ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1323-1339
УДК 519.626
РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ-НАБЛЮДЕНИЯ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ III РОДА1}
© 2007 г. М. М. Потапов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: mpotapov@tochka.ru Поступила в редакцию 12.03.2007 г.
Для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями II и III рода рассмотрены две взаимодвойственные задачи: задача дирихле-наблюдения со слабыми обобщенными решениями и задача управления с сильными обобщенными решениями. Для обеих задач построены конечно-разностные аппроксимации с сохранением отношения двойственности и установлена сходимость их приближенных решений в нормах соответствующих взаимно сопряженных пространств. Библ. 16.
Ключевые слова: волновое уравнение, управляемость, наблюдаемость, двойственность, конечномерная аппроксимация, сходимость.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается пара взаимодвойственных задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями II или III рода. В задаче управления
p(x)ytt = (k(x)yx)x, 0 < t < T, 0 < x < l, (1.1)
- kyx + Coylx = 0 = Uo(t), kyx + o^lx = I = u(t), 0 < t < T, (1.2)
У It = 0 = 0, yt|t = 0 = 0, 0 < x < l, (1.3)
требуется соответствующим выбором управляющих воздействий u = (u0(t), u1(t)) e H = L2(0, T) x x L2(0, T) перевести систему (1.1)—(1.3) из нулевого начального состояния (1.3) в заданное целевое состояние f = (f0(x), f1(x)) e F = H1(0, l) x Lp (0, l):
yIt = t = f°(x), yt|t = T = f1 (x), 0 < x < l. (1.4)
Длина l > 0, момент T > 0 и коэффициенты p(x), k(x), o0 > 0, o1 > 0 предполагаются заданными, причем
p(x)e C1 [0, l], k(x)e C:[ 0, l], p(x)>p* > 0, k(x)> k* > 0. (1.5)
Случай граничных условий II рода, когда o0 = o1 = 0 в (1.2), будет рассматриваться как частный в общей постановке (1.1)—(1.3), а на отдельные его особенности мы обратим внимание по ходу дела. Двойственной по отношению к задаче управления (1.1)—(1.4) является следующая задача наблюдения:
p(x)ptt = (k(x)px)x, 0 < t < T, 0 < x < l, (1.6)
- kpx + 00p|x = 0 = 0, kpx + 0lp|x = l = 0, 0 < t < T, (1.7)
p|t = T = v0(x), pt\ = t = -v1 (x), 0 < x < l, (1.8)
^ Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект РНП 2.1.1.1714).
Р\х = о= ^о(0, Р\х =I = (О, 0 < ,< Т. (1.9)
В этой задаче по известным дирихле-наблюдениям g = (£0(?), g1(t)) е Я* = Ь2(0, Т) х Ь2(0, Т) из (1.9)
требуется восстановить конечное состояние V = (у°(х), ^(х)) е Р* = Ьр (0, I) х (Ях(0, /))* процесса (1.6)-(1.8), через которое, при необходимости, можно определять и другие его характеристики, решая краевую задачу (1.6)-(1.8).
Взаимодвойственная пара задач в постановке, подобной (1.1)-(1.4) и (1.6)-(1.9), рассматривалась автором ранее в [1]. В отличие от [1], здесь управления и и целевые состояния/принадлежат более гладким классам, а наблюдения g и восстанавливаемые состояния V, напротив, являются менее регулярными. При выборе управлений и = (и0(,), и^)) е Ь2(0, Т) х Ь2(0, Т) обобщенные решения у = у(,, х) задачи (1.1)—(1.3), как и в [2]-[4], принадлежат пространству Й2 ^т), введенному в [5], [6], и обладают свойствами
у(,, ■) е С([0, Т]; Я1 (0,I)), у,(,, ■ )е С([0, Т]; Ьр(0,I)), (110)
у(х) е С([0,I]; Я1 (0, Т)), Ух(•, х) е С([0,I]; Ь2(0, Т)).
