - n|
x hp( k0 d) Ppm( cos 00) exp (-jmфo)] +, + 6mexp(jk0dcos00) k
x
in, v
^ s
n + v
V
2
n + v
где
» = к 0 ^2, »2 = к 2 ^2,
Я2 = Р2С2/р0С0, 80 = 1, 6т = 0, т Ф 0.
В данном случае давление Р— падающей волны должно быть выражено относительно начала координат О2. Для этой цели (см. рис. 1) мы воспользуемся соотношением
Рг = ехр (7^1) = ехр [/к(¿2 + d00800)] = = ехр / d008 00 )X( 2п + 1 )]"]п ( к 0 Г2 ) Рп ( 008 02 ).
п=0
Здесь ехр (/к0 ¿2) разлагается с использованием (1), где г1 и 0Х заменено на г2 и 02, соответственно.
Исключение величин Стп из формул (19) и (20) дает
Бтп = Мп] (2п +1 ) X
'X X [В.(-1 )/-.а(0, .1 -т, АР) X (21)
= 0 Р = . - п|
X Лр( к 0 d) Р-т( 008 00) ехр (-/тф0)] +
где
^ 5 + п
X
где
+ 6техр(]к0 d00800)
Мп = [Ч2]п(» )7п(»2 ) -
(22)
(24)
Р2 V с2
/ =1-^ V ,
§п
п ( Р 0 - Р 2 )
п Р 0 + (п + 1) р
Р0 - Р 2 Р 0 + 2Р 2,
п > 1.
(25)
Оставляя только старшие (первого порядка) члены относительно м>, т.е. члены, содержащие »3, из формул (24) мы видим, что только п = 0, 1, т.е. только О00, О-п, О01 и Оп (|т| < п), сохраняются в формуле (21), где В. = В.(0) + 6В. заменяется на В.(0), та
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.