РАЗМЕРНОЕ КВАНТОВАНИЕ В ГРАФЕНОВЫХ ПЛАНАРНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ: ПСЕВДОСПИНОВОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА, ПРИГРАНИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
И ЭКСИТОНЫ
П. В. Ратников* А. П. Силин
Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук 119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 21 апреля 2010 1". после переработки 1 августа 2011 г.
Рассматривается планарная квантовая яма, составленная из нанополоски бесщелевого графена, по краям которой находятся щелевые модификации графена. Показано, что в несимметричной квантовой яме появляется псевдоспиновое расщепление спектра размерного квантования носителей тока. Исследовано квантование Ландау энергетического спектра. Рассмотрен новый тип приграничных состояний, возникающий при пересечении дисперсионных кривых щелевой и бесщелевой модификаций графена. Рассчитывается спектр экситона в планарной квантовой яме. Рассмотрено влияние внешнего электрического поля на спектр экситона.
1. ВВЕДЕНИЕ
Получение графена одноатомного слоя атомов углерода, образующих правильную гексагональную решетку [1 3], стимулировало обширную деятельность по его изучению в разных направлениях. Графен интенсивно исследуется экспериментально и теоретически. Благодаря своим уникальным свойствам графен является перспективным материалом для углеродной наноэлектроники нового поколения. Например, подвижность носителей тока в графене достигает 2 • 105 см2/'В-с, а транспорт в субмикронных образцах может быть баллистическим [4,5].
За последние семь лет появилось множество теоретических и экспериментальных работ по исследованию электронных свойств узких полосок графе-па иапометровой ширины (нанополосок). Одними из первых были сделаны работы по изучению электронных состояний нанополосок графена с использованием уравнения Дирака с соответствующими граничными условиями [6, 7]. Электронные свойства нанополоски графена сильно зависят от ее размера и геометрии краев [8]. По своим транспортным свойствам нанополоски графена во многом напоминают угле-
E-mail: ratnikovö'lpi.ru
родные нанотрубки [9, 10], поскольку в них свободное движение носителей тока также одномерно.
Недавно был создан транзистор на основе нанополоски графена шириной 2 нм и длиной 236 нм (исследовались также нанополоски шириной 10 60 нм) [11]. Нанополоска графена была взята настолько узкой, чтобы гарантировать возникновение достаточно широкой энергетической щели, необходимой для работы транзистора при комнатной температуре. Однако по компактности он несколько уступает транзистору на основе графеновой квантовой точки диаметром 30 нм [12].
В настоящей работе мы исследуем планарную квантовую яму, составленную из нанополоски графена, по краям которой находятся его щелевые модификации.
Щелевые модификации графена можно получить несколькими способами. Во-первых, энергетическая щель может открываться за счет того, что графен наносится на подложку не из 810-2, а из гексагонального нитрида бора (/г-ВМ). При этом две треугольные подрешетки графена становятся неэквивалентными и образуется щелевая модификация с энергетической щелыо 53 мэВ [13]. Во-вторых, графен, эпитаксиально выращенный на подложке ЭЮ, также обладает ненулевой энергетической ще-
Рис.1. Два варианта рассматриваемой системы: а — слой графена на подложке, составленной из двух полосок /г-ВЫ и вставленной между ними нанополоски 8102 ширины <1\ б— неоднородно гидрогенизированный графен на подложке из 8102 — ширина негидрогенизированной нанополоски графена), где светлые кружки — атомы водорода, располагающиеся так, что с одной стороны графенового листа они соединены с атомами углерода одной подрешетки, а с другой стороны — с атомами углерода другой подрешетки
лью [14], которая, согласно экспериментальным данным, полученным с использованием фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением, равна 0.26 эВ [15]. В-третьих, недавно гидрогенизацией синтезирована еще одна модификация графена -графан [16], — в которой, согласно расчетам, прямая энергетическая щель в Г-точке равна 5.4 эВ [17]. В-четвертых, согласно расчетам ab initio энергетическая щель в графене с осажденными молекулами СгОз равна 0.12 эВ [18]. В первых двух случаях можно наносить графен на неоднородную подложку h-BN — нанополоска SiC^-Zi-BN или SiC — на-нополоска SiC^-SiC (на рис. 1а изображен вариант с h-BN). В последних двух случаях берется неоднородно гидрогенизированный графен (негидроге-низированная нанополоска, рис. 16) или графен с неоднородным осаждением молекул СгОз (молекулы СгОз не осаждаются на нанополоске). Возможна
также неполная гидрогенизация графена (не на всех атомах углерода находятся атомы водорода), вследствие чего появляется возможность изменения величины энергетической щели. Можно использовать различные комбинации указанных способов. В последнее время интенсивно ведутся экспериментальные исследования графена на подложках из различных материалов, в частности из редкоземельных металлов [19-21]. Не исключено, что открыть энергетическую щель в спектре графена можно с помощью осаждения на него других молекул или посредством расположения графена на подложке из каких-нибудь иных материалов. Использование щелевых модификаций графена в качестве потенциальных барьеров открывает дополнительные возможности для углеродной зонной технологии [22].
