МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.135: 551
© 2014 г. В. Д. КОТЕЛКИН, Л. И. ЛОБКОВСКИЙ
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ
Рассматриваются примеры регионального моделирования с использованием данных сейсмо-томографии. Проводится анализ постановок региональных задач, обсуждается их некорректный характер и неопределенность результатов, связанная с искусственностью условий, выставляемых на границах региона. Для улучшения моделирования предлагается задавать дополнительные условия регуляризации и совместить нижнюю границу расчетной области с границей между верхней и нижней мантией.
Излагается новый способ регуляризации решений, основанный на использовании геологических данных. Приводятся результаты расчетов мезозойской геодинамики Арктического региона, в которых задано положение зон субдукции и Арктического плюма.
Ключевые слова: термическая конвекция, геодинамика, региональное моделирование, некорректная задача, условия регуляризации, зона субдукции.
В конце ХХ в. благодаря появлению мощных компьютеров и отработке методики быстрых преобразований Фурье сформировался новый метод исследования глубинного строения Земли — сейсмотомография [1, 2]. В последние годы стало развиваться новое направление численной геодинамики: региональное моделирование с использованием данных сейсмотомографии. Поводом для усиления интереса к региональным исследованиям послужило появление детальных объемных данных о строении многих регионов Земли. Например, в [3, 4] проведено моделирование Южно-Калифорнийского, а в [5] — Средиземноморского региона. Ясно, что региональные расчеты по сравнению с глобальным моделированием отличаются более высокой точностью, поэтому они представляют большую ценность для прогнозирования, и число публикаций, посвященных прикладному региональному моделированию, быстро растет.
Анализ появляющихся работ показывает, что из отдельных расчетов уже складывается типичная формулировка региональной задачи и стандартный подход к ее решению. В частности, все упомянутые авторы [3—5] выбирают расчетную область для своих регионов в форме параллелепипеда и проводят вычисления в декартовой системе координат. При этом на всех шести гранях расчетной области задаются граничные условия отсутствия потока вещества и касательных напряжений.
В связи с этим необходимо подчеркнуть, что региональная задача принципиально отличается от задачи глобального моделирования во всей мантии. Формулировка задачи о конвекции в шаровом слое требует задания граничных условий только на внешней поверхности и на границе ядро-мантия, где условия отсутствия касательных напряжений и изотермичности хорошо приближают реальность, а вопросы, связанные с условиями на боковых границах, вообще не возникают ввиду отсутствия последних. Поэтому следует различать глобальное и региональное, а также теоретическое и практическое моделирование. До сих пор региональное моделирование носило академический характер, т.е. проводились исследования абстрактных зон субдукции, гипо-
тетических плюмов [6]. Но практическое моделирование существенно отличается от абстрактных теоретических исследований. Не следует забывать, что в эллиптических задачах, к которым относится геодинамика, решение не может быть локальным, поскольку зависит от всей области. Это значит, что невозможно правильно описать движение в выделенной части мантии, изолированной от полного мантийного объема. Воздействия, которые оказывают на выделяемый регион остальные части мантии, должны передаваться через граничные условия на одной нижней и четырех боковых границах расчетной области. Условия отсутствия возмущений справедливы только на свободной верхней поверхности, а приравнивание нулю возмущений на пяти остальных гранях, которое исключает влияние соседних регионов, это искусственный прием, вынужденный тем, что истинные силы и потоки неизвестны. Такой подход допустим для отвлеченных теоретических исследований, но он не соответствует реальным региональным условиям. На Земле нет региона (прямоугольной формы), на границах которого отсутствуют потоки тепла и массы. Очевидно, что изменение граничных условий ведёт к искажению результата.
Однако если смотреть на получаемое решение с позиций учета неоднородностей внутри расчетной области, то может показаться, что удовлетворение уравнений реальными сейсмотомографическими данными обеспечивает правильный результат. Таким образом, возникает парадокс, и необходимо ответить на принципиальный вопрос: позволяет ли использование реальных данных внутри области компенсировать ошибки в граничных условиях? Согласно теории дифференциальных уравнений решение складывается из однородной и неоднородной частей, причем граничные условия удовлетворяются с помощью однородной части. Поэтому "обнуление" граничных условий эквивалентно отбрасыванию однородного решения. Соответственно использование данных сейсмотомографии позволяет получить только неоднородную часть, а проблема нахождения однородной части и полного решения задачи остается.
