РАЗБРОС ПО ИМПУЛЬСАМ В ПУЧКЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОНДУЛЯТОРЕ
В. В. Огнивенко
Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институту
61108, Харьков, Украина
Поступила в редакцию 16 февраля 2012 г.
Рассмотрено движение потока релятивистских электронов в периодическом в пространстве магнитном поле ондулятора с учетом влияния некогерентного поля спонтанного ондуляторного излучения на движение электронов. Получено выражение для среднеквадратичного значения импульса электронов. Показано, что в режиме спонтанного некогерентного излучения происходит увеличение разброса по импульсам в пучке ультрарелятивистских электронов. Обсуждаются условия реализации процесса самопроизвольного усиления спонтанного ондуляторного излучения в ультракоротковолновых лазерах на свободных электронах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, релятивистские электроны, движущиеся во внешних периодических полях (ондуляторах), являются источником узкополосного перестраиваемого по частоте электромагнитного излучения [1]. Длина волны этого излучения в направлении поступательного движения электронов обратно пропорциональна квадрату релятивистского фактора и может быть уменьшена путем увеличения кинетической энергии электронов. При этом увеличивается интенсивность электромагнитного излучения (пропорционально квадрату релятивистского фактора) и резко возрастает его направленность. С помощью взаимодействия ультрарелятивистских электронных пучков с внешними периодическими магнитными полями в настоящее время получают интенсивное электромагнитное излучение в вакуумной ультрафиолетовой и мягкой рентгеновской областях спектра.
Если поток электронов, движущихся во внешнем периодическом поле, является однородным в пространстве, то отдельные электроны излучают независимо, в результате чего суммарное электромагнитное поле всего пучка является случайным некогерентным. При классическом (неквантовом) рассмотрении процесса спонтанного некогерентного ондуляторного излучения обычно полагают, что
влияние излучения на движение зарядов приводит только к торможению зарядов силой радиационного трения1''. Однако в этом режиме излучения может проявиться другой эффект, который приводит к увеличению среднеквадратичного разброса по импульсам релятивистских частиц при движении в периодическом поле [5]. Действительно, суммарное электромагнитное поле потока таких электронов-излучателей является случайным (флуктуаци-онным), поэтому сила, действующая па отдельные электроны в этом поле, приводит к случайным отклонениям их импульсов от среднего значения, увеличивая среднеквадратичный разброс по импульсам.
Особое значение выявление физических механизмов, приводящих к изменению среднеквадратичного разброса по импульсам в потоке релятивистских заряженных частиц, движущихся в ондуляторе, и определение величины разброса приобретают в связи с работами, направленными на создание лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) в рентгеновской области спектра. Это связано с тем, что для формирования вынужденного когерентного излучения в таких устройствах необходимы моноэнергетиче-
Е-таП: одшуепкой'Ыр!, .kharkov.ua
В режиме вынужденного излучения влияние члектромаг-шгшых нолей на движение зарядов может приводить к группировке зарядов в когерентно излучающие сгустки под действием коллективного ноля излучения (см., например, [2,3]). Распределение но сгустку усредненных сил реакции когерентного излучения в чтом случае исследовано в работе [4].
скис ультраролятивистскио электронные пучки с достаточно большой средней плотностью электронов, обеспечивающие самопроизвольное интенсивное усиление спонтанного излучения при однократном прохождении периодического в пространстве магнитного поля ондулятора2^.
В данной работе рассмотрено влияние некогерентного электромагнитного поля спонтанного онду-ляторного излучения потока релятивистских электронов на изменение их среднеквадратичного разброса по импульсам при движении в магннтоста-тпческом поле ондулятора. Исследуемый эффект увеличения среднеквадратичного разброса связан с дискретностью структуры реальных потоков заряженных частиц. Поэтому будем рассматривать электронный пучок как поток отдельных точечных частиц. Исследуя радиационную релаксацию потока релятивистских электронов в ондуляторе в режиме спонтанного некогерентного излучения, будем считать пренебрежимо слабыми силы, обусловленные самосогласованным коллективным взаимодействием электронов.
В рамках указанных предположений, рассматривая движения пробной частицы в поле ондулятора и суммарном поле, создаваемом электронами пучка, сначала мы выразим среднеквадратичное значение импульса электронов через среднее значение произведения сил парного взаимодействия электронов (разд. 2), а затем усредним это произведение, опираясь на классическую статистическую механику систем большого числа частиц (разд. 3). Вычислив в приближении малого значения параметра ондулятора силу парного взаимодействия электронов, явные зависимости среднеквадратичного значения продольного (вдоль оси ондулятора) импульса электронов от расстояния, пройденного ими в ондуляторе, мы получим для первоначально моноэнергетического потока электронов (разд. 4). Заключительная часть работы (разд. 5) содержит обсуждение результатов и следующие из них выводы.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим внешнее периодическое в пространстве статическое магнитное поле ондулятора Н„ с правой круговой поляризацией, заданное при г > 0,
Н„ = Н0 [е3, соь(киг) + еу бш(/,•„г)], (1)
где ки = 2тт/Хи: Щ, Хи амплитуда напряженности и период магнитного поля; е3., еу единичные векторы вдоль осей х и у декартовой системы координат.