Мы предполагаем, что оба гетероконтакта нанополоски с щелевыми модификациями графена явля-
ются контактами типа I (классификация контактов приведена, например, в монографии [23]), т.е. дира-ковские точки бссщслевого графена по энергии попадают в запрещенные зоны окружающих его щелевых модификаций графена. Это необходимо для того, чтобы избежать спонтанного рождения электронно-дырочных пар, что привело бы к шунтированию приборов углеродной наноэлектроники на основе графена, таких, например, как полевой транзистор.
Мы считаем, что планарные гетероструктуры на основе графена и его щелевых модификаций являются перспективными для развития углеродной наноэлектроники. Использование одного бесщелевого графена не может отразить все многообразие возможностей, которое дает зонная технология, использующая и щелевые модификации графена.
Статья построена следующим образом. В разд. 2 излагаются предварительные замечания, поясняющие некоторые вопросы теории квазирелятивистских фермионов в графене. В разд. 3 сформулирована модель, являющаяся обобщением модели Дирака для графена. В разд. 4 рассмотрено размерное квантование исходно безмассовых носителей тока в планарной квантовой яме на основе графена. В разд. 5 изучаются приграничные состояния. Возникновение эффективной щели в спектре размерного квантования рассматриваемой гетероструктуры дает возможность образования экситонов при оптическом возбуждении. Спектр экситона рассчитывается в разд. 6. В разд. 7 рассматривается влияние внешнего однородного электрического поля па экситон. Некоторые экспериментальные проявления исследованных в статье эффектов обсуждаются в разд. 8. Основные результаты, полученные в статье, и их обсуждение приведены в Заключении (разд. 9).
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рис.2. Первая зона Бриллюэна графена, в угловых (дираковских) точках которой энергетический спектр носителей тока линеен. Показаны векторы обратной решетки Ьх = (27г/3а, 2ж/\/За} и Ьз = = (27г/3а, —2л-/\/За), где а = 1.42 А — межатомное расстояние. Эти два вектора и соответствующие штриховые линии дают эквивалентное представление первой зоны Бриллюэна в виде ромба
оператор вращения на угол тг вокруг оси п, перпендикулярной плоскости гетероструктуры, в стандартном представлении
Е =
матрицы Паули,
74 = /? =
-I,
/ единичная матрица 2x2. Легко видеть, что оператор (1) совпадает с оператором четности /75п квантовой электродинамики, где п = 7 • п,
В нашей предыдущей работе [24] мы исследовали планарную гетероструктуру, составленную из двух моноатомных слоев узкощелевых полупроводников и полоски графена. Рассматривались состояния с определенной четностью А собственным значением оператора четности [25]
Р = 'Г/4 А„
где /74 оператор инверсии,
(1)
Л„ = ехр ( —• п) = —¿£ • п
7 =
7.5 = 71727374 = г
'0 Г ,/ О,
Собственные волновые функции этого оператора описывают поляризационные состояния электрона [26].
Состояния носителей тока в графене можно описывать спиральностыо собственным числом оператора спиральности /г = <т • р/2|р|. Проекция псевдоспина на направление квазиимпульса р определяет принадлежность электронов или дырок к одной из двух долин (К- или Л"'-точки зоны Бриллюэна,
рис. 2). Положительное значение спиральности соответствует электронам в окрестности Л'-точки и дыркам в окрестности Л''-точки, а отрицательное значение электронам в окрестности Л''-точки и дыркам в окрестности Л'-точки [27].
В случае нулевой массы состояния с противоположной спиральностыо независимы [28]. Носители тока обладают дополнительной симметрией ки-ральной симметрией (сохраняется спиральность). В этом случае, как и в случае массивных носителей тока, также можно ввести четность1^. Тем самым повышенная симметрия безмассовых носителей тока выражается в наличии у них дополнительного квантового числа спиральности. Четность «различает» состояния лишь по долинам (А = 1 для состояний в окрестности Л'-точки и Л = — 1 для состояний в окрестности Л''-точки), а спиральность помимо этого свойства также обладает свойством «отличать» частицу (электрон) от античастицы (дырки). Однако для массивных носителей тока киральная симметрия нарушается, и спиральность в этом случае не является квантовым числом. Чтобы описать состояния носителей тока в планарной графеновой гетероструктуре, в которой используются как бесгце-левой графеи, так и его щелевые модификации, эти состояния следует характеризовать четностью.
Напомним, что вывод уравнения Дирака, описывающего безмассовые носители тока в графене, предполагает их двухдолинными и бесспиновыми [10]. Получающееся уравнение Дирака является матричным 4x4. Рассматривая носители тока в одной долине, можно по аналогии с нейтрино перейти к уравнению Вейля, которое совпадает с матричным 2 х 2-представлением уравнения Дирака для безмас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.