ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 980-987
УДК 519.633
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
© 2007 г. О. П. Комурджишвили
(0186 Тбилиси, ул. Университетская, 2, ИПМ ТГУ им. И.Н. Векуа)
e-mail: gord@viam.hepi.edu.ge
Поступила в редакцию 7.06.2005 г. Переработанный вариант 24.07.2006 г.
Приводится описание численного алгоритма для интегрирования многомерных гиперболических уравнений второго порядка и систем гиперболического типа. Конструктивно построены как условно, так и безусловно устойчивые разностные схемы. Исследование полученных конечно-разностных схем основывается на общем принципе регуляризации, основоположником которого является A.A. Самарский. Библ. 5.
Ключевые слова: многомерные гиперболические уравнения и их системы, регуляризация, разностные схемы, устойчивость схемы.
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи математической физики связаны с уравнениями и системами гиперболического типа, численные методы решения которых начались с фундаментальных исследований Куранта, Фридрихса, Леви.
В настоящее время известны эффективные алгоритмы (экономичные схемы) для решения динамических задач упругости, колебаний и для некоторых других задач. Достаточно привести такие известные алгоритмы, как дробно-шаговые, факторизованные, локально-одномерные и др. схемы. Сравнительно объемную библиографию, связанную с этими вопросами, см. в [1]-[3].
Отметим, что все экономичные методы имеют одну общую алгоритмическую идею: процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, на каждом из которых решается трехточечная разностная задача методом прогонки.
Предложенный численный алгоритм для интегрирования многомерных уравнений второго порядка и систем гиперболического типа, где конструктивно задается как условно, так и безусловно устойчивые разностные схемы, вполне вмещается в рамки предложенной идеи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Рассмотрим первую начально-граничную задачу следующего вида для гиперболического уравнения в цилиндре QT:
д2
2-1 - ^ = /(х, г), (X, *) е QT = О х (0 < г < Т), д( (1.1)
и(х, 0) = и0(х), ^ = и0(х), и(х, г)|г = 0, х = (х!,..., хр)е О,
О = О + Г естьр-мерный прямоугольный параллелепипед (0 <х,< 1, / = 1, р), и0, и0,/- заданные
разностные схемы для решения многомерных уравнении функции, а эллиптический оператор Ь имеет вид
р Э2
Ь =1
г, } = 1
чд хгд х/
(1.2)
С-1 ^ ^ X агЛг^ * С2^, ^ ^ С1 > 0'
г,} = 1
г = 1
г = 1
Область интегрирования QT = О х [0, Т] разобьем плоскостями хг = кИг, Иг > 0, к = 0, 1, ..., Ах, ^ = }т,} = 0, 1, ..., А0, на элементные ячейки. Для простоты предположим, что по хгосям ^ = И =
= А , а по Т-осям т = Т/А0.
При построении схем сначала для случая р = 2 рассмотрим сечения 5к, к = 1, 3 , элементарной ячейки размерности (2И, 2И, 2т), в центре которой расположен основной узел 0(х1г, х2г, ^). Выпишем координаты вершин сечения 5к, к = 1, 2, 3:
5: ^ {(хи + И, х2г, 1} + Т), (хи - И, х2г, tj + Т), (х1 г - И, х2г, tj - Т), (хи + И, х2г, Г} - Т)},
§2 ^ {(х1г, х2г + И, tj + т), (хи, х2, - И, tj + т), (х1 г, х2, - И, t} - Т), (х1г, х2, + И, t} - Т)},
5з ^ {(х 1 г + И, х2г + И, tj), (х1; - И, х2, + И, tj), (хи - И, х2, - И, t}), (х1г + И, х2, - И, tj)}
и рассмотрим, соответственно, следующие направления (¡г) на сечениях 51, 52, 53:
(¡1, ¡2,13,¡4)5 ^ (а1, п - а, п + а, 2п - а),
(¡1, ¡2, ¡з, ¡4)в2 0, 0, п, п),
(¡1, ¡2, ¡3, ¡4)5 ^ (а1, п - а, п + а, 2п - а),
где а - угол, образованный между осью 0хг и направлением ¡1 - положительном направлении отсчета в точке 0(х1, х2, ^). Далее воспользуемся следующими тождественными представлениями данного уравнения:
(в + а 11) —^ = а а дt
22 д и + р" и
дt2 дх1
а22р
2
ди уд х^/
■2аи в
д2и д х1д х2уз3
в/,
(1.3)
д2и
(в + а22) —2 = а11 дt
2
д--- и
Чд х2У
22 д-- и + вд--- и
дt2 д х2
2
2 а-2 в/ •
(1.4)
где в ^ 0 - действительное число, которое ниже однозначно определяется. Используем формулу
(1.5)
д2и д2и 2 д2и
—- = —-ео8 аг + 2--—--—ео8 аг эт аг
д¡2 д х2 д х1д х2
д2и 2 —281П аг
д х 22
2
и выпишем на 5к (к = 1, 2, 3) формулу (1.5) для каждого г = 1, 4. Для к = 1:
д2и -д---¡--1-2- д2и д¡32 д2и 2 = —2 со® а + д х 12 д2и 2=-—-г-соэ а эт а - д х1д t д2-и э7 2 эт а,
д2и -д---¡--2-2- д2и д ¡4 д2и 2 = —^ со® а - д х 12 д2и 2--—-г-соэаэта - д х1 дt д2-и э7 2 эт а.
