ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1221-1237
УДК 519.634
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА1)
© 2015 г. Д. С. Шапошников
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, механ.-матем. ф-т) e-mail: dmitry.s.shaposhnikov@gmail.com Поступила в редакцию 28.12.2014 г. Переработанный вариант 15.01.2015 г.
В линейном приближении исследуется развитие двумерных возмущений на поверхности безграничной упругой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком идеального газа. Начальные возмущения предполагаются локализованными в ограниченной области пространства. Задача решается с применением асимптотического метода оценки интегралов, зависящих от параметра, — метода перевала. Анализ проведен без каких-либо упрощений дисперсионного уравнения: использовалась неявная зависимость частоты колебаний от волнового вектора. Проведен качественный анализ зависимости усиления возмущений и волновых чисел от групповой скорости при различных определяющих параметрах задачи. Рассмотрен частный вопрос — найдены условия абсолютной неустойчивости пластины. Проведено сравнение с результатами, полученными ранее в приближении малой плотности набегающего потока. Библ. 16. Фиг. 25.
Ключевые слова: развитие возмущений поверхности упругой пластины, абсолютная неустойчивость, устойчивость упругой пластины, метод перевала, дисперсионное уравнение.
Б01: 10.7868/8004446691507011Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование устойчивости пластин и оболочек, обтекаемых газом, вызывает практический интерес из-за возможности возникновения флаттера — нежелательного явления, приводящего к разрушению обтекаемой конструкции вследствие роста амплитуды ее колебаний. Бурный прогресс в исследовании панельного флаттера пластин в середине ХХ века был связан с возникновением "поршневой теории" (см. [1]), дающей простое выражение для давления газа на поверхности пластины при достаточно больших сверхзвуковых скоростях. Первые результаты по данной теории для конечных прямоугольных пластин были получены в [2]. Стоит отметить, что с течением времени уточнялись постановки задач панельного флаттера и совершенствовались методы их исследования, что отражено в [3].
Первое исследование безграничной пластины было проведено сразу по точной теории (см. [4]), так как это можно было сделать аналитически. Наиболее полные результаты по устойчивости безграничных пластин касательно всевозможных конфигураций были получены в [5]. Как было выяснено, в зависимости от параметров задачи обтекание может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В данной работе в линейном приближении будет рассмотрена эволюция с течением времени неустойчивых возмущений пластины, изначально локализованных в пространстве.
Неустойчивость для бесконечно протяженных систем можно классифицировать на абсолютную и конвективную. Впервые такое разделение дал Л.Д. Ландау (см. [6]). Выделение этих типов неустойчивости основано на том, что неустойчивые моды рассматриваются не по отдельности, а целым волновым пакетом. Если с течением времени зона изначально локализованных растущих возмущений сносится потоком таким образом, что в каждой фиксированной точке пространства через конечное время колебания затухают, то говорят, что имеет место конвективная неустойчи-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект "Современная математика и ее приложения", соглашение 14-50-00005).
вость, в противном случае — абсолютная. Безусловно, данное определение связано с системой координат, поэтому считают, что выделена некая лабораторная система координат. Вообще говоря, развитие возмущений можно рассматривать вдоль лучей x/t = U = const, что позволит найти границы области роста возмущений в пространстве (x, t). Тогда вопрос об абсолютной/конвективной неустойчивости сведется к частному случаю при U = 0.
Вопрос о росте возмущений, представляющих собой решение задачи Коши для линеаризованной системы уравнений, вдоль какого-либо направления x/t = U = const сводится к исследованию их представления через интеграл Фурье. Для интегралов такого вида при больших временах может быть получена асимптотика с помощью метода перевала (также метода наискорейшего спуска, см. [7]). Ключевым моментом в применении метода перевала в задачах устойчивости является исследование дисперсионного уравнения D(c, к), дающего связь между частотой ю и волновым вектором к. А именно, требуется найти седловые точки функции со (к, U) = ю(к) — kU, дающие основной вклад в асимптотику интеграла. Если функция ю(к) имеет несколько неустойчивых ветвей, это требуется сделать для каждой из ветвей. Подробнее о методе перевала применительно к рассматриваемой задаче см. разд. 4.
Чаще всего сложность заключается в том, что не все седловые точки дают вклад в асимптотику решения. Для двумерных задач критерий того, что седловая точка определяет асимптотику интеграла, представляющего решение, был впервые дан в [8]. Задача считается двумерной в том смысле, что присутствует только одна компонента волнового вектора. Позднее был предложен еще один альтернативный метод в [9]. Наиболее полный обзор методов и подходов в исследовании задач об абсолютной/конвективной неустойчивости в двумерной постановке был дан в [10]. Там же предлагается метод, позволяющий найти границу между конвективной и абсолютной неустойчивостью для дисперсионных уравнений, сочетающий в себе лучшие черты предшествующих подходов и обладающий высокой степенью автоматизма.
