лись неравенства (а — а*)/а < 6] и (р — р*)/р < 62 в случае, если а* < а или р* < р, где а* и р* — фактические риски поставщика и потребителя, соответственно.
В результате моделирования установлено: если заданные риски не очень малы (а, р > 0,05), то практически во всех случаях, для любых значений неизвестных параметров, критерий с параболическими границами требует в среднем меньше наблюдений, чем любой другой из рассматриваемых. Выигрыш наиболее существенен при высоких значениях рисков, а также в случаях, когда значение неизвестного параметра не находится в промежутке Яц — Н\.
При уменьшении рисков критерий с параболическими границами теряет свои оптимальные свойства, труднее становится подбирать поправочные коэффициенты.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При выборе наиболее эффективного критерия необходимо учитывать значения рисков и близость гипотез. При не слишком малых рисках (а, р > 0,05) наиболее эффективен критерий с параболическими границами зон приемки и браковки. При малых рисках (а, р < 0,05) наиболее эффективны критерии Лордена и Павлова. В случае несимметричных рисков предпочтительнее критерий Лордена.
Полученные результаты могут оказаться весьма полезными на практике при организации выборочного контроля качества изделий или испытаний на безотказность, так как позволяют при заданных рисках выбрать наиболее экономичный критерий. Это тем более важно, что ранее критерии по эффективности не сравнивались, а полученные асимптотические формулы представляют лишь теоретический интерес.
ЛИТЕРАТУРА
1. Neyman J., Pearson E.S. On the problem of the most efficient tests of Statistica hypotheses // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1933, Vol. 231, ser. A.
2. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. 325 с.
3. Айвазян С.А. Сравнение оптимальных свойств критериев Неймана-Пирсона и Вальда // Теория вероятностей и ее применения, 1959. Т. IV. Вып.1.
4. Weiss L. Testing one simple hypotheses against another // Annals Mathevmatical Statistics. 1953. Vol. 24. No 2.
5. Anderson T. W. A modification of the sequential probability ratio test to reduce the sample size // Annals Mathematical Statistics/ 1960. Vol. 31. No 1.
6. Kiefer J., Weiss L. Some properties of generalized probability ratio tests // Annals Mathematical Statistics. 1957. Vol. 28. No 1.
7. Айвазян С.А. Различение близких гипотез о виде плотности распределения в схеме обобщенного последовательного критерия // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. X, Вып. 4.
8. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. 408 с.
9. Lorden G. 2-SPRT,s and modified Kiefer-Weiss problem of minimizing an expected sample size // Annals Statistics. 1976. Vol. 4. No 2.
10. Павлов И. В. Последовательная процедура проверки сложных гипотез с применением к задаче Кифера — Вейса // Теория вероятностей и ее применения. 1990. Т. 35. Вып. 2.
11. Гродзенский С.Я. Рационализация контрольных испытаний на надежность // Методы менеджмента качества. 2001. № 1.
Сергей Яковлевич Гродзенский — канд. техн. наук, нач. лаборатории ФГУП НПП "Торий ";
Ш (095) 425-49-04
Вилен Григорьевич Домрачее — лауреат Гос. премии, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой Московского государственного университета леса.
Ш (095) 588-55-34 □
УДК 681.5.033
РЕГУЛИРУЮЩЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ В ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЕ С ДИСКРЕТНЫМИ ВХОДНЫМИ СИГНАЛАМИ1
А.Н. Климов
Обсуждается новый принцип управления, основанный на использовании дискретных модулирующих сигналов в импульсной системе автоматического управления, который обеспечивает астатич-ность системы без применения интегрирующих устройств.
ВВЕДЕНИЕ
Действие любой системы автоматического управления основано на передаче и преобразовании сигналов. В импульсных системах [1] сигналы передаются в виде последовательности импульсов. При этом параметры импульсов — амплитуда, длительность, частота и другие
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 99-01-01067).
модулируются непрерывными [2] входными сигналами, которые определяют задающее воздействие и регулируемый параметр системы.
Один из наиболее важных классов систем управления образуют системы, инвариантные относительно возмущающего воздействия. Эти системы называются астатичными или астатическими. Их функционирование происходит по закону регулирования, который можно описать с помощью интеграла ошибки регулирования. При практической реализации такого функ-
12 _ Sensors & Systems • № 6.2001
ционирования системы, в нее обычно встраивают интегрирующие устройства [1...5].
В данной работе обсуждается новый принцип регулирования в импульсной системе автоматического управления, основанный на использовании дискретных входных сигналов, которые определяют задающее воздействие и регулируемый параметр системы. Это позволяет обеспечить астатичность системы без применения интегрирующих устройств.
ТЕОРЕМА АСТАТИЧНОСТИ
Рассмотрим математическую модель процесса формирования регулирующего воздействия в импульсной системе управления с дискретными входными сигналами.
В такой системе регулируемый параметр (например, температура) предварительно преобразуется в последовательность импульсов, частота которых зависит от координат регулируемого параметра. Дискретные входные сигналы формируются в виде двух последовательностей импульсов, поступающих на входы фазового дискриминатора [6, 7]. Дискриминатором может служить дискретный логический элемент, обладающий способностью запоминать сигнал (например, триггер).