р
р
р
2
Просуммируем полученные равенства, разделим на 4 sin2a и получим
д2 и + рЭ2 и = 1 х д2и Э г Э хг 481п аг = 1 Э /
(1.6)
где в = а = (к/т)2. Для к = 2
Для к = 3
Э2и Э2и Э2 и ЭI2 Э/2 Эх2
(1.7)
Э2и
Эх1 Эх2 881п а со8 а
Э2 и Э2 и + Э2 и Э2 и Э/2 Э ¡2 Э/2 Э/4
(1.8)
Подставляя (1.6), (1.7), (1.8) в уравнение (1.3), получаем
,а, ,Э и ап
(в+>э? = т
4 2
1 ^ Э и
• 2 X , 2
8т аг = 1 Э ¡^ 5,
+ а22 в
2
Эи
э ¡2
15
+
а12 в
1
8ш а со8 а
Э2 и Э2 и + Э2 и Э2 и
э¡2 э¡2 э/2 э/4/_
в/.
(1.9)
Выпишем разностный аналог для дифференциального уравнения (1.9):
(в + аи) % = ^
4
-г- X
аг = 1 /5,
+ а22 в( \ и )52 +
+
а12в
1
8ш а со8 а
( ¡1/1 /2/ 2 /3/3 /4/4)
в/,
(1.10)
где
и (хи + к, х21, + т) и(хи, х2р ) и(хи к, х21, т) и (х 1 х2р )
(ик )5 = -\---, ( и- )5 = -)--,
1 51 2 2 /1 51 2 2
л/к + т л/к + т
(и/, )5 =
и (хи к, х2,, + т) и(х1г-, х2,, )
к
22 + т
(ии)5 =
и(х1 г + к, х2Ь т) и (х 1 Ь х2Ь )
22 + т
Для коэффициентов, правой части и решения сохраняем те же обозначения, просто в разностных схемах их дискретные аналоги определяются или задаются в основных (х1г, х2, ) узлах. Принимая во внимание равенства
т к2
(81П а)51 = • • (81П а)5з = • . (С08 а)5з =
к2 + т2
к2 + к2
к2 + к2
• 2 Аи ¡,¡1 ®1П аг = 1 /5!
= игг + —
2 т2
и ( х 1, + к, х2г, г } + т ) - 2 и( х 1 г, х2,, ^ + т) + и ( х и - к, х2 г , ^ + т)
к2
+
и ( х 1г + к , х 2 г , ^ - т ) - 2 и ( х 1 г , х2 ., ^ - т ) + и ( х1. - к , х2 ., ^ - т)
к 12
5
2
записываем разностную схему (1.10) в следующем каноническом виде:
(Е + т2 Я1) и„ = Ь2кп + /, (1.11)
где
а12
Ь2ки = а 11 иХ1 Х. + —[(иХ1 + и-Х1) х2 + (иХ1 + и-Х1) х2 ] + а22 иХ2х2,
Я1 = 1 а11 А1' А1 = —^Ц' Д11и = их1 х1-
Если на сечениях 5Х, 52 поменять местами направления ^ (1 = 1, 4), т.е. на 5Х рассмотреть направление (¡1, ¡2,¡3, ¡4)д ^ (0, 0, п, п), а на 52 - направление (¡1,12,¡3, ¡4)5з ^ (а, п - а, п + а, 2п - а), и повторить дословно проведенные рассуждения, получим следующую разностную схему:
(Е + т2 ^2) и„ = ¿2йи + /' (1.12)
где
Я2 = Ц а22А2' А2 = -Д22' Д22и = их2Х2-
Детальное рассуждение для получения разностной схемы (1.11), (1.12) проведено для того, чтобы аналогичным образом выписать схемы для задачи (1.1):
(Е + т2 Як) иа = ЬРки + /, к = 1, р,
т2 (1.13)(к)
и(х, 0) = ио(х)' и(т) = и0 + т^ + у(1рЙи + /), = 0' и|гл = 0'
где
р р а
ЬрЪи = Xацих.х.^ + X 1ихг + их;)х7 +(их, + их,)х.]'