В противовес асимптотическому анализу поведение возмущений можно исследовать, основываясь на подходе, при котором интегралы, представляющие решение, находятся численно (см. [11]). Преимущество этого метода в том, что он позволяет достаточно просто находить решение не только для двумерных, но и для трехмерных задач. Кроме того, с его помощью можно проверить решение, найденное асимптотическими методами. Однако такой метод требует большого количества вычислений, так как подынтегральное выражение является сильноосциллирующей функцией на действительной оси к, причем чем больше значение времени, тем сильней становятся осцилляции.
Вопрос об абсолютной и конвективной неустойчивости упругой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, рассматривался в приближении малых плотностей газа в [12], что позволяло значительно упростить дисперсионное уравнение, получив явную зависимость частоты от волнового числа. Развитие возмущений вдоль лучей x/t = U = const в данной задаче до сих пор не рассматривалось. В данной работе рассматривается общий случай, без упрощений дисперсионного уравнения, когда зависимость частоты от волнового числа неявная.
В [12] в приближении малых плотностей газа было показано, что за абсолютную неустойчивость отвечает одна определенная седловая точка. Ниже в случае конечных плотностей газа выясняется, что за абсолютную неустойчивость отвечает та же седловая точка. Но вместе с тем при определенном значении групповой скорости U происходит смена седловой точки, определяющей асимптотику решения. В работе представлены графики зависимости усиления от групповой скорости, проведено качественное исследование влияния на него параметров задачи. Проведено сравнение со случаем малых плотностей для значений параметров задачи, при которых данное приближение применимо.
Работа построена следующим образом. В разд. 2 представлены постановка задачи, основные предположения и дисперсионное уравнение. В разд. 3 детально описана простая неустойчивость. Разд. 4 посвящен методу нахождения асимптотики решения при x/t = U = const, обсуждаются методы построения линий уровня функции со (k, U) = ю(к) — kU и траекторий седловых точек этой функции на комплексной плоскости к. В разд. 5 для конкретных значений параметров задачи представлена картина линий уровня и ее изменение при различных значениях групповой скорости. Отражено взаимодействие двух седловых точек, попеременно определяющих асимптотику решения. Разд. 6 посвящен виду графиков зависимости показателей усиления от групповой скорости в зависимости от значений параметров задачи. В последнем седьмом разделе рассматривается частный вопрос об абсолютной неустойчивости. В пространстве параметров получены области абсолютной и конвективной неустойчивости.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В линейном приближении рассматривается задача о развитии локализованных возмущений в системе, состоящей из тонкой упругой пластины, обтекаемой с одной стороны сверхзвуковым потоком невязкого газа, с другой стороны от которой поддерживается постоянное давление. Поток считается однородным, вектор скорости в невозмущенном состоянии направлен параллельно пластине. Газ считается совершенным с плотностью р и скоростью звука а. Задача рассматривается в двумерной постановке, система координат хг выбрана так, что ось х лежит в плоскости пластины, а ось г направлена перпендикулярно плоскости пластины.
Предполагается, что поведение пластины описывается классической моделью малых прогибов Кирхгофа—Лява. Пластина подвержена изотропному растяжению и обладает изгибной жесткостью, при этом все характеристики пластины, такие как растягивающая сила N, изгибная жесткость Б, плотность материала рт и ее толщина к, считаются постоянными. Течение газа описывается уравнениями газовой динамики для идеальных сжимаемых сред. Искомыми величинами выступают потенциал возмущения скорости газа ф(х, г, 0 и прогиб пластины ^(х, ?). В качестве граничных условий ставятся условие непротекания на поверхности пластины и требование затухания возмущений на бесконечности. Считается, что начальные возмущения локализованы в том смысле, что для них определено преобразование Фурье: ф(х, г, 0), ^(х, 0) е Х2(К). Тогда решение задачи Коши для линеаризованной системы уравнений может быть получено в виде интеграла Фурье как суперпозиция возмущений типа бегущих волн /(к)Бхр(г(кх — ю(к)?), где интегрирование ведется по к по всей действительной оси. Однако чаще всего вследствие симметрии задачи можно ограничиться интегрированием по действительной полуоси, что применимо и к рассматриваемой задаче.
Диспер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.