МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.59:534.1
РАВНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИКИ ДАЛЬНИХ ПОЛЕЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ИСТОЧНИКА В ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
© 2014 г. В. В. БУЛАТОВ, Ю. В. ВЛАДИМИРОВ, И. Ю. ВЛАДИМИРОВ
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: internalwave@mail.ru
Поступила в редакцию 31.10.2013 г.
Рассмотрена задача о построении равномерных асимптотик дальних полей поверхностных возмущений от локализованного источника в тяжелой однородной жидкости бесконечной глубины. Полученные решения описывают волновые возмущения как внутри, так и вне волнового клина Кельвина и выражаются через функцию Эйри и ее производные. Приведены результаты численных расчетов волновых картин.
Ключевые слова: тяжелая жидкость, возмущение поверхности, клин Кельвина, дальние поля, равномерная асимптотика.
На состояние свободной поверхности океана влияют как находящиеся в толще воды неоднородности (обтекаемые препятствия, изменения рельефа дна, полей плотности и течений), так и различные источники возмущений [1, 2]. Для правильной интерпретации данных, полученных при дистанционном зондировании морской поверхности, нужно знать причины, вызывающие те или иные поверхностные явления. В настоящее время актуальной остается задача исследования процессов поверхностных колебаний в неоднородной по плотности и нестационарной морской среде и согласования результатов моделирования с видимыми поверхностными волнениями. Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой поверхностных возмущений неоднородных и нестационарных природных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей. Эти модели, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы [3—7].
Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования. Эти модели и методы в дальнейшем входят в тот набор "блоков", из которых складывается общая картина волновой динамики [6—8]. В этой связи необходимо отметить классические задачи гидродинамики о построении асимптотических решений, описывающих эволюцию поверхностных возмущений, возбуждаемых локализованными источниками в тяжелой однородной жидкости [8—11]. Построенные модельные решения позволяют в дальнейшем, с использованием средств компьютерной математики, получить асимптотические представления волновых полей с учетом изменчивости и нестационарности реальных природных сред [8, 9, 11].
В настоящей работе рассматривается задача о построении равномерных асимптотик дальних полей поверхностных возмущений, возбуждаемых локализованным источником в тяжелой однородной жидкости бесконечной глубины.
1. Постановка задачи и интегральная форма решения для возвышения свободной поверхности. Рассматривается стационарная картина волновых возмущений на поверхности потока идеальной тяжелой жидкости бесконечной глубины, которая движется со скоростью V в положительном направлении оси x. Волны генерируются точечным источником, расположенным на глубине H (ось z направлена вверх от невозмущенной
жидкости), мощность которого нарастает по закону q = eEt (-да < t < да),и далее в полученном решении ищется предел при s ^ 0. При этом в силу линейности задачи для источника произвольной мощности Q(Q = const) достаточно результат, полученный для источника единичной мощности q (при s ^ 0), умножить на Q.
Возмущение потенциала Ф(х, y, z, t) относительно однородного потока, движущегося со скоростью V(УФ = (u, и, w), где и, и, w — компоненты возмущения вектора скорости (V, 0, 0)), описывается уравнением с соответствующим линеаризованным граничным условием на поверхности жидкости [3—5]
Здесь А — трехмерный оператор Лапласа, а 8(х) — дельта-функция Дирака. Возвышение свободной поверхности тяжелой жидкости Z(x, у, г) связано с потенциалом Ф(х, у, z, 0 условием [3, 4]
АФ(х, y, z, t) = e£t8(x)8(y)5(z + H), z < 0
(1.1)
Решение задачи (1.1) ищется в виде Ф(х, y, z, t) = eегф(х, y, z), где функция ф(х, y, z)
определяется из задачи
ДФ(x, y, z) = 5(x)S(y)S(z + H), z < 0
Фурье-образ потенциала ф(х, y, z)
Q(|| v, z) = J e'^dx J e'vyq(x, y, z) dy
—да
2 2 2
находится из краевой задачи (k = ц + v )
— - k2Q = 5(z + H), z < 0
.2,
dz
Q ^ 0, z ^ -<»
(s-i^K)2 Q + g = 0, z = 0
2
решение которой при z = 0 имеет вид
v, 0)
-g exp(-kH)
(e - V)2 + gk
Тогда возвышение п(х, y)(Z(x, y, t) = estn(x, y)), учитывая соотношение (1.2), можно представить в виде
да да
П(х,y) = V Г e^dv Г Цexp(-kH - (1.3)
4п2 _да _да Ц V + - gk
В выражении (1.3) параметр s сохранен только в одном члене знаменателя, это нужно для определения смещения полюса подынтегрального выражения относительно действительной оси (в верхнюю или нижнюю полуплоскость).
2. Построение неравномерной асимптотики решения: интегрирование с помощью вычетов и метода стационарной фазы. В полярных координатах (x = rcosa, y = rsina), (ц = = kcosy, y = ksiny) выражение (1.3) можно представить в виде
2п да
/ ч iV г , ckexp(-kH - ikr cos(y-a)),, Л ,
r\(r, a) = —j I cos у dу I-^—2- - dk (2.1)
4п 0 0 kV cos у + 2isV cos у- g
Далее исследуется выражение для возвышения n(r, а) при больших значениях r
(точнее, при grjv2 > 1). Подынтегральное выражение по переменной интегрирова-
—2 —1
ния k имеет простой полюс: k* = gA - 2isA , A = V cos у, который при значениях cosy < 0 смещен в верхнюю полуплоскость, а при cosy > 0 — в нижнюю. Функцию П(г, а) можно представить в виде суммы двух слагаемых: n(r, a) = n1(r, a) + n2(r, a), при этом в слагаемом n1(r, а) интегрирование по у производится в области, где cosy < 0, а в слагаемом n2(r, a) — в области, где cosy > 0.