Частота/] (/) импульсов одной из последовательностей имеет постоянное значение и называется задающим воздействием. Значение частоты />(/) импульсов второй последовательности зависит от координат регулируемого параметра и называется регулируемой величиной. Разность частот Л/(/) =/] (/) ~/2(6 называется ошибкой регулирования. Промежуток времени между моментами возникновения импульса сигнала задающего воздействия и импульса сигнала регулируемой величины соответствует длительности импульса регулирующего воздействия2 системы на объект управления и называется разностью фаз 6фи, я = 1, 2, ... Для упрощения описания будем предполагать, что частоты/](/) и/>(/) — постоянны.
Пусть задана пара последовательностей точек I = = ..., 1п, ...} и Г= ..., ...}, такая, что Гп < ^ < < Гп + ,, я = 1, 2, ... Положим 1//, = Тх = Гп + , _ Гп, 1//2 = Т2= — 1'п, я > 1. Рассмотрим пару подпоследовательностей I* и которые получаются из исходной пары удалением точек по следующему правилу: если + ] < ^ и Т2 > Т\, то удаляются точки + ] из £; если 1'п < и Т2 < Т\, то удаляются точки 1'п из После перенумерации элементов подпоследовательностей будем использовать для них те же обозначения, что и для исходных последовательностей. Определим теперь импульсные периодические функции Ч*^/) и Ч^) с периодами Т] и Т2 соответственно:
О, если [0, если ГфГ'
Ъ(*) = \г , " Ч>2(/)= я
С, если / = Гп, \ С, если Г = Гп ,
Функция Ч/1(/) описывает импульсный сигнал, характеризующий задающее воздействие, Ч^) — импульсный сигнал, характеризующий регулируемый параметр. Отрезок времени 1'п\ соответствует дли-
Регулирующее воздействие — это импульсы энергии, которая подается на объект регулирования для устранения ошибки регулирования.
тельности импульса регулирующего воздействия или разности фаз (временному сдвигу) 6ф„(/) между импульсами функций Ч/](/) и Ч*2(?) на интервале [/„, 1п + ]). Область определения функции 6ф„(/) — это замкнутый интервал [/„, t'n\.
Обозначим через Ч^/) функцию, описывающую непрерывный сигнал, который при работе регулятора преобразуется в импульсный сигнал регулирующего воздействия. Для простоты предположим, что Ч*(/) = = const = С.
Теорема. Пусть в замкнутой импульсной системе управления регулирующее воздействие описывается функцией
Ф(/) = бф„(/)Ч'(/).
Тогда эта система инвариантна относительно возмущающего воздействия, которое задается кусочно-постоянной функцией.
Функция Ф(/) описывает математическую модель процесса формирования регулирующего воздействия в импульсной системе управления широтно-импульсно-го типа с дискретным модулирующим сигналом. Анализ математической модели показывает, что система действует по закону регулирования, который выражается через интеграл ошибки регулирования. Следовательно, данная система астатична [5].
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ РЕГУЛИРУЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Проиллюстрируем графически принцип действия исследуемой системы. В математической модели процесса формирования регулирующего воздействия замкнутый интервал [/„, 1'п\ соответствует длительности импульса регулирующего воздействия или разности фаз Дфи, выраженной в радианах: Дфи = 2~ 1пУТ\-
Рис. 1 поясняет принцип формирования длительности (я + 1)-го импульса регулирующего воздействия в разомкнутой системе при условии Т2 = Т\ + вТ\, О < е С 1. В этом случае разность фаз Дфи+1, соответствующую длительности (я + 1)-го импульса регулирующего воздействия, можно выразить следующим обра-
у
зом: Дфи+] = Дф„ + Д фи,
1
где Д2фп = 2п | Af(t)dt — приращение исходной разнос-
К
ти фаз Дфи; Af(t) = const по условию.
Действительно, по определению
Д2ф„=Дф„ + , - Дф„= 2я(/я'+ j - tn+\)/T\ - 2n( fn _ tn)/T\ = = 2n(T2 - T\)jT\ = 2%zT\jT\ = 2m.
В то же время, учитывая, что Af(t) = const =f\ —/2 = = 1/71] — 1/Г2 = (T2 — T])/(T] T2), после интегрирования получим
Д2ф„ = 2nAf(t-+l - fn) = 2n(T2 - TX)T2/(TXT2) = = 2пгТ\/Т\ = 2m.
Из определения Д2фи видно, что приращение разности фаз, соответствующее приращению длительности импульса регулирующего воздействия, зависит от интеграла ошибки регулирования Af(t).
Датчики и Системы • № 6.2001_ 13
Рис. 1. Приращение разности фаз Л2<Ри
Рис. 2. Формирование регулирующего воздействия Ф(7)
Рис. 3. Характер изменения разности фаз Д<р„
На рис. 2 изображена схематически математическая модель процесса формирования регулирующего воздействия в разомкнутой системе при условии 7*2 = Т\ + с Т\, О < с <К 1, 7*1 — кратное с 7*1, а Аф„ таково, что 2п — целое кратное Аф„. В этом случае площади 5„ регулирующих импульсов последовательно возрастают от миним
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.