МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. Б. ЗЕЛЕНЦОВ, Р. В. САХАБУДИНОВ
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА ПО ГРАНИЦЕ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Рассматривается динамическая контактная задача о движении плоского штампа по границе упругой полуплоскости. Скорость штампа постоянна и не превышает скорости волны Релея. Во время движения штамп деформирует упругую полуплоскость, внедряясь в нее таким образом, что основание штампа остается параллельным самому себе в каждый момент времени. Контактная задача сводится к решению двумерного интегрального уравнения относительно контактных напряжений, двумерное ядро которого зависит от разности аргументов по каждой из переменных. Для получения эффективных решений интегрального уравнения используется специальная аппроксимация ядра. Получены все основные характеристики задачи, в том числе сила контактного воздействия штампа на упругую полуплоскость, а также момент, удерживающий штамп в горизонтальном положении в процессе внедрения. Похожая задача рассматривалась в [1], а ранее "в режиме установившихся движений" в [2, 3] и других публикациях.
Ключевые слова: штамп, полуплоскость, внедрение, нестационарная, контактная задача, двумерное, интегральное уравнение, ядро.
1. Постановка задачи и ее интегральное уравнение. Рассматривается динамическая контактная задача о движении плоского штампа ширины 2а (|х| < а) по границе (у = 0) упругой полуплоскости (|х| < да, у > 0) с постоянной скоростью Vв отрицательном направлении оси Ох. Во время движения штамп деформирует упругую полуплоскость, внедряясь в нее ортогонально границе параллельно оси Оу по закону у = е(г). Силы трения и сцепления между основанием штампа и упругой полуплоскостью отсутствуют. Граница полуплоскости вне области контакта свободна от напряжений. На бесконечности в упругой полуплоскости напряжения и смещения исчезают. До начального момента полуплоскость находится в покое — начальные условия на смещения и их скорости нулевые.
Постановка сформулированной контактной задачи включает уравнения движения Ляме теории упругости и смешанные граничные условия на границе упругой полуплоскости (у = 0), которые с учетом движения штампа имеют вид
суу(х + Уг, 0, г) = -ф(х + Уг, г) -а - Уг < х < а - Уг и(х + Уг,0,г) = -е(г) -а - Уг < х < а - Уг ауу(х + Уг,0, г) = 0 -да < х <-а - Уг, а - Уг < х <да О ху(х, 0, г) = 0 -ю < х < ю
где <3уу, — нормальные и касательные напряжения, и — вертикальные смещения, ф( х, г) — контактные напряжения между основанием штампа и упругой полуплоскостью, подлежащие определению. Для приведения смешанных граничных условий к области контакта с неподвижными границами осуществляется переход в подвижную систему координат У, у', связанную со штампом, с помощью формул У = x + Vt, у' = у, как в граничных условиях, так и в уравнениях Ляме. Решение поставленной контактной задачи в подвижной системе координат осуществляется с помощью интегральных преобразований Лапласа (по времени ^ с параметром p и Фурье (по координате ж') с параметром а. После применения интегральных преобразований к уравнениям Ляме и граничным условиям решение задачи в подвижной системе координат сводится к решению двумерного интегрального уравнения (ИУ) (штрихи над х опускаются):
г а
Iй т | Ф(^, т)к(% - х, г - т)й% = 2п цс-1Е(г), г > 0, |х| < а (1.1)
k(x, t) = -L J eptdp\K{u)eiuxp/c2dü (1.2)
-im Г
K(u) = (1 - iuß2)2 o2R_1(u), R(u) = cV[(2u2 + (1 - iuß2)2)2 - 4^0^] (1.3)
Ol u2 + (1 - iuß2 )2 , CJ2 = V u 2 +ß2 (1 - iuß2 )2, ß k = V/c^ k = 1,2,
CF -ß2jm? , Ci = IK+C2 = 1Ё, p = ci, V (2-ß2)2 -W1 -ß?V1 -ßi * p ' 2 *p' C1'
где ф(^, т) — искомые контактные напряжения, X, ^ — коэффициенты Ляме, с1, с2 — скорости продольной и поперечной упругих волн, Г — контур интегрирования в комплексной полуплоскости u = а + iп, проходящий по прямой под углом - arg p к действительной оси п = 0.