о
Здесь Я1(0, Т) — подпространство функций из Ях(0, Т), принимающих при , = 0 согласованные с
(1.3) нулевые значения. Класс Р = Ях(0, I) х Ьр (0, I) целевых состояний (1.4), в свою очередь, согласован с (1.10). Решения р = р(,, х) начально-краевой задачи (1.6)-(1.8) с терминальными значениями V = (ъ°(х), ^(х)) е Ьр (0, I) х (Ях(0, I))* оказываются слабыми обобщенными решениями из класса функций с нерегулярными производными:
р(,, ■) е С([0, Т]; Ьр(0, I)), р,(,, ■) е С([0, Т]; (Я\0, I))*),
р(■, х) е С([0, I]; Ь2(0, Т)), рх(■, х)е С([0, I]; (Я1 (0, Т))*).
Вопросы управляемости и минимизации соответствующего порогового момента для задач граничного управления вида (1.1)—(1.4) в функциональных классах различной степени гладкости исследованы в [7]. Явные аналитические решения таких задач, в том числе и нормальные, на достаточно протяженных временных промежутках в случае постоянных коэффициентов, граничных условий Неймана и регулярных управлений из Ь2(0, Т) построены в [8]. В случае нерегулярных управлений для второй и третьей краевых задач с постоянными коэффициентами на временном промежутке критической длины явное решение задачи управления (1.1)—(1.4) приведено в [9], а для задач с переменными коэффициентами на достаточно больших временных промежутках в [1] построены и исследованы их конечномерные аппроксимации, которые могут быть использованы для отыскания приближенных решений с помощью предложенного в [10] вариационного метода.
Главной целью настоящей работы является построение устойчивых приближений к решениям обеих задач (1.1)—(1.4) и (1.6)—(1.9), а главным инструментом будет служить вариационный метод из [10] в сочетании с конечномерными аппроксимациями разностного типа. С позиций изложенного в [11] подхода к двойственным задачам управления и наблюдения как ко взаимно сопряженным операторным уравнениями вида Аи = / и A*v = g, ключевым из условий, достаточных для применимости этого метода, является свойство корректной разрешимости сопряженного уравнения
||А* VIЯ * V Р* Vv е Р* (1.11)
с известным значением | > 0, являющимся одним из параметров алгоритма из [10]. В нашем случае операторы А и А* являются линейными ограниченными взаимно сопряженными отображениями вида
Аи = у = г,у,|, = Т), А : Я^Р, (1.12)
А * V = (р|х = 0, р|х = I), А* : Р * —- Я* - Я, (1.13)
где у(,, х) — решение задачи (1.1)—(1.3), ар(,, х) — решение задачи (1.6)—(1.8).
Ниже сначала будут рассмотрены двойственные задачи (1.1)—(1.4) и (1.6)—(1.8) с двусторонними граничными управлениями и наблюдениями и для сопряженного оператора А* получена оценка (1.11) с явным выражением для | > 0. Заметим, что из-за недостатка регулярности решения р($, х) сопряженной системы это потребует относительно больших по сравнению с [1] усилий. Затем оценка (1.11) будет выведена для случая односторонних управлений и наблюдений, когда управление ы^) обращается в нуль, а значения р|х = / не наблюдаются, т.е. остаются неизвестными. После этого будут построены конечно-разностные аппроксимации обеих задач (1.1)—(1.4) и (1.6)-(1.9), описана процедура применения к ним вариационного метода из [10] и показано, что выполнены все условия его сходимости.
Заметим, что результаты, касающиеся вывода оценки (1.11) и не затрагивающие вопросов аппроксимации, были анонсированы в [12] и приводятся здесь в более подробном изложении.
2. КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ С ДВУСТОРОННИМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ
В качестве базовых гильбертовых пространств функций переменных t и х возьмем, соответственно, обычное и весовое пространства Лебега Ь2(0, Т) и Ьр (0, /) со скалярными произведениями
Т /
</, £>£2(0>Т) = / t)g(t)Л и </, g)£р(0> 1} = |р(х)/(х)g(х)Лх. 0 0 Эти пространства будут отождествляться по Риссу со своими сопряженными:
(Ь2(0, Т))* - Ь2(0, Т), (Ьр(0,/))* - Ьр(0,/).
