ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 5, с. 747-766
УДК 512.612
РАЗЛОЖЕНИЯ И МНОГОЧЛЕННЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗВЕШЕННЫХ ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ
© 2007 г. Е. Ф. Галба, В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко
(03680 Киев, пр-т акад. Глушкова, 40, Ин-т кибернетики НАНУ, Украина) e-mail: dejneka@public.icyb.kiev.ua Поступила в редакцию 13.11.2006 г.
Предложены и исследованы разложения взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными и вырожденными весами в матричные степенные ряды и матричные степенные произведения с отрицательными показателями степеней и произвольными положительными параметрами. На основании этих разложений получены многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц. Рассмотрен вопрос о построении прямых и итерационных методов для вычисления взвешенных псевдообратных матриц, взвешенных нормальных псевдорешений и о решении задач наименьших квадратов с ограничениями. Библ. 28.
Ключевые слова: взвешенные псевдообратные матрицы, взвешенные нормальные псевдорешения, матричные степенные ряды, матричные степенные произведения, многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц, задачи наименьших квадратов с ограничениями, итерационные методы.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] дано разложение псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза в матричный степенной ряд с отрицательными показателями степеней. В [2]-[5] получены и исследованы разложения взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными и вырожденными весами, соответственно, в матричные степенные ряды и матричные степенные произведения с отрицательными показателями степеней без привлечения параметров для изменения скорости сходимости рядов. Эти результаты использовались в цитируемых работах для построения итерационных процессов вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений. В настоящей работе для взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными и вырожденными весами предлагаются и исследуются их разложения в матричные степенные ряды и матричные степенные произведения с отрицательными показателями степеней и произвольными положительными параметрами, что обобщает предыдущие результаты по разложению взвешенных псевдообратных матриц. На основании этих разложений получены многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц, что является обобщением одночленных предельных представлений псевдообратных матриц Мура-Пенроуза (см. [6]) и одночленных предельных представлений взвешенных псевдообратных матриц (см. [7]-[9]). Полученные разложения использованы для построения прямых и итерационных методов вычисления взвешенных псевдообратных матриц, взвешенных нормальных псевдорешений и решения задач наименьших квадратов с ограничениями, что является обобщением построенных в указанных выше работах итерационных и прямых методов для решения этих задач.
Статья состоит из пяти разделов. В разд. 1 приводятся и исследуются необходимые для дальнейшего изложения свойства симметризуемых и взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными и вырожденными весами.
В разд. 2 строятся и исследуются разложения взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными весами в матричные степенные ряды и матричные степенные произведения. Показана сходимость рядов при использовании произвольных положительных параметров. Исследован вопрос влияния параметров на скорость сходимости рядов. На основании этих разложений получены многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц. С помощью многочленных предельных представлений построены и исследованы регу-ляризованные задачи для вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений.
Разд. 3 посвящен тем же вопросам, что и разд. 2, но для взвешенной псевдоинверсии с вырожденными весами.
В разд. 4 описана методика построения итерационных процессов для вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с положительно-полуопределенными матрицами-весами на основе разложений взвешенных псевдообратных матриц.
В разд. 5 прямые и итерационные методы, построенные в разд. 3 и 4 для вычисления взвешенных нормальных псевдорешений, адаптируются для построения методов вычисления приближения к решению задач наименьших квадратов с ограничениями.
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИЗВЕСТНЫЕ ФАКТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Отметим, что в дальнейшем везде предполагается вещественность используемых скаляров, векторов, матриц и пространств. Введем необходимые для дальнейшего изложения обозначения
_ гтъШ X п
и определения. Пусть Ire - множество действительных матриц размера ш X п.
Сначала приведем определение взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными весами (см. [10], [11]). Пусть A е I X п,Xе I X Ш, B е I X Ш и C е I X п - симметричные положительно-определенные матрицы. Тогда взвешенная псевдообратная матрица для матрицы A определяется как единственная матрицаX = A+BC , удовлетворяющая четырем условиям:
AXA = A, XAX=X, (ВАХ)т = BAX, (СХА)т = CXA. (1.1)
При В = С = E, где E - единичная матрица, система матричных уравнений (1.1) будет определять псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза (см. [12], [13]) к матрице A, которую будем обозначать через aEe .
Приведем определение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами. Пусть
Ш X п п X Ш Ш X Ш п X п
A е I , X е I , В е I и С е I - симметричные положительно-полуопределенные матрицы. Тогда взвешенная псевдообратная матрица для матрицы A в работе [14] определяется
как матрицаX = A+BC , удовлетворяющая четырем условиям:
AXA = A, XAX=X, (BAXT = BAX, (XACf = XAC. (1.2)
Там же установлено, что система матричных уравнений (1.2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения для рангов матриц
rk(BA) = rk(A), rk(AC) = rk(A), (1.3)
где rk(L) - ранг матрицы L.
