научная статья по теме РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ Математика

Текст научной статьи на тему «РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ»

[НБЕРГ

Е

кций Грина в статистических тео-ризационный оператор в однопет-эквивалентность (раздел 3). , [9] доказано, что обе теории КГФ блюдаемых физических величин, [ентность результатов в этих тео-льных частиц и, в частности, при-

В. Тютина за полезные обсужде-пеяований (грант № 05-01-01049) 1Ш-1578.2003.2).

I. № 3. С. 445.

Iherde. Phys. Lett. А. 2003. V. 316.

ТМФ. 2004. Т. 140. № 1. С. 44. «орию калибровочных полей. 2-е изд.

ибровочного взаимодействия элемен-

37.

ingapore: World Scientific, 1996. »ersion Methods in DKP Theory. In: md Strings" dedicated to the memory L Semikhatov, M. Vasiliev, V. Zaikin.

Поступила в редакцию 11.1.2005 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 143, JV« 3 июнь, 2005

4 <<

© 2005 г.

П. О. Казинский*, А. А. Шарапов*

РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ . С СИНГУЛЯРНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Предложен общий ковариантный метод регуляризации реакции излучения в линейных и нелинейных моделях теории поля с сингулярными источниками. Типичными примерами последних являются токи, создаваемые протяженными релятивистскими объектами (бранами). В качестве иллюстрации рассмотрены модели минимального и неминимального взаимодействия бран с калибровочными полями п-форм, скалярным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена структура расходящихся и конечных вкладов в силу реакции излучения и получены соотношения для параметров теории, обеспечивающие взаимное сокращение расходимостей. Доказано утверждение о лагранжевости расходимостей в случае, когда метрика, индуцированная на поверхности браны, невырожденна. Найдены специальные типы (неминимального) взаимодействия, приводящие к локальным и лагранжевым эффективным уравнениям движения браны. Показано, что требование классической перенормируемости накладывает сильные ограничения на вершины самодействия поля, аналогичные условиям квантовой перенормируемости. В частности, установлена неперенормируемость гравитационного самодействия браны коразмерности А; > 2, в то время как при к «С 2 теория оказывается не только перенормируемой, но и конечной.

Ключевые слова: реакция излучения, струны и браны в фоновых полях. 1 " ~

- , « 1. ВВЕДЕНИЕ

Описание эффективной динамики излучающих систем с учетом радиационной отдачи является одной из традиционных задач классической теории поля. Помимо чисто теоретического значения, многие результаты, получаемые в этой области, находят приложения в физике ускорителей, теории дислокаций, астрофизике и космологии.

Для нерелятивистской заряженной частицы проблема реакции излучения впервые была исследована Лоренцем [1]. Релятивистское обобщение уравнения Лоренца было получено Дираком [2]. В настоящее время известны эффективные уравнения движения для точечного заряда на фоне искривленного пространства-времени [3], спиновой частицы [4], массивной частицы в высших измерениях [5], [6], безмассовой заряженной частицы в d = 4 [7], а также массивной частицы, взаимодействующей с фоном линеаризо-

*Томский государственный университет, Томск, Россия. E-mail: kpo@phys.tsu.ru; sharapov@phys.tsu.ru

376

П. О. КАЗИНСКИЙ, А. А. ШАРАПОВ

ванной гравитации [8]. Успехи теории струн стимулировали изучение вопроса о реакции излучения в моделях протяженных релятивистских объектов (бран) [9]—[12]-

Несмотря на разнообразие моделей, все эти работы объединяет то, что рассматриваемые в них поля удовлетворяют линейным уравнениям движения с сингулярным источником (током) в правой части.

Настоящая работа преследует две цели: развитие общей процедуры регуляризации самодействия сингулярных токов и использование этой процедуры для исследования реакции излучения в ряде линейных, а также нелинейных моделей теории поля. В частности, будет дано определение классически перенормируемой теории и рассмотрены примеры перенормируемых и неперенормируемых моделей1До сих пор, насколько нам известно, задача о реакции излучения с учетом самодействия полей в литературе не обсуждалась. Не был получен и полный набор соотношений для параметров взаимодействия бран, обеспечивающий взаимное сокращение расходимостей. Предыдущее рассмотрение [10], [13] ограничивалось анализом ведущих расходимостей, отвечающих за перенормировку параметра натяжения браны. Полное решение задачи о сокращении расходимостей будет дано в этой работе.