г = 1 г, ] =1
г * 1
Як = аккАк' Дк = -Дкк' Дкки = ихкхк' к = 1 р-
Равенства (1.13)(к), к = 1, р, представляют собой одномерные, независимые друг от друга, эквивалентные, имеющие полную аппроксимацию конечно-разностные схемы, для реализации которых применяется метод прогонки, соответственно, вдоль осей охк (к = 1, р).
Отметим, что в дальнейшем при исследовании схем (1.13)(к) будем пользоваться соответствующими схемами с с-параметром, в частности
(Е + ст2 Як) иа = ЬрНи + /, к = 1, р. (1.14)(к)
2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Для иллюстрации предлагаемого метода в качестве примера посмотрим, как выписываются разностные схемы для систем уравнений динамических задач теории упругости.
комурджишвили 2.1. Постановка задачи
д2 u
Р Д2
д u
—2й- Lu = f, Lu = цАи + (X + ^)graddiv u, A u = ^—2,
д f
1 д хг-
г = 1 г
(2.1)
u(х, 0) = u0(х), (х' 0) = u1 (х), х e G, u(х, t) = 0 при х e Г, t e [0, T], д t
,0 „1
где u0, u1, f- заданные вектор-функции, X = const > 0, ц = const > 0, u = (u1, ..., up). Условие положительной определенности выполнено при С1 = ц, C2 = X + 2ц.
Одна из основных идей построения схем состоит в тождественном представлении систем дифференциальных уравнений.
2.2. Случайp = 2
(R , l )д2uг г
(Р + «11) —г = а11
д t
(R ^ г )д uг г
(Р + «22 ) —7 = «22 д t
д u, пд uг -1 + В--
22
д t2 д х2
22 д uг _д u,-
"Г + Р "Г
д t д хь
Р а-1
Р«2
2
д u
д х 22
2р а1
д2 u
Р f,
2
д u
2
д х 12
2 р а
12
51
д2^
д х1 д х2У5
д х1д х2у 53
+ , г = 1,2, j.
Повторив дословно рассмотренный в п. 2.1 метод построения разностных схем и приняв во внимание, что в = (к/т)2, получим следующие разностные задачи, соответствующие граничной задаче (2.1):
(E + от2 R1l)u]ti = L]hu + fj,
u(х, 0) = u°(х), ut(х, 0) = ui (х) = u(х) + 1 т(Ljhu\х) + f (х, 0)),
2
Mo,)
где
uIг =0, k1 = 1, 4,
L1hu = «П u1 х1х1+ 2«12A12u2+ «22u1 х2х^
22 L2hu = «22 u2 х2 х2 + 2 «12A12u1 + «11 ^х^
A19u = 1 [(^ + ^ ) + (uY + uх )_ ],
12 4 х1 х1 X2 х1 х1 X2
Qu = «222 = X + 2 ц, «J2! = «22 = ц, «12 = 1 (X + ц),
Rl = 1 «lUi, R,2 = 2«г2Aг^ ^ j = 1 2.
2.3. Разностная схема приp = 3
Она строится аналогично 2.2:
где
(E + от2R-)u]tt = Ljhu + fj, k 1 = 1, 9,
L1hu = « П u1 х1 х,+ «22 u1 х2х2 + «33 u1 х3 х3 + 2 «12 (A12 u2 + A13 u3 ),
(2.3)(k1)
L2hu = «22 u2 х2 х2 + «П u2 х1 х1 + «33 u2 х3 х3 + 2 «12 (A12 u1+ A23 u3 ),
2
Ьзки = а 31 из х1 ^ + а22 и3 х2х2 + а33 и3 х3 х3 + 2 а12 (А13 и1+ А23 и2 ),
Аари = 4[(иха + иха)хв + (иха + иха)хв], а, в = 1, 2, 3, а^в, я,1 = 1 аг'^г, В, = 1 аг2Лг, В, = 2аг3Лг, , = 1, 2, 3,
1 2 3 - , 2 1 3
а 11 = а22 = а33 = Л + 2Ц, ап = а22 = а22 = Ц..
Замечание 1. Чтобы нумерация схемы с индексом кх отражала схемы, приведенные ниже в разд. 3, необходимо, чтобы сначала индекс , принял все указанные значения, и далее в полученных системах (р = 2, 3) надо изменять индекс
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛУЧЕННОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Исследование полученной конечно-разностной схемы основывается на общем принципе регуляризации из [4], [5].
Пусть йк = {х, = ОА, ..., ,ркр)} - сетка в 0, 0 </„ <Иа, ка = 1Ма, а = 1, 2, ...,р, а ют = ^ = ''т, j = 0, 1, ..., } - сетка на отрезке 0 < г < Т.
Введем пространство Н сеточных функций, заданных на йк и обращающихся
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.