Через I обозначим n-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, где векторы суть матрицы размера п X 1. Пусть H - симметричная положительно-определенная или
же положительно-полуопределенная матрица. Через Rn(H) будем обозначать евклидово пространство в случае положительно-определенной метрики или же псевдоевклидово в случае неотрицательной метрики, введенной скалярным произведением (u, v)H = (Hu, v)E, где (u, v)E = uV.
Норму (полунорму) в Rn(H) введем соотношением ||u||H = (u, u)H2. В случае положительно-полуопределенной матрицы H через I (H) с U"(H) и I (H+EE ) с In(H+EE ) будем обозначать подпространство векторов u, удовлетворяющих условию
HH+EEu = u. (1.4)
Множество векторов, удовлетворяющих условию (1.4), непусто. Действительно, так как HHEE - проекционная матрица, то множество (1.4) есть образ этой матрицы. Так как нуль-про-
странства матриц Н, Н+ЕЕ и ННЕЕ совпадают (см. [15]), то полунормы ||-||Н, ||-|| + для векторов в
НЕЕ
Й"(Н), Й"( Н+ЕЕ) становятся нормами в Й" (Н), Й" (Н+ЕЕ).
Определим норму прямоугольной матрицы (см. [3]). Пусть А Ф 0 е Й™ х ", Н - симметричная положительно-определенная или положительно-полуопределенная матрица порядка т, V- симметричная положительно-определенная или положительно-полуопределенная матрица порядка п,
х - произвольный вектор из Й". Предполагаем выполнение условий
гк(НА) = гк(А), rk(AV) = гк(А). (1.5)
Если Н и V - положительно-определенные матрицы, то условия (1.5) заведомо выполняются.
Для множества матриц А, удовлетворяющих условиям (1.5), норму введем соотношением
||А|и = 8ирН2ХА^ (1.6)
X Ф 0 \\Х\\Т7
n
где x е [n, а нижний индекс при единичной матрице означает ее размерность.
При таком определении норма матрицы A определяется по формуле
1/2
mhv = [^nax (VATHAV)] , (1.7)
где ^ax(L) - максимальное собственное значение матрицы L.
В [3] показано, что функция ||-|| HV, определенная формулой (1.6), при выполнении условий (1.5) является аддитивной матричной нормой. Если условия (или одно из условий) (1.5) не выполняются, то формула (1.6) определяет полунорму матрицы A.
В дальнейшем для положительно-полуопределенных матриц H будем пользоваться обозначением H+EPE = (Hp)ee , где p - целое или дробное число.
При исследовании разложений взвешенных псевдообратных матриц понадобятся оценки для норм произведения двух матриц.
Пусть A е хp, B е [p х n, а H е х m, V е [n х n, M е [p хp - симметричные положительно-определенные матрицы. Тогда для нормы произведения двух прямоугольных матриц имеем оценку (см. [2])
\\AB\\hv <1 |A|lHM-i||B\\m2v. (1.8)
Пусть A е [m хp, B е [p х n, а H е [m х m, V е [n х n, M е [p хp - симметричные положительно-полуопределенные матрицы, причем удовлетворяется одно из условий
AMM+EE = AM+EEM = A, MM+EEB = M+EEMB = B; (1.9)
тогда (см. [8]) справедливо неравенство
\\AB\\hv <1 IA|IhmIBIIm.2 v • (1.10)
Для исследования формул разложения взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные ряды будет использоваться представление взвешенных псевдообратных матриц в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых
матриц, полученное в [16], где показано, что матрица A+BC , удовлетворяющая условиям (1.2), (1.3), представима в виде
ABC = CSATB, (1.11)
где S = f (ATBAC) - многочлен от матрицы ATBAC.
В той же работе также показано, что имеют место равенства
SATBACAT = A^BACSAт = Ат, (1.12)
а в [8] - справедливость равенств
AÚBAABC = ATB, ABC ACATB = CATB. (1.13)
В настоящей работе будем пользоваться следующим определением взвешенной ортогональной матрицы.
Определение 1 (см. [2]). Квадратную вещественную матрицу Q будем называть Н-взвешенной ортогональной (ортогональной с весом Н), если ее столбцы ортонормальны в смысле скалярного произведения (•, -)Н, т.е., если выполняется условие QтHQ = Е, где Н- симметричная положительно-определенная матрица.
При исследовании формул разложения взвешенных псевдообратных матриц с положительно-определенными весами в матричные степенные ряды будет использован аппарат взвешенного сингулярного разложения матриц, построенный в [17]. А именно, там показано, что для матрицы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.