УДК 621.3.019.3.002.645
РАЦИОНАЛИЗАЦИЯ КОНТРОЛЯ БЕЗОТКАЗНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ
С.Я. Гродзенский, В.Г. Домрачев
Обсуждается проблема повышения эффективности контроля безотказности элементов и систем, моменты отказов которых подчиняются нормальному распределению. Методом математического моделирования сравниваются свойства различных критериев, основанных на оптимальных последовательных процедурах.
ВВЕДЕНИЕ
Статистические методы выборочного контроля получили бурное развитие в годы второй мировой войны в связи с необходимостью приемки больших партий однородной продукции, проверять которую сплошь не было возможности. В математическом плане задача выборочного контроля относится к статистической проверке двух простых гипотез: На — качество партии соответствует приемочному уровню и Н\ — качество партии соответствует браковочному уровню. При этом возможны два рода ошибок: а — ошибка первого рода — вероятность принятия гипотезы Н\, когда на самом деле имеет место гипотеза Щ и р — ошибка второго рода — вероятность принятия гипотезы Щ, когда на самом деле имеет место гипотеза Н\.
В 1933 г. Ю. Нейман и Е. Пирсон опубликовали статью [1], в которой изложили ставшую классической процедуру, позволяющую устанавливать критерий проверки гипотез, минимизирующий ошибку р при фиксированной ошибке а.
На практике испытания элементов и систем на надежность проводятся последовательно. При планировании дальнейших наблюдений используются ранее полученные данные. По этой причине последовательный контроль, когда объем выборки на каждом шаге может быть равен единице, а максимальное число выборок заранее не установлено — наиболее экономичен [2, 3]. Строгое обоснование последовательного критерия (ПК) дано американским статистиком А.Вальдом [2]. Основные свойства критерия Вальда:
• при заданных аир среднее число наблюдений в ПК не больше, чем в любом другом критерии той же силы;
• критерий Вальда с вероятностью единица заканчивается за конечное число шагов;
• постоянные Ад и А\ критерия Вальда силы (а', р') удовлетворяют неравенствам Ад > = р/(1 — а); АХ<А\={\- р)/а.
Теоретические исследования и многолетняя практика использования ПК позволила выявить его недостатки:
• возможны случаи, когда а' > а или р' > р;
• если контролируемый параметр, характеризующий фактическое качество продукции, принимает промежуточное значение (лежит в диапазоне между
и Я]), то ПК теряет свои оптимальные свойства — становится невыгодным.
Поэтому при проведении испытаний по методу Вальда часто возникает необходимость прекращать их на некотором шаге, несмотря на то, что значения рисков поставщика и потребителя при этом несколько возрастают.
Основная цель данной статьи — построение критерия, позволяющего подбирать границы зон приемки и браковки таким образом, чтобы относительное отклонение фактических значений рисков поставщика и потребителя от требуемых не превосходило определенной, наперед заданной величины.
СПОСОБЫ МОДИФИКАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
В общем случае усечение ПК является попыткой согласовать достоинства последовательных испытаний по мере их накопления с преимуществом классической процедуры, гарантирующей принятие решения при определенном числе имеющихся данных. В этой связи прежде всего отметим предложенный Л.Вейссом в 1953 г. обобщенный последовательный критерий (ОПК) [4], минимизирующий среднее число наблюдений, когда значение контролируемого параметра равно некоторой промежуточной (Щ...Н\) величине. В 1960 г. Т.Андерсон сформулировал решающее правило, названное оптимальным обобщенным последовательным критерием (ООПК), позволяющим при заданных рисках а и р минимизировать среднее число наблюдений при самом невыгодном (с точки зрения продолжительности испытаний) значении контролируемого параметра [5]. Как показали исследования, даже в наиболее простых частных случаях практическое построение обобщенных критериев наталкивается на ряд трудноразрешимых задач [5, 6].
С.А. Айвазян установил, что асимптотические свойства ПК ухудшаются при а и р —> 0, и предложил приближенный вариант ООПК, обеспечивающий эффективность не ниже 96 % оптимального критерия и определяемый с помощью критических констант Сц, С] и О следующим образом: если в результате к-то наблюдения (к = 1, 2,) оказалось, что
к
- О, (1 - к/О) < £ < С] (1 — к/О),
/= 1
где — отношение правдоподобия, то проводится (к + 1)-е наблюдение, если нарушается первое нера-
8 _ Sensors & Systems • № 6.2001
венство, то принимается гипотеза Щ, а если второе, то гипотеза Н\ [7].
В приближенном варианте ООПК (критерии Айвазяна) границы зон приемки и браковки представляют собой пересекающиеся прямые. При этом ордината точки пересечения, характеризующая максимальное число отказов, которое может произойти при испытаниях, находится по формуле £>= 81n[l/min(a, р)]/р(#о, НI )■ где р(#0, II| ) — "расстояние между гипотезами", являющееся мерой трудности их различения и рассчитываемое по формуле [8, с. 16, 21]:
р(% Н\) = J Щх) -/0(дс)] 1п ЩхУМх)] dx, (1)
е
где/](х) и fo(x) — плотности распределения, соответствующие гипотезам Н\ и Щ] 9 — область изменения параметра.
Критические константы Сд и С] определяются заданными рисками поставщика и потребителя.
Другой подход к решению проблемы минимизации среднего времени наблюдений в случае, когда истинное значение неизвестного параметра принимает промежуточное относительно Щ и II\ значение (называемый в литературе также задачей Кифера^Вейса), предложил в 1976 г. Г. Л орден [9].
Рассматривая задачу различения двух простых гипотез //(,: 9 = 90 и Н]. 9 = 9], он ввел вспомогательный параметр 9 ', определяемый из условия р(9 '; 9q) = р(9 '; 9]), где р(8 j ; 92) — расстояние Кульбака^Лейблера, определяемое по формуле
р(9,; 92) = £-01 ln[Дх; 9])//(х; 92)]. (2)
Тогда момент остановки v определяется выражением v = \'(А, В) = шт{Л: к > 0, Ц)к/L'k < А или Цк/ L'k < В],
(3)
к
где L'k = L(t], tj, ,tk, 9') = — f(tf, 9') — функция прав-
/= i
доподобия для первых к наблюдений при 9 = 9 '; А > О, В < 1 — некоторые константы, не равные нулю одновременно и удовлетворяющие условиям Р^(Н\) =
= а < АР;(Щ), Р{П(Щ) = р < ВРв(Н0).
Если в выражении (3) не выполняется первое неравенство, то принимают гипотезу Щ, если не выполнено второе неравенство, то гипотезу Н\ если же оба неравенства выполнены, то безразлично, какое решение принимать.
Заметим, что формулу (3) можно переписать в виде
v(A, В) = min {к: к > 0, 1п 1'кЩ)к > 1п/Г1
или ЫЬ'к/Ь\к > ln/F1}. (3, а)
Метод получил название двойного последовательного критерия отношения вероятностей ("2-SPRT").
И.В. Павловым разработан метод различения сложных гипотез общего вида относительно многомерных параметров [10]. Суть подхода в том, что для каждой из
гипотез //, (/ = 1, ..., т) находится момент ее исключения тг- (/ = 1, ..., т) таким образом, что вероятность отвержения гипотезы Щ, если она верна, не превышает щ. Наблюдения продолжаются до момента исключения всех гипотез, кроме одной, которая и принимается. В частном случае различения двух простых гипотез критерий Павлова может рассматриваться как модифицированный двойной последовательный критерий отношения вероятностей.
Рассмотренными последовательными критериями в настоящее время исчерпывается поиск рациональных планов контрольных испытаний на безотказность.
КОНТРОЛЬ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР
Для партии объема N наработки изделий Ц, ^ •••! / у — независимые в совокупности случайные величины с общей функцией распределения 9). В качестве
9) будем рассматривать нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием или неизвестной дисперсией. Вопросы рационализации выборочного контроля в ситуации, когда закон распределения наработок до отказа априори неизвестен, рассмотрены в работе [11].
Для каждого из рассматриваемых критериев по формулам (1) и (2) вычислены расстояния между гипотезами, получены выражения для промежуточных параметров, логарифмов отношения правдоподобия, границ зон приемки и браковки.
Нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием. Пусть наработки до отказа ц, 1к имеют нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием гп и дисперсией с2.
Рассмотрим задачу различения гипотез: Щ {ц = цц} и Нх {ц = ц, < ц0}.
Логарифм отношения правдоподобия в этом случае имеет вид:
к
1п(Цк/10к) = (ц, - ц0)/ст2 £ /,-+ £(ц2 - ц?)/2а2. (4)
/= 1
Критерий Вальда. Испытания продолжаются, пока
к
1п4 < (ц, - ц0)/^2 £ /,-+ - ц?)/2°2 < ЫА;. (5)
/= 1
При нарушении первого неравенства принимают гипотезу На, а при нарушении второго — Н\.
Выражая к из формулы (5) получим уравнения границ зон приемки и браковки
9 9 к
к пр(бр) = 2сг2/(цо - 14 )[1п^(1) - (щ - щ)/а2 £ /г] (6)
/= 1
Критерий Айвазяна. Расстояние между гипотезами рассчитывается по формуле р(Щ, НI) = (цо — ш)2/°2! а значение логарифма отношения правдоподобия определяется формулой (4).
Датчики и Системы • № 6.2001_ 9
Критерий Лордена. Значение промежуточного параметра ц'= (цо + щ)/2. Тогда согласно выражению (3, а) момент остановки определяется формулой
к
\>(А, В) = шт{Л > 0: (ц'- м)/сг2 £ +
/= 1
+ А(Ио " (Л'2)/2СТ21П(1/^)
к
или (и'- щ)/°2 £ и+ КА - Ц,2)/2сг21п(1/5)}. (7)
/= 1
Если в формуле (7) нарушается первое неравенство, то принимают гипотезу Щ, а если второе — то гипотезу Н].
Критерий Павлова.
к £
/= 1
формулы принимают вид
к £
/= 1
+ £(цо - ^_,)/2о21п(1/а)};
к £
/= 1
+ - ^_,)/2о21П(1/Р)}-
Решающее правило для различения гипотез задается парой (М, 6), где N — момент остановки наблюдений, 6 — измеримая функция, принимающая значение 0, если верна гипотеза Щ или 1, если верна гипотеза Н\:
М= шш{т(а, цо); т(р, щ)}, (8)
6 = 0 при т(а, но) > т(р; щ) и 1 при т(а, но) < т(р; щ). (9)
Нормальное распределение с неизвестной дисперсией. Пусть наработки до отказа 1], ^ имеют нормальное распределение с математическим ожиданием ц и неизвестной дисперсией и2. Рассмотрим задачу различения гипотез: {с = со} и Я] {с = С] > ад}. Логарифм отношения правдоподобия в этом случае имеет вид:
1п(%/%)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.