Теория и принципы построения
датчиков, приборов и систем
УДК 519.233.3.001.57
РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ О ВЕЛИЧИНЕ МАСШТАБНОГО ПАРАМЕТРА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
TESTING HYPOTHESES ABOUT THE VALUE OF THE SCALE PARAMETER OF THE WEIBULL DISTRIBUTION BY THE METHOD OF SEQUENTIAL ANALYSIS
Гродзенский Яков Сергеевич
канд. техн. наук, доцент E-mail: grodzensky44@mail.ru
Чесалин Александр Николаевич
аспирант
E-mail: chesalin@hotmail.com
Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, г. Москва
Аннотация: Рассмотрена сравнительная эффективность последовательных критериев с непрерывной и дискретной реализацией при проверке двух простых гипотез о значении масштабного параметра распределения Вейбулла. Методом статистического моделирования исследуются сравнительные характеристики среднего значения продолжительности испытаний, необходимого для принятия решения.
Ключевые слова: испытания на надежность, распределение Вейбулла, последовательный критерий, отношение правдоподобия, статистическое моделирование.
ВВЕДЕНИЕ
Ряд задач конструирования и производства датчиков, приборов и систем (контроль качества, статистическое регулирование технологических процессов, испытания на надежность и другие) сводятся к решению математической проблемы о различении двух гипотез. В работе [1] предложен последовательный критерий отношения вероятностей и доказана его оптимальность при проверке двух простых гипотез.
При использовании критерия [1] зоны принятия конкурирующих гипотез представляют собой параллельные прямые, однако схемы испыта-
Grodzensky Yakov S.
Ph. D. (Tech.), Associate Professor E-mail: grodzensky44@mail.ru
Chesalin Alexander N.
Postgraduate
E-mail: chesalin@hotmail.com
Moscow State Technical University of Radioengineering, Electronics and Automation, Moscow city
Abstract: The comparative efficiency of sequential criteria with continuous and discrete realization and in testing two simple hypotheses about the value of the scale parameter of the Weibull distribution is investigated. The comparative characteristics of the average time of trials required for decision-making are researched by the method of statistical modeling.
Keywords: reliability testing, Weibull distribution, the sequential criterion, likelihood ratio, statistical modeling.
ний могут быть различными: реализация критерия может происходить как дискретно (в случае испытаний на надежность — в моменты появления отказов), так и непрерывно (при непрерывном времени наблюдения, т. е. с использованием всей информации о наблюдаемом процессе). Возможная реализация процесса испытаний изделий на надежность представлена на рис. 1.
В статье [2] на примере пуассоновского процесса со стационарными приращениями показана возможность непрерывной реализации последовательного анализа. Позднее в работах [3, 4] получены выражения для расчета средней продолжительности испытаний по критерию [1] с непре-
Область принятия гипотезы Щ 3
Пример использования последовательного анализа при проверке гипотез о величине параметра масштаба распределения Вейбулла в испытаниях на надежность приведен в работе [6]. По критерию [1] после каждого наблюдения рассчитывается логарифм отношения правдоподобия
Г /( Т )Л
1п(^) = 1п
/(< р То ) блюдения оказалось, что
и если в результате п-го на-
Продолжительность испытаний I
Рис. 1. Схема последовательного критерия и пример возможной реализации процесса отказов:
1 — момент остановки испытаний при использовании непрерывной реализации критерия; 2 — момент остановки испытаний при использовании реализации критерия в моменты отказов; 3 — граница зоны принятия гипотезы Ну в случае использования критерия с реализацией в моменты отказов; 4 — уточненная граница зоны принятия гипотезы Ну в случае использования критерия с непрерывной реализацией
рывной реализацией и показана эффективность такого способа проверки гипотез о значении параметра экспоненциального распределения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Методом статистического моделирования исследуем сравнительную эффективность последовательного критерия [1] в классической постановке и при использовании непрерывной выборочной реализации при различении двух простых гипотез — основной Н0, когда значение контролируемого параметра Т = Т0, и конкурирующей Н при Т = Т} (То > Т{) в случае принадлежности результатов наблюдений распределению Вейбулла с известным параметром формы з. Двухпараметри-ческое распределение Вейбулла [5] имеет важное практическое значение, являясь хорошей моделью для описания надежности сложных устройств.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ПРИ ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗЫ О ПАРАМЕТРЕ МАСШТАБА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА
Плотность двухпараметрического распределения Вейбулла имеет вид:
,. - 1 -(А'
/(<; Т, 3) = -е—, 1 > 0,
где з > 0 — параметр формы, Т > 0 — параметр масштаба.
1п(Ао) < I ВД < 1п(А:),
г = 1
где Ао = и А = .
1 - а
а
то проводится про-
верка следующего (п + 1) наблюдения и, если
п
I 1п(^) ^ 1п(Ао), то принимается гипотеза Но, ес-г = 1
п
ли I 1п(^) > 1п(А}), то принимается гипотеза Н}.
г = 1
В случае распределения Вейбулла величина
п
I 1п(^) рассчитывается следующим образом: г = 1
11п(^) = кз 1п
г = 1
о
11
к
I
г = 1
Границы зон принятия конкурирующих гипотез для критерия [1] в случае принадлежности результатов наблюдений распределению Вейбулла выглядят так:
1п (А) +
11
к
I
г = 1
к =
31п
где у = 0 соответствует границе принятия гипотезы Но; у = 1 соответствует границе принятия гипотезы Н}.