В пространстве Их(0,/) в случае, когда с0 + сх > 0, вводим скалярное произведение
/
< /' g> Н1( 0, п = °0/( 0) g (0) + а /(/) g (/) +1 к (х) / (х) g' (х) Лх, (2.1)
0
а в случае краевых условий Неймана, когда а0 = ах = 0 и билинейная форма (2.1) порождает в пространстве И1(0, Г) лишь полунорму, берем вместо нее
I
< /' g> Н1 (0, п = /(0) g (0) + /(1) g (1) +1 к (х) / (х) х) Лх.
0
В работе рассматриваются постановки взаимодвойственных задач с двусторонними управлениями и наблюдениями в следующих взаимно сопряженных пространствах:
И = Ь2(0, Т) хЬ2(0, Т) - И*,
Р = И1 (0,1) х ьр( 0,1), Р* = ьр( 0,1 )х( И1 (0,1)) *. В терминах пространств (2.2) интересующая нас оценка (1.11) принимает вид
|(р2(t, 0) + р2(t, I))Л > | |р(х)| V0(х)|2Лх + 11V
л
11 2
(И1 (0,1)) *
У
(2.2)
(2.3)
Для вывода оценки (2.3) разложим пространство Их(0, I) в сумму
1 1 ° 1 ° И (0,1) = И (0,1) + И (0,/) (2.4)
двух гильбертовых пространств И\0, /) = /х) еИ1(0,/) |/(0) = 0} и Их(0, /) = {/(х) еИ'(0,/) |/(/) = 0} с одинаковыми скалярными произведениями
/
</, ^/) = </, g>И'(0,°) = 1к(х)/(х)g'(х)Лх. (2.5)
0
Т
0
Тогда справедливо следующее важное отношение двойственности (см. [13]):
(н\0, l))* = (H\0, l) + H\0, °))* = (H\0, l))* n (H1 (0, °))*, (2.6)
в котором подразумевается как поэлементное совпадение, так и равенство соответствующих скалярных произведений и норм, в частности (подробности см. в [3], [4])
II 11 2 =11 IP о . =1|| 11 2 „ +1|| 11 2 „ (27)
Hv H(H1(0,l))* Hv II(h1 (0,l))*n(H'(0,°))* 2 v "(H1(0,l))* + 2 V "(H'(0,°))*. (2.7)
Соотношение (2.6) дает возможность смотреть на функционалы v1 e (H1(0, l))* как на элементы
о о
пересечения (H1( 0, l))* n (H1(0, l ))*. В процессе оценивания важную роль будет играть мультипликатор (см. [14]) m(x) = m(x; %):
m'(x) = 1+ a(x)m(x), 0 < x < l, m(%) = 0, где 0 < % < l и a(x) = mini ^^ \ при 0 < x < %,
p(x)' k(x) (2 8)
. . I p'(x) k(x) I
a(x) = max{rn J при %<x <l.
Пороговый момент управляемости при двусторонних управлениях и наблюдениях обозначим через T2 и определим по правилу
T2 = 2 min max (|m(x; %)|Vp(x)/k(x)). (2.9)
0<%<l 0<x<I
В итоговых оценках будем использовать мультипликатор m*(x) = m(x; соответствующий тому значению параметра % = которое доставляет минимум в (2.9).
Теорема 1. Пусть выполняются условия (1.5), а значение момента T2 определено в (2.9). Тогда при T > T2 для решения p сопряженной задачи (1.6)-(1.8) справедлива оценка
t (1 \
2 С 2 2 i* I 0 12 II 112
М *VIн* = J[p (t, 0) + p (t, l)]dt >^2 Jp(x)| v (x)| dx +||v II (H1(0, l))*
00
= H2II v||F* Vv = (v0, v1) e F*, в которой ц2 = (T - T2)/M > 0,M = max{M0,M1}, а значенияM0,M1 вычисляются по формулам
|m* (0
(2.10)
M0 = p( 0 )| m*( 0 )| + T- 1+ О
0 к(0) ..
2 (2.11) М = Р( 7)7) + 7 Н1 + О1?К0-)) •
Доказательство. Для избавления от неудобств, вызванных нерегулярностью компоненты V1 е (Я^0, /))*, произв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.