МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 532.516
РАСТЕКАНИЕ ЛАВЫ ВО ВРЕМЯ ВУЛКАНИЧЕСКИХ ИЗВЕРЖЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ЧАСТИЧНОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА ПОДСТИЛАЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
© 2015 г. Е. А. ВЕДЕНЕЕВА
МГУ им. М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва
Институт теории прогноза землетрясений математической геофизики РАН, Москва e-mail: el_vedeneeva@imec.msu.ru
Поступила в редакцию 29.05.2014 г.
В осесимметричном приближении решена задача о растекании лавы как несжимаемой жидкости постоянной вязкости по плоской горизонтальной поверхности. Вместо классического условия прилипания использовано частичное проскальзывание лавы на подстилающей поверхности — скорость на поверхности считается степенной функцией трения. В приближении тонкого слоя построено асимптотическое автомодельное решение задачи о медленном растекании жидкости из точечного источника при условии частичного проскальзывания на подстилающей поверхности и степенной временной зависимости расхода.
Эта же задача решена численно в полной постановке. Показано, что численное и асимптотическое решения хорошо согласуются друг с другом. Установлено, что при учете проскальзывания скорость распространения лавы может быть существенно выше, чем при использовании условия прилипания.
Ключевые слова: растекание вязкой жидкости, приближение тонкого слоя, частичное проскальзывание, автомодельное решение, лавовые потоки.
Лава как жидкий продукт вулканических извержений представляет собой сильновязкую жидкость со сложными свойствами [1, 2]. Вязкость лавы существенно зависит от ее химического состава, температуры, содержания в ней пузырьков газов и кристаллов. Лавовые потоки характерны для медленных извержений и малых расходов магмы. Моделированию растекания лавовых потоков посвящено немало работ, учитывающих различные аспекты течения (см., например, [3—12]). Во всех работах, за исключением [4], считается, что лава прилипает к поверхности, по которой растекается.
Однако известно, что условие прилипания к подстилающей поверхности для лавы не всегда выполнено [1, 2, 4]: на подстилающей поверхности зачастую формируется подслой, содержащий значительную долю обломков остывшей породы, который при растекании лавы может играть роль гусеничного механизма. Его образование связано с тем что, во-первых, лавовые потоки часто движутся по уже извергнутому ранее материалу, во-вторых, за счет остывания на их поверхности может образовываться "корка", которая растрескивается и обрушивается перед потоком. В основании застывших лавовых потоков этот подслой наблюдается в виде лавобрекчии — породы, представляющей собой обломки лавы, ей же сцементированные [2].
В настоящей работе на поверхности вместо условия прилипания ставится условие частичного проскальзывания: скорость на поверхности является степенной функцией трения с постоянным коэффициентом пропорциональности. Это условие — частный вид более общего условия, использованного в [4]. Применительно к изучению вулка-
нических извержений условие частичного проскальзывания в рассматриваемом виде было также использовано в недавней работе [13] при моделировании течения магмы в канале вулкана. Цель настоящей работы — исследование влияния граничного условия на подстилающей поверхности на скорость распространения и толщину лавовых потоков. Для этого задача решается в максимально упрощенной постановке: лава моделируется несжимаемой жидкостью с постоянной вязкостью, подстилающая поверхность считается плоской и горизонтальной, течение — осесимметричным.
В первой части настоящей работы (разделы 1, 2) считается, что лава растекается из точечного источника, а общий объем извергнутой магмы является степенной функцией времени; используется приближение тонкого слоя. При условии прилипания к поверхности такая задача имеет асимптотическое автомодельное решение [3, 14]: она сводится к решению одного нелинейного уравнения в частных производных второго порядка, которое методом разделения переменных преобразуется к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка. Отметим аналогичное асимптотическое автомодельное решение [15] задачи о растекании жидкости в случае турбулентных течений.
Условие прилипания для вязкой жидкости классическое, тем не менее в ряде задач проскальзывание на твердой поверхности более оправданно (см., например, обзор [16]). В задачах о растекании жидкости в приближении тонкого слоя условие проскальзывания использовалось в работах [17—25] для ньютоновской жидкости и в [4] для неньютоновской жидкости.
В [17—22, 24, 25] считается, что скорость на подстилающей поверхности пропорциональна касательному напряжению в первой степени. В [17—22] рассматривается растекание фиксированного объема жидкости. В [17—21] при изучении процесса растекания капли с учетом капиллярных сил условие проскальзывания используется в окрестности контакта переднего фронта капли с поверхностью, чтобы избежать появления неинтегрируемой особенности в этой области; в [22] условие проскальзывания используется в задаче о движении оползня.