Работа построена следующим образом. В разделе 2 обсуждается общая постановка задачи о реакции излучения в линейных моделях теории поля, а также структура запаздывающих функций Грина и сингулярных токов, ассоциированных с бранами. Здесь же устанавливается критерий лагранжевости самодействия. В разделе 3 формулируется ковариантная процедура регуляризации самодействия. Основным результатом этого раздела является вывод асимптотического разложения для силы реакции излучения по параметру регуляризации. Подробности этих вычислений собраны в приложениях А и Б. Следующий раздел посвящен исследованию реакции излучения в ряде конкретных моделей взаимодействия бран с фоновыми полями. Так, в п. 4.1 рассматривается эффективная динамика (п — 1)-браны, минимально связанной с калибровочным полем п-формы. В п. 4.2 изучаются специальные типы неминимального взаимодействия бран, приводящие к локальным и лагранжевым эффективным уравнениям движения. В п. 4.3 выводятся условия сокращения расходимостей для браны, взаимодействующей с динамическим фоном п-форм, скалярным полем, а также полем линеаризованной гравитации. Наконец, раздел 5 посвящен анализу реакции излучения в нелинейных моделях теории поля. В качестве базового примера рассматривается модель скалярного поля с т-точечной вершиной самодействия. Устанавливается общая структура ряда теории возмущений по числу источников, а также условие классической перенормируемости теории. Эта же техника затем используется для анализа гравитационного самодействия бран. ... ... . . ,, ... *•„ „

2. САМОДЕИСТВИЕ В ЛИНЕИНЫХ ТЕОРИЯХ

' В самом общем виде проблему учета самодействия сингулярных источников в классической теории поля можно сформулировать как задачу о самосогласованном решении уравнений движения для двух взаимодействующих полевых систем, определенных на

^ Заметим, что на линейном уровне все локальные классические теории заведомо перенормируемы. '

пов - г :,; . *

ли изучение вопроса о реакции ктов (бран) [9]-[12]. бъеяиняет то, что рассматри-I движения с сингулярным иски процедуры регуляризации процедуры для исследования чых моделей теории поля. В шруемой теории и рассмотре-елей1). До сих пор, насколько »действия полей в литературе юшений для параметров вза-; расходимостей. Предыдущее с расходимостей, отвечающих решение задачи о сокращении

суждается общая постановка поля, а также структура за-иированных с бранами. Здесь ля. В разделе 3 формулирует-Основным результатом этого я силы реакции излучения по й собраны в приложениях А и излучения в ряде конкрет-'ак, в п. 4.1 рассматривается шой с калибровочным полем льного взаимодействия бран, мнениям движения. В п. 4.3 взаимодействующей с дина-м линеаризованной гравита-[ения в нелинейных моделях гея модель скалярного поля ¡щая структура ряда теории оческой перенормируемости 'равитационного самодейст-

: теориях

г'лярных источников в клас-:амосогласованном решении к систем, определенных на

te теории заведомо перенорми-

т

РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 377

пространствах (многообразиях) различной размерности. В случае, когда одна из полевых систем является линейной, соответствующие ей уравнения движения могут быть явно решены методом функций Грина. Подстановка этого решения в остающиеся уравнения дает эффективные уравнения движения для второй подсистемы. Проблема, однако, состоит в том, что, поскольку все функции Грина в локальной теории поля имеют сингулярность в пределе совпадения аргументов, соответствующие эффективные уравнения движения оказываются плохо определенными (содержат бесконечности). Для "изгнания" этих бесконечностей и получения физически осмысленных результатов приходится прибегать к той или иной схеме регуляризации и перенормировки.

Введём два набора полей: ф = {фа} и х = {х1}, принадлежащих линейным функциональным пространствам V и W, соответственно. Предположим, что на V задано симметричное невырожденное скалярное произведение (•, •). Тогда линейной теорией общего вида будем называть модель с действием

^ ,, 8[ф,х] = (ф,Аф) + и(х),ф) + Зо[х]. " (1)

Здесь А - линейный дифференциальный оператор, действующий на пространстве V и являющийся симметричным относительно скалярного произведения (•, •), j(x)~ некоторое (нелинейное) отображение из W в V, a So [х] - функционал действия поля х.

Варьируя действие (1), получаем следующие уравнения движения:

1

Аф = ~р{х),

■>уг ' .1. < ■ Дf. <-' ?! иге

(2)

¿зд /ад (

8х{ \ 6х* ''

Например, в электродинамике Максвелла поля фа суть электромагнитные потенциалы, а. ](х) - плотность тока, создаваемого заряженной частицей. Скалярное произведение задается обычной £2-нормой относительно стандартной меры интегрирования в К3,1.

Общее решение первого из уравнений (2) дается суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Выбирая в качестве последнего решение, построенное по запаздывающей функции Грина й оператора А, можем написать2^

^ -■'•¡у -П. ■.: ■. Г;

"¡Л" , <*ПЩТ Ф= ~2^ЯХ) + Ф0, . 4.... :У, (3)

где фо - общее решение однородного уравнения. Физическая интерпретация такого разбиения состоит в том, что результирующее поле ф является суммой поля, создаваемого током ](х), и свободного поля фо■ Подставляя выражение (3) во второе из уравнений (2), получим эффективные уравнения движения для х: . , ,, ,

¿5о[д] _ /6]{х) 6х* \ ¿х* ''

•дот миг,-

,, (4)

Как видно, в правой части уравнения (4) помимо обычной силы появилось дополнительное слагаемое, квадратичное по току ;'(х). В зависимости от интерпретации это слагаемое называют силой самодействия, силой радиационного трения или реакцией излучения. ,

2) Общее определение запаздывающей функции Грина и условия ее существования можно найти в монографии [14].

378 ^ п. О. КАЗИНСКИЙ,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком