КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 5, с. 421-429
УДК 521.1
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ¿-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
© 2015 г. С. М. Полещиков
Сыктывкарский лесной институт
polsm@syktsu.ru Поступила в редакцию 25.03.2013 г.
Рассматривается регуляризация уравнений движения плоской круговой ограниченной задачи трех тел. Регуляризация выполняется в канонических переменных в подвижной системе координат. В регуляризации использованы две различные Х-матрицы второго порядка. Построенные уравнения имеют полиномиальную структуру. Выполнено численное интегрирование полученной системы методом Рунге—Кутты—Фельберга. Приведены результаты численных экспериментов с параметрами системы Земля—Луна для различных Х-матриц.
БО1: 10.7868/$002342061504007Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Ограниченная задача трех тел заключается в исследовании движения пассивно гравитирую-щей точки М в поле ньютоновского притяжения двух материальных точек М1, М2 с массами соответственно тх, т2, обращающихся по кеплеровым орбитам вокруг их центра масс [1]. Различают плоскую задачу и пространственную. Отсюда происходят названия соответствующих задач. Например, пространственная эллиