ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 531.01
© 2015 г. В. В. Козлов
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматриваются динамические системы, которые описываются квазиоднородными системами дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. В качестве примеров можно указать уравнения Эйлера—Пуассона из динамики твердого тела, а также уравнения Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли, описывающие динамику систем на группах Ли с лево-инвариантной кинетической энергией. Найдены условия существования рациональных первых интегралов квазиоднородных систем. Они включают условия существования инвариантных алгебраических многообразий. Приведены примеры систем с рациональными интегралами, которые не допускают полиномиальных по импульсам первых интегралов. Результаты общего характера продемонстрированы также на примере инвариантного многообразия Гесса-Аппельрота из динамики несимметричного тяжелого волчка.
1. Квазиоднородные системы дифференциальных уравнений. В приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения в [Rn = {x1, ..., xn}
Xi = Ui(xl5 xn), 1 < i < n (1.1)
инвариантные относительно преобразований подобия
t ^ t/a, x 1 ^ a8lx 1, xn ^ a8nxn (a> 0) (1.2)
с некоторыми вещественнымиg1, ..., gn. Критерий инвариантности уравнений (1.1) заключается в выполнении соотношений
Ui (a81 x i, a8nxn ) = a8i +1 и (x 1, xn ) (1.3)
Системы (1.1) с таким свойством называются квазиооднородными, а числа g1, ..., gn — показателями квазиоднородности.
Вот некоторые примеры.
Пример 1. Если и — однородные многочлены степени m > 1, то в формулах (1.2) можно положить g1 = ... = gn = g. Но тогда, ввиду соотношений (1.3), g = (m — 1)—1.
Важный частный случай — это уравнения Эйлера—Пуанкаре на n-мерной алгебре Ли:
n
m i = ^ ckjimkюу-, 1 < i < n (1.4)
j, k = 1
Квазискорости œ1, ..., шп (координаты на алгебре Ли) и моменты m1, ..., mn связаны линейными соотношениями
ms = X IsP™P
где ||/ || — положительно определенная (п х п)-матрица — тензор инерции системы.
Параметры Ск = — Ск — структурные постоянные алгебры Ли. Они удовлетворяют известному тождеству Якоби. Представленные в переменных ю, (1.4) являются уравнениями на алгебре Ли, а в переменных т — на двойственном линейном пространстве. В том и другом случае система (1.4) будет однородной с показателем однородности g = 1.
Пример 2. Еще один пример доставляют уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой:
Ар + (С- В)дг = пУз - СЬ •••, Ъ = Пг - ••• (1.5)
Здесь р, д, г — компоненты угловой скорости тела относительно главных осей инерции, А, В, С — моменты инерции относительно этих осей, у:, у2, у3 — направляющие косинусы вертикали в подвижной системе отсчета, п, С — произведения веса тела на компоненты центра масс тела относительно его главных осей инерции. Невыписан-ные в (1.5) уравнения получаются циклической перестановкой независимых переменных и постоянных параметров.
Система дифференциальных уравнений (1.5) квазиоднородная: показатели квазиоднородности по переменным р, д, г равны 1, а по переменным уь у2, у3 равны 2. Это обстоятельство заметил и использовал еще Ляпунов при изучении ветвления решений системы (1.5) в плоскости комплексного времени [1].
Пример 3. Уравнения движения задачи п гравитирующих тел в естественных декартовых координатах также квазиоднородны. Показатели квазиоднородности координат притягивающихся тел равны —2/3, а импульсов равны 1/3.
Ввиду свойства квазиоднородности система (1.1) допускает частные решения
= С1 = Сп
Х1 = я,' •"' %п = я
м бп
где постоянные с1, ..., сп удовлетворяют алгебраической системе уравнений
и1 (С1' Сп) = -Я1С1' •..' Оп(С1' Сп) = -ЯпСп (1.6)
Эти уравнения, как правило, имеют ненулевые комплексные корни. Точки фазового пространста с = (с1, ., сп) существенны для дальнейшего анализа. Введем матрицу Ковалевской К = ||Ку|| с элементами
= |т (С) + Я 8</ (1.7)
где — символ Кронекера (в формуле (1.7) суммирования по] нет). Ее собственные числа рь ..., рп называются показателями Ковалевской. Матрица Ковалевской введена в работе Иошиды [2], хотя еще раньше Ляпунов ее использовал (в несколько иной форме) в динамике твердого тела [1].
Функция/ [п ^ К называется квазиоднородной степени s, если
каЯ1Х1' •..' ипХп) = аУ(хь„.'Хп)
для всех х е [п и а > 0.
Теорема 1. Справедливы следующие заключения:
1) если/ — квазиоднородный интеграл степени 5 уравнений (1.1) и с1/(с) Ф 0, то р = 5 — показатель Ковалевской,
2) если система (1.1) допускает интегральный инвариант |х) dx1... йхп
и ц(с) Ф 0, то р: + ... + рп = п,
3) если с Ф 0, то р = —1 — показатель Ковалевской.
При этом, конечно, предполагается, что в случае комплексных значений с1, ..., сп функции / и ц продолжаются до дифференцируемых функций в окрестности точки х = с. Заключение 1 — это известная теорема Иошиды [2]. Заключения 2 и 3 (и их обобщения) были установлены [3] при рассмотрении задачи о тензорных инвариантах произвольной структуры квазиоднородной системы (1.1).
В качестве простого примера рассмотрим дифференциальные уравнения Эйлера, описывающие свободное вращение несимметричного твердого тела (уравнения Эйлера—Пуанкаре на алгебре SO(3)). Они получаются из первой группы уравнений (1.5), если положить ^ = п = С = 0. Постоянные с1, с2, с3 удовлетворяют алгебраической системе уравнений
61С2 С3 — —С1, 62С3 С1 — —С2, 63 С1С2 — —С3
где
_ В - С _ С - А _ А - В
81 — -, 62 — -, 63 — -
1 А В С
Очевидно, что
С1 — ±(82 6з )-1/2, С2 — ±(8361 )-1/2, Сз — ±(6163 Г^ (1.8)
Легко вычислить показатели Ковалевской: независимо от выбора знаков в равенстве (1.8) характеристическое уравнение ёе^^" — р£|| = 0 имеет тривиальный корень р = —1 и двукратный корень 2. Последнее связано с существованием двух независимых квадратичных интегралов: энергии и квадрата модуля углового момента. Наконец, сумма показателей Ковалевской равна 3, что отвечает сохранению стандартной меры в К3 = {р, q, г}.
2. Рациональные интегралы уравнений Эйлера—Пуанкаре на трехмерных разрешимых алгебрах Ли. Сначала сделаем несколько общих замечаний о свойствах уравнений Эйлера—Пуанкаре. Оказывается, для п = 3 эти уравнения всегда можно проинтегрировать в квадратурах при выполнении одного условия, которое будет сформулировано ниже. Чтобы показать это, надо расширить уравнения Эйлера—Пуанкаре на алгебре, добавляя кинематические уравнения на соответствующей группе (например, для группы SO(3) следует добавить известные кинематические уравнений Эйлера). В результате получим автономную систему на шестимерном фазовом пространстве, которая обладает четырьмя первыми интегралами. Это — интеграл энергии и еще три нёте-ровых интеграла, линейных по скоростям. Последние порождаются тремя линейно независимыми правоинвариантными векторными полями на группе Ли: потоки этих полей есть левые сдвиги на группе, которые по предположению сохраняют кинетическую энергию — левоинвариантную риманову метрику на группе.
Предположим, что интеграл энергии не выражается через три нётеровых интеграла. Например, для группы SO(3) это заведомо так, если тензор инерции не шаровой. Поскольку фазовый поток расширенной системы сохраняет естественную меру в шестимерном фазовом пространстве (теорема Лиувилля), то при указанном выше предположении интегрируемость полной системы (а следовательно, и укороченной системы
уравнений Эйлера—Пуанкаре) вытекает из классической теоремы Эйлера—Якоби о последнем множителе.
Стоит подчеркнуть, что в отличие от полной системы, укороченная система уравнений Эйлера—Пуанкаре не всегда допускает инвариантную меру с гладкой положительной плотностью. Условие существования такой меры не зависит от тензора инерции системы и имеет вид
X скк = 0 для всех 1 < / < п (2.1)
к = 1
Как известно, такие группы называются унимодулярными (подробнее об этом см. [4]).
При п = 3 условия (2.1) могут не выполняться лишь для разрешимых алгебр. Последние можно описать с помощью следующих коммутационных соотношений:
[еь е2] = 0, [еь ез] = а¿1 + р¿2, [гъ ез] = у¿1 + Ъгг (2.2)
где е1, е2, е3 — базис независимых левоинвариантных полей на группе, а матрица
а р у 5
(2.3)
невырождена. Структурные постоянные ск = — ск, фигурирующие в уравнениях (1.4), следующим образом выражаются через элементы матрицы (2.3):
1_ 1_ 2 _ 2 _ в 1 _ 1_ 2 _ 2 _ 5
с13 = -С31 = а, С13 = -С31 = Р, С23 = -С32 = У, С23 = -С32 = 5
а остальные равны нулю.
В итоге уравнения Эйлера—Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли принимают вид
т1 = -(а т1 + рт2 )ю3, т2 = -(у т1 + 5 т2 )ю3
(2.4)
т3 = (ат1 + р т2 )ю 1 + (ут1 + 5т2 )ю2
Условия унимодулярности (2.1) выполняются лишь в случае, когда след матрицы (2.3) равен нулю: а + 8 = 0.
Уравнения (2.4) допускают интеграл энергии
2 XткЮк = 2(/ю'ю) = 2(^1т' т)
Это — положительно определенная квадратичная форма в К3 = {т}. Кроме того, первые интегралы линейной системы
т1 = а т1 + рт2, т2 = у т1 + 5 т2 (2.5)
будут, очевидно, интегралами исходной системы Эйлера—Пуанкаре (2.4).
Рассмотрим частный случай, когда матрица (2.3) диагональная: в = у = 0 (к этому виду приводится общий случай, когда матрица (2.3) имеет неравные вещественные собственные значения). Тогда уравнения (2.4) допускают первый интеграл
а
' = <2-«)
т2
Если отношение а/8 иррационально, то функция (2.6) не алгебраическая. Это простое замечание контрастирует с изящными результатами Брунса в задаче трех тел и Гюссо-на в динамике тяжелого волчка об отсутствии новых алгебраических интегралов, которые имеют малое отношение к реальной динамике. Отметим, что неалгебраические первые интегралы часто встречаются в системах с трением (см., например, [5], гл. XIV и [6]). Однако в рассматриваемом случае никакой диссипации энергии нет.
Положим теперь а = 8 = 1 (в = у = 0). Тогда интеграл (2.6) перейдет в рациональную функцию Г = да1/да2.
Замечание. Уравнение (2.4) будет иметь целое семейство рациональных интегралов
Лш-1 + Вш2
Ст-1 + БШ2
где А, В, С и Б — вещественные числа и АЛ — ВС Ф 0. Однако все они дробно-рационально выражаются через Г.
Поскольку в рассма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.