Функция комплексного переменного K(u) в (1.3) не является ни четной, ни нечетной. На действительной оси комплексной плоскости u = а + iт функция K(u) ком-плекснозначна. При малых значениях аргумента u справедлива оценка
K(u) = K(0) + O (u), u ^ 0, K(0) = ßc-1 (1.4)
а при больших значениях аргумента вдоль действительной оси
K(u) = - + O i11, u ^да (1.5)
|и| ' ' Iи2/
В комплексной плоскости и = а + гт функция Ш^ы) имеет следующие изолированные особые точки: четыре точки ветвления алгебраического типа и = -г у к, к = 1,...,4, находящихся на мнимой оси, при этом
в _1 1 в п ~
У1 = ' У 2 = »-:> У 3 =--:, У 4 =(1.
р1 - 1 Р2 - 1 р2 + 1 р1 + 1
и два полюса Релея u = -iy k, k = 5,6, также находящихся на мнимой оси,
Пд У Пд R _ V п-? У6 -:> Рд _ —
ßR - 1 ßR + 1 Cr
У5 -т^, У6 -т^, Рд _ V (1.7)
0
a
где ±/'Пд являются корнями классического уравнения Релея
(2и2 + I)1 - 4и Чи2 + и2 +р2 = 0
Заметим, что при V< cR выполняется следующая упорядоченность у^:
У5 <У2 <У1 < 0, у6 >Уз >У4 > 0 (1.8)
Для однозначного представления Ш^ы) в комплексной плоскости и = а + г т проводятся разрезы от точек ветвления и = -г у к, к = 1,2, до г да в верхней полуплоскости вдоль мнимой оси и от точек ветвления и = -г у к, к = 3,4, до -гда в нижней полуплоскости вдоль мнимой оси.
Вычисляя квадратуры в (1.2), получим явное выражение для ядра интегрального уравнения
1 к (х, -) = С2 \х1 Iе2!-) Н (х) + К2 (-Щ Н (-х)
2 х _ \ х! \ х!
2
Щи) = -¡1(и)Н (у2 + и) -12(и)Н ( + и) Н (-у 2 - и)
К2(и) = -¡-(и)Н (-у 3 + и)-1- (и)Н (-у 4 + и)Н (у 3 - и)
¡±(и) = I±(и)щ}{и), ¡±(и) = (1 ± ив2)2л/и ±у1Л1 и ±у4^1 -в2 (1.9)
¡±(и) = I ±(и)Ь±(и)г+1(и), Ь± (и) = (-2и2 + (1 ± ив2 )))2
2 2
Я±(и) = еу(Ь±(и) - d±(u)), г±(и) = еу(Ь±(и) ± й±(и))
й±(и) = 4и2,]и ± у^и ± уЧи ± уЧи ± У4^1 - - в2
где H(u) — функция Хевисайда.
Полученные выражения позволяют решать ИУ (1.1) различными приближенными
методами, в том числе и численными, учитывая при этом, что функции ¡2±(и) терпят сингулярные разрывы в полюсах Релея и = у 5б, соответственно.
В [1] была рассмотрена похожая задача, решение которой было сведено к двумерному интегральному уравнению (1.1) и намечены пути его решения. В [2, 3] и других публикациях рассматривались задачи о движении плоского штампа по границе неподвижной упругой полуплоскости в "режиме установившихся движений", т.е. без учета инерционных свойств упругой среды. Задачи в указанных ограничениях были сведены к решению одномерных интегральных уравнений с логарифмическим ядром.
Следует заметить, что при V = 0 интегральное уравнение (1.1) совпадает с классическим интегральным уравнением о внедрении плоского штампа в неподвижную упругую полуплоскость [4].
2. Приближенное решение интегрального уравнения. В качестве приближенного решения двумерного ИУ (1.1) принимается первый член ряда Неймана, построенный в виде суперпозиции [5, 6]:
ф(х, -) = ф+(а + х, -) + ф-(а - х, -) -фю(х, -), 0 < - < 2а / сх, |х| < а (2.1)
решений ф±(х, -), ф"(х, -) ИУ на координатной полуоси
- да
^т |ф±(£, т)к(±(£ - х), - - т^£ = 2п^Су1 е(-), 0 < х < да (2.2)
и ИУ на всей оси
- да
^т | фда(£,т)к(£-х,- --ф?£ = 2п^Су1 е(-), -да< х <да (2.3)
0 -да
ИУ (2.2) продолжается по координате x на всю вещественную ось 'г Л + |2ли.с-1Е(-), 0 < х <да
^т{Ф±(£, т)к(±(£ - х), --тЩ = \ (2.4)
0 0 \2пису иТ(х,-), - да < х < 0
где иТ(х, -) — неизвестные функции, представленные в виде операторов
- 0
иТ(х, -) = ^т | Ф±(£, т)к(±(£ - х), - - т^- да < х < 0
0 -да
являющихся вертикальными смещениями свободной поверхности упругой полуплоскости вне области контакта.