Стоит отметить также другие "особенности" нового направления. Ранее важнейшим итогом численного моделирования была информация о глубинном строении мантии, если эту информацию брать из данных сейсмотомографии, то результативность исследования сильно снижается. Кроме распределения сил для аккуратного расчета поля скоростей необходимо также знать распределение вязкости, что сделать по данным сейсмотомографии довольно проблематично. Поэтому целесообразность нового геодинамического направления вообще остается под вопросом. Мы столкнулись с этими проблемами при изучении геодинамики Арктического региона и были вынуждены искать возможные пути их обхода. В этой статье излагается другой подход к региональному моделированию, опирающийся на поверхностную геологическую информацию и сохраняющий традиционный смысл исследования. Но прежде чем реализовать свой подход, представляется полезным систематизировать общие проблемы регионального моделирования и обозначить конструктивные пути их решения.
1. Проблемы регионального моделирования. Некорректные черты термической конвекции. Напомним, что математики корректными по Адамару считают задачи, решение которых существует, единственно и устойчиво. Как известно, уравнения термической конвекции допускают много решений. В частности, в плоском слое свободная конвекция может проходить в форме валов или в форме ячеек [7]. Ячейки могут быть гексагональными или прямоугольными, причем с произвольным отношением сторон, т.е. существует несчетное множество точных решений. В шаровом слое конвекция также может протекать в различной форме, например, тетраэдрической или кубической [8]. Еще большее разнообразие форм конвективных ячеек наблюдается в физических экспериментах [9], где эти ячейки имеют неправильную форму. Поэтому мантийную конвекцию следует относить к категории некорректных задач. Известно также, что при развитии термической конвекции из однородного начального состояния выбор ее результирующей формы предопределяют малые возмущения этого состоя-
ния, что можно трактовать как неустойчивость решения, т.е. еще одно нарушение требований корректной постановки задачи.
Нижняя граница расчетной области. Анализ работ по региональному моделированию показывает, что не уделяется должного внимания выбору положения границ расчетной области. Особенно показательно, что нижнюю границу расчетной области, оказывающую самое значительное влияние на течение, авторы располагают на разной глубине: 1000 [3], 1320 [4], 350 км [5]. В [3—5] постулируется, что нижняя граница непроницаема. Спрашивается, что удерживает поток через нижнюю границу, и как влияет на получаемый результат это искусственное препятствие? Кроме того, возникает вопрос о касательных напряжениях. В [5] справедливо отмечается, что при замене условия отсутствия касательных напряжений на условие прилипания различие проявляется только в тонком слое вблизи нижней поверхности. Однако, как показывают наши расчеты, так происходит, когда прилипание осуществляется к неподвижной нижней границе. Если же граница движется, то ее движение проявляется во всей расчетной области.
Чтобы находить распределение температуры, надо решать начально-краевую задачу, включающую в себя уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия. На нижней границе постулируется либо отсутствие теплового потока [4], либо постоянство температуры. Ясно, что это искусственные условия, задаваемые в силу необходимости. Причем вычислители последствия этого произвола обычно не исследуют, ограничиваясь словами, что используются "мягкие" граничные условия.
Согласно [10—12] на протяжении всей центральной части цикла Вильсона в мантии преобладает раздельная форма конвекции, за исключением эпизодов с аваланчами (лавинообразными провалами тяжелого вещества из верхней мантии в нижнюю). Заметим, что современная история Земли приходится как раз на середину 5-го цикла Вильсона (континенты еще расходятся), и значит минимум на 200 млн. лет в прошлое и будущее в мантии должна преобладать раздельная двухъярусная конвекция. Поэтому в качестве непроницаемой нижней границы лучше всего использовать границу верхней и нижней мантии (она находится на глубине 660 км), на которой температура равна температуре фазового перехода. При таком выборе нижней границы данные сейсмотомографии будут полезны для выявления исключительных случаев с авалан-чами, при прохождении которых нарушается условие непротекания. Начальные условия будут приведены ниже при формализации постановки задачи.
Влияние боковых границ. Другая неотъемлемая проблема регионального моделирования — боковые границы расчетной области. В [5] для исключения негативного влияния боковых границ предлагается несколько раздвинуть их относительно изучаемой области. По аналогии с используемым в теории упругости принципом Сен-Венана логично ожидать, что распределение напряжений на торцах будет проявляться лишь в окрестности самих торцов, однако не следует забывать, что согласно тому же принципу главный вектор и главный момент торцевых сил оказывают влияние по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.