В [24, 25] исследуется растекание жидкости по супергидрофобной поверхности. Здесь использование условия проскальзывания обусловлено свойствами самой поверхности, коэффициент пропорциональности между скоростью и трением на поверхности в общем случае не постоянен и является заданной функцией координат. Для такого вида закона проскальзывания в [24, 25] построены различные асимптотические автомодельные решения, аналогичные [3, 14].
В [23] рассматривается задача об образовании горных хребтов и разломов. Плоское движение пород моделируется как движение вязкой жидкости в слое на горизонтальной подстилающей поверхности в поле силы тяжести, вызванное движением точек подстилающей поверхности с постоянной скоростью к началу координат (хребет) или в противоположных направлениях (разлом). Использование условия проскальзывания вызвано движением самих точек подстилающей поверхности.
В [4] рассматривается растекание лавы из круглого канала по плоской горизонтальной подстилающей поверхности в осесимметричной постановке в рамках модели тонкого слоя, при этом лава считается неньютоновской жидкостью, подчиняющейся закону Гершеля—Балкли. В одном из разделов этой работы допускается, что лава может проскальзывать по подстилающей поверхности по закону несколько более общего вида, чем рассматривается в настоящей работе. Показано, что такая задача сводится к решению одного уравнения в частных производных, решение которого строится численно.
В данной работе построено решение задачи, аналогичной [3, 14, 24, 25], но при использовании условия частичного проскальзывания на подстилающей поверхности, когда скорость на поверхности является степенной функцией трения. Так же как и в [3, 14, 24, 25] задача сводится к решению нелинейного уравнения второго порядка в частных производных. Если показатель степени в функции, задающей общий объем
1- г.) н г = к(г, 0 --
""о 1
' г = ~(0 г
Фиг. 1. Схема течения и обозначения
извергнутом магмы, и показатель степени в законе проскальзывания связаны определенным образом, то решение этого уравнения методом разделения переменных сводится к решению обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. В отличие от случая прилипания к поверхности, так же как и в [24, 25], это уравнение содержит параметр, значение которого должно быть найдено из решения самого уравнения. Полученное уравнение с параметром решается численно.
Эта же задача решена численно в полной постановке, когда для описания течения используются полные уравнения Навье—Стокса, а жидкость вытекает из круглого отверстия конечного радиуса. Проведено сравнение построенных асимптотического и полного решений.
1. Постановка задачи. Асимптотическое решение. Лава моделируется несжимаемой жидкостью с плотностью р и постоянной вязкостью ^. Подстилающая поверхность считается плоской и горизонтальной, течение — осесимметричным. Ось г направлена вертикально против действия силы тяжести g, ось г — по радиусу; и и w — радиальная и вертикальная компоненты скорости соответственно (фиг. 1).
Система уравнений, описывающая такое течение, состоит из уравнения неразрывности и уравнений Навье—Стокса. Рассматривается приближение тонкого слоя: считается, что характерная толщина слоя Н мала по сравнению с характерным радиусом растекания жидкости Я: е = Н/Я ^ 1. Тогда, в силу уравнения неразрывности, чтобы удержать в нем оба слагаемых, характерные скорости течения вдоль радиуса и0 и вертикальной оси w0 должны быть связаны соотношением: и0/w0 ~ Я/Н = 1/е, т.е. должны иметь разный порядок.
Скорость распространения лавовых потоков невелика, так что для порядка числа Рейнольдса всегда справедлива оценка: Яе = рНи0/ц ^ 1/е. Это позволяет пренебрегать в уравнении Навье—Стокса нестационарными и конвективными членами по сравнению с вязкими. Тогда из уравнений Навье—Стокса получается следующая оценка для изменения давления р по осям г и г
д(Р д(р -pgz) (др V др _ £2
дг дг \дг У дг
что позволяет пренебречь изменением давления вдоль оси г за счет вязких членов.
С учетом сказанного выше, пренебрегая слагаемыми порядка е2 и е ■ Яе по сравнению с членами порядка 1, полная система уравнений, описывающая течение, сводится к следующей [3, 14]
1 д , ч , ^ п
--(ги) +--= 0
г дг дг
2 .
др д и др
л = ^ТГ' я = дг дг2 дг
Для задачи ставятся следующие начальные и граничные условия. Считается, что магма растекается от точечного источника, так что общий объем извергнутой магмы ( является степенной функцией времени t
(2 = дв (1.2)
где д, р — некоторые константы. С точки зрения приложения к вулканическим извержениям имеют смысл только неотрицательные значения показателя Р, далее Р > 0.
На свободной поверхности выполнены кинематическое и динамическое (считается, что давление постоянно и отсутствуют касательные напряжения) условия
>/ .ч дк , дк ди п /1 1\
г = к(г, t): ^ = —+ и —, р = ро, — = 0 (1.3)
дt дг дг
В последнем условии оставлены только члены старшего порядка.
На подстилающей поверхности ставится условие проскальзывания
г = 0:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.