Для решения ИУ (2.4) применяется интегральное преобразование Лапласа, в результате чего получаются продолженные на всю вещественную ось одномерные ИУ
Винера—Хопфа [6, 7] относительно трансформант Лапласа Ф±1(х, р) контактных напряжений ф±(х, -):
да Г _1 ^
с +г ^пи.^ е (р), 0 < х <да
|ф±1(£, р)к(±(£ - х)Р/С2)а£ = \ * у1 ^ (2.5)
0 ^п^Су ит(х,р), -да < х < 0
Осуществив замены переменных £ и x в ИУ (2.5) по формулам (штрихи в дальнейшем опускаются) £ = с2£ '/р, х = С2х'/р, решение полученных ИУ относительно неизвестных ф±1 (с2£/р, р) и и^ (с2х\р, р) ,согласно методу Винера—Хопфа, осуществляется с помощью интегрального преобразования Фурье по переменной x, что приводит к соответствующим функциональным уравнениям в некоторой полосе п- < 1т(и) < п+ комплексной плоскости и = а + г т:
! \ Ц р £ 1(р) Ц р ч
Ф (и, р)К(±и) = —— -—^ + ——ит (и, р)
Су С2 I и Су С2
(2.6)
Ф+1Р(и, р) = |Ф+1 {^ £ рj e^íud£, и?(и, р) = | {р £ рe^íud£
Для решения функциональных уравнений (2.6) производится факторизация [7] функций К(±и), т.е. представление их в виде произведения
К(±и) = К±(и)К±(и) (2.7)
где К±(и) — функции, регулярные в верхней полуплоскости (1т и > п-), а К±(и) регулярны в нижней полуплоскости (1т и < п+) комплексной плоскости и = а + гт (п_ < п+). Функция Ш^ы) представляется в следующей удобной для факторизации форме:
к (u) = "yi +iu G(u)
(Y6 - iu)(-Y5 + iu) (2.8)
G(u) = V1 - ß2 (1 - iuß2)2 (у6 - iu)(—у5 + iu)R~l(u)
где функция G(u) обладает свойством lim G(u) = 1, а в качестве изолированных особых
точек в комплексной плоскости имеет 4 точки ветвления u = -iy к, к = 1, ...,4, и устранимые особые точки u = -iy к, к = 5,6. Факторизация функции K(u), представленной в форме (2.8), дается формулой (2.7), в которой
K±(u) = q+(u)G+(u) (2.9)
q+(u) = , q+ (u) =
у 6 - iu -у5 + iu
G +(u) = exp(H +(u))
Y3 + /,.4 Y2
H+(u)=irarcWOh+(u) = 1 farctgro-(£)d£ (2.10)
л J £ - iu л J £ - iu
Y4 Yl
44 VtY1 ± W-Y2 + ^УУГ-^У+У4 ± ^л/1—Р?л/1—ßl
=
(242 - (1 -4ß2)2)2
Факторизация функции К(-и) (2.7) производится по такой же схеме и приводит к формулам
К-(и) = д~±(и)0-(и) (2.11)
q-(u) , q-(u) = 2/^
-у5 - iu у 6 + iu
G-(u) = exp(H-(u))
Yl + - tr\ Y3
H-(u) = 1 farctgm + (£)d£, H-(u) = 1 farctgm- (£)d£ (2.12)
n J £ - iu л J £ - iu
Y2 Y4
ю-(4) = 44 У±У1 + ^У-У7+1УУТ-1л/±У 4 + ^л/1—Р?Л/1—в!
± (242 - (1 )2)2
При выводе формул (2.9), (2.10) учитывалась упорядоченность ук, к = 1,...,4 (1.12). После факторизации (2.7) функций К(±и) решение функциональных уравнений (2.6)
осуществляется по стандартной схеме [7]. После определения Ф±^(и, р) и (и, р) производится их обращение с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.