Пусть поток релятивистских электронов пересекает плоскость г = 0 и движется в положительном направлении оси г. Найдем среднеквадратичный разброс по продольной (г-й) составляющей импульса электронов при движении электронов в поле ондулятора (1) и некогерентном электромагнитном поле, создаваемом этими же электронами.
Электроны пучка, движущиеся в магнитном поле (1) с ускорением, излучают электромагнитные волны. Электрическое и магнитное поля в пучке представим в виде суммы полей отдельных электронов, выраженных через запаздывающие потенциалы Лиенара Вихерта. Пусть положение электрона (например, й-го) задается радиус-вектором г,(£). Тогда электрическое и магнитное поля этого электрона, определяются выражениями для полей заряда, движущегося с ускорением [8]:
Es(r,í;.i:s) = е
К-ЯК
H.M^.lzitRixE,],
(2) (3)
где
Кя = Кя(0 = г-гя(0, /3 = у/г,
v = (1ч/(М, 7= (I-/?2)"1/2,
с скорость света в вакууме, е заряд электрона, штрихом обозначены величины, взятые в запаздывающий момент времени определяемый соотношением
= t - Пф')/с.
Поле в точке наблюдения г в момент времени I будут создавать лишь те электроны, начальные координаты которых удовлетворяют условию
Ф - hs) > |г - r0s
(4)
Режим сверхизлучения или SASE (Self Amplified Spontaneous Emission, см., например, [6,7]).
где t-оя момент времени, в который s-й электрон пересекает плоскость г = 0, r0s радиус-вектор ,s-ro электрона в момент времени tos, ros = {¿'оя.Уоя.О}.
Неравенство (4) определяет область влияния поля s-ro электрона-излучателя и связано с конечной скоростью распространения фронта поля.
Изменение среднеквадратичного значения продольного импульса электронов за единицу времени
можно наити, рассматривая движение некоторого отдельного (пробного) электрона в поле ондулятора и в полях, создаваемых другими электронами пучка. Уравнения продольного движения пробного электрона (обозначим его индексом «г») запишем в виде
(1р~_
сН
8
Р«(*)
(5)
(1т I
И
Р^ЦхЛ; х„) =
= е \ Е-,(хЛ;хя)
-[чхНя(х,ихя)1_}, (6)
где F-(.í;,í) продольная составляющая микроскопической силы, действующей на электрон в точке г в момент времени (х.^Л; хя) продольная составляющая силы парного взаимодействия двух электронов через электромагнитное поле одного из них (й-го электрона), т масса электрона, .г, (I) = {г8 (I), ря (I)} совокупность декартовых координат и импульс «-го электрона.
Поскольку начальные поперечные координаты хов. У о.? и моменты времени ¿о». в которые электроны пересекают плоскость г = 0, являются случайными величинами, координаты электронов в ондуляторе в каждый момент времени I являются также случайными величинами. Поэтому суммарное электромагнитное поле потока таких электронов-излучателей в некоторой координате г в момент времени I будет случайным (флуктуационным). Сила, действующая па отдельные электроны в этом поле, приводит к случайным отклонениям их импульсов от среднего значения. Изменение в единицу времени отклонения от среднего значения продольного импульса электрона, согласно (5), описывается уравнением
где
бр-л />-.,(/) - (р.
(7)
I
(Р,1) = Р,о + I(Н\ ¿К = К - (К), ¿о;
угловые скобки означают усреднение по ансамблю.
Используя (7), запишем уравнение, описывающее изменение во времени среднеквадратичного разброса продольного импульса электронов, в виде
I.
|<(^)2) = 2['(л/-:;.г((/')./'л/-:;,-,(/)./;,,//'. (8)
3. УСРЕДНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Пусть электронный пучок состоит из У частиц, которые в начальный момент времени I = ¿о находятся в области г < 0 и не взаимодействуют друг с другом. Основываясь на классической статистической механике систем многих частиц [9], введем функцию распределения динамических состояний пучка £>дг (.1:1 (1о),..., .гдг (¿о); ¿о) в бУ-мерном фазовом пространстве координат и импульсов частиц в момент времени ¿о- Функция £>*(*!(*„),... .¿'А'(*о);*о) представляет собой плотность вероятности в бУ-мерном фазовом пространстве, а .Одф^оЬ • • • ,.г\у(*0); *о) <Ь-'1(*о) • • • <ЬгЛ'(*0) вероятность того, что в момент времени ¿о координаты и импульсы У частиц находятся в бесконечно малом фазовом объеме (1x1 (1о) ■■ .¿г¡у(¿о) около точки фазового пространства .(^(¿оЬ • • • . ¿'Л' (*о)-
Условие нормировки функции распределения £>дг запишем в виде
-О А (•(•1 (*о), • • • , •''А (*о); * о) (1хг (* о) ■
«X
лЬ:дг(г0) = 1, (9)
где интегрирование ведется по всему допустимому бУ-мерному фазовому пространству Пд-.
С помощью функции
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.