Величины Ао = в и А} = 1—в
являются
1 - а а
приближенными и используются в случае дискретной реализации критерия, что приводит к занижению фактических вероятностей ошибок первого и второго рода. Кроме того, при таком подходе используется не вся информация об исследуемом процессе, вследствие чего эффективность критерия снижается.
В работе [2] приведены расчетные формулы для вычисления уточненных границ Ао и А} при проведении последовательных испытаний с ис-
п
п
Бепвогв & Буагвтв • № 8.2015
4
Начало
Ввод исходных данных: параметры проверяемых гипотез: Т0, 7}; заданные вероятности
ошибок а, |3; количество имитаций N
Выбор контролируемого параметра Т: Т= Т0, Т= Тъ Т= (Г0+ ГО/2
Генерирование случайных чисел -с заданным законом распределения
I
Последовательный расчет критерия
Да Нет Значения критерия лежат _
внутри заданных границ
Да
Значения критерия лежат в зоне приятия гипотезы Щ
I
Нет
Принимается гипотеза Щ, Принимается гипотеза Щ,
подсчитывается количество подсчитывается количество
реализаций гипотезы Н0 — Л{>, реализаций гипотезы
продолжительность испытаний — ¿о продолжительность испытаний —
1
Да
— Моделирование проведено ЛГраз
Нет
1
Расчет:
1. Фактические вероятности ошибок: если Т— Т0, то а* = ЩШ если Т= Тъ то (3* =Ы1/Ы
2. Продолжительность испытаний:
- в случае принятия гипотезы Н0: £цр =
- в случае принятия гипотезы Щ: ?6р =
— в среднем: ?общ = (%+
\
Да
Моделирование проведено для всех случаев
т= т0, т= тъ т= т0 + т;
Нет
Занесение данных в сводную таблицу
Конец
Рис. 2. Алгоритм моделирования
пользованием непрерывной выборочной реализации. При этом значение Ao = в предложено
1 - а
оставить тем же, а значение А} получается решением уравнения:
e
1£(Л) £ Ц^
г - 1 / = 0 i!
. _ 1п ( г)-, г
(J_ I)-С1) e_ г _1
к
£
г = 0
(--иг'
л
£ а
■ _ 1п ( г) -,г
(J _ K _ I) ВД e г _1 г _ 1
= 1 - а, (1)
где г = ; j =
_ 1п (Al). 1п (Ao)
1п ( г )
; к =
1п ( г )
Уточненные границы также можно получить статистическим моделированием [7] и другими методами моделирования [8]. В [9—11] методом статистического моделирования сравнивается эффективность последовательных критериев и определяются фактические вероятности ошибок первого и второго рода. В данной статье для расчета уточненных границ в формуле (1) используется
Т- 1 / ГТ1 1 ГТ1 1 ГТчЗ ГТ1 1 гтчЗ
0 / , где 1о = 1о ; м = 11 . АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Метод статистического моделирования реализуется путем генерирования последовательности случайных чисел, подчиняющихся распределе-
1
нию Вейбулла с заданным параметром 8 и параметром Т = Т0 (или Т = 7\, или Т = (То + 7\)/2), и моделирования процедуры проверки до тех пор, пока не будет принята одна из гипотез. В случае, если Т = (То + Т[)/2, принятие основной или альтернативной гипотезы равновероятно, а количество необходимых испытаний, как правило, максимально. Вследствие этого данный случай важен для определения эффективности критерия.
Моделирование проводится необходимое число раз, после чего рассчитывается средняя продолжительность испытаний, и по отношению числа случаев принятия ошибочного решения к общему числу реализаций вычисляются фактические вероятности ошибок а* и в*. Схема алгоритма моделирования представлена на рис. 2.
Моделирование осуществлялось при следующих исходных данных:
Т0/Т1 = 1,25; 1,5; 2,0; 3,0; а = в = 0,05; 0,3;
8 = 0,5; 1,0; 2,0; 3,0.
Результаты моделирования приведены в таблице.
Зависимости числа испытаний от значения параметра формы 5 при различных исходных данных в случае непрерывной реализации критерия (рис. 3) показывают, что средняя продолжительность испытаний значительно уменьшается с увеличением 5.
Использование непрерывной реализации с уточненными границами позволяет существенно
Результаты моделирования
Заданные Фактические Пара- Средняя продолжительность испытаний, 1
риски риски метр фор- Т = То Т = (Т + То)/2 Т = Тх
а в а* в* мы ^ пр. бр. общ. пр. бр. общ. пр. бр. общ.
Распределение Вейбулла Т0 = 1000; Т1 = 500 Дискретная реализация
о о о о оооо 0,05 0,05 0,05 0,05 0,0409 0,0422 0,0496 0,0246 0,0335 0,0255 0,0489 0,0062 0,5 1 2 3 92 784 12 112 1928 1753 50 158 7668 1907 1280 91 041 11 925 1927 1742 134 861 18 635 2807 2667 90 598 14 115 2902 2302 118 687 17 079 2836 2567 89 009 11 464 1946 1465 52 600 7752 1899 1364 53 819 7846 1901 1364
Непрерывная реализация
оо оо оо оо оооо 0,05 0,05 0,05 0,05 0,0491 0,051 0,0496 0,051 0,0526 0,0553 0,0489 0,0479 0,5 1 2 3 74 623 8686 192
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.