Для вычисления слагаемого n1(r, а) при cos(y - a) < 0 контур интегрирования по k можно повернуть на я/2 и совместить с положительным направлением мнимой оси на комплексной плоскости k (вычет в полюсе k* учитывается), а при cos(y - a) > 0 контур поворачивается -я/ 2, при этом он совпадает с отрицательным направлением мнимой оси и вычет не учитывается. Можно показать, что и в том, и в другом случае
интеграл вдоль мнимой оси имеет порядок 0(1/r2) при r ^ да. В результате слагаемое ni(r, a) имеет вид
W2 / ТТ \
П1(г, a) =--f cos 3yexp
2nV , 2+
щ 2+a
gH
т7-2 2 V cos y^
d y + O 1
Аналогичным образом можно найти слагаемое n2(r, a), которое комплексно сопряжено с n1(r, a). Окончательно выражение для возвышения n(r, а) можно представить как
3п/ 2 / \
n(r, a) = ——3 J cos 3yexp--2gH2 cos (r5(y, a))dy (2.2)
nV п/2+a ^ V cos yj
5 (у, a) =
V cos у
Интеграл (2.2) — четная функция по a. Тогда асимптотику интеграла (2.2) при больших значениях r можно вычислить при помощи метода стационарной фазы, и для этого необходимо найти точки стационарности фазы, т.е. корни уравнения 54/(у, а) = 0. На интервале интегрирования (я/2 + а, 3п/2) лежат две стационарные точки: при a > 0
Y
Фиг. 1. Линии равной фазы (разность фаз между гребнями 2п)
у:(а) = п/2 + а/2 + Ь и у2(а) = п + а/2 - Ь, (^(а) < у2(а)), при а < 0 у1(а) = 3п/2 + + а/2 + Ь и у2(а) = п + а/2 - Ь, (^(а) >у2(а)), Ь = агс8т(38та)/2. Стационарные точки существуют только при значениях а, лежащих в интервале -агс8т (1/3) < а < < агс8Ш (1/3). Это условие определяет на поверхности тяжелой жидкости область, в которой присутствуют волновые движения — клин Кельвина [3—5].
Зная стационарные точки, можно легко получить хорошо известную картину гребней "корабельных волн" внутри клина Кельвина в полярных координатах г = —2ли/^(у 1(а), а) и г = - 2ли/5(у 2(а), а), п = 1,2,3.... При этом первое равенство (стационарная точка у 1(а)) отвечает за продольные гребни, а второе (стационарная точка у2(а)) — за поперечные. Знак минус берется потому, что фаза в стационарных точках отрицательна.
На фиг. 1 изображена картина линий равной фазы (гребней), разность фаз между соседними гребнями равна 2п. Здесь и в дальнейшем параметры расчетов, характерные для реальных океанических условий [1, 2], были следующие: V = 11 м/с, H = 6 м.
Асимптотика интеграла (2.2) при г ^ да, вычисленная с помощью метода стационарной фазы, имеет вид
Sign Syа) = +1, SignS^y2, а) = -1
Неравномерная асимптотика (2.3) работает только внутри клина при -а* < а < а* (в этом интервале присутствуют стационарные точки) и перестает работать при приближении к границе клина, где стационарные точки сливаются, т.е. при а = а* =
= arcsin1/3 : ^(а*) = у2(а*) = а*/2 + 3п/4, и S^ (|/12(а),а) -— 0 при а ^ а*.
3. Построение равномерной асимптотики решения. Равномерная асимптотика интеграла (2.2) описывает возвышение n(r, а) не только внутри волнового клина Кельвина, но и за его пределами, а также на самой границе клина. При этом равномерная асимптотика внутри клина должна совпадать с неравномерной асимптотикой (2.3), полученной с помощью метода стационарной фазы. Поскольку волновая картина для возвышения n(r, а) симметрична относительно оси х, т.е. n(r, а) — четная функция переменной а, далее рассматривается случай а > 0.
(
-3
-cos уj exp -
/ 2 со*Л)
V cos уjу
(2.3)
Как показано выше, фазовая функция S (у, а) имеет две точки поворота: у^а) и у2(а), которые при а ^ а* = arcsin(l/3) сливаются друг с другом: у:(а*) = у2(а*) = = 3п/4 + а*/2 = у*. Таким образом, для построения равномерной асимптотики необходимо решить классическую задачу об асимптотике интегралов с двумя сливающимися точками поворота. Следуя [6, 7, 12], интеграл (2.2) можно представить в виде
3п/ 2
n(r, а) = J /(у) cos (rS(y, a))dy (3.1)
П 2+а
/(v) = -g exp(-ghA ~2)(nA3)-1
Далее используется неявная замена переменной интегрирования
3
S(y, a) = a0 + us - у (3.2)
При этом стационарной точке у1(а) будет соответствовать точка si = —Ю, а точке У2(a) — точка S2 = Va. Тогда из (3.2) можно получить
S(yi) + S(у2) _ (3(VÍ„,, w„, ,Л2/3
ао(а) = V , а(а) = (4 ( 2) - 5(¥l))j (.3)
Интеграл (3.1) при замене (3.2) имеет вид
да
П(г, a) = J G(s)cos((0 -1 s3j)ds (3.4)
—да
G(s) = f (y) ^
ds
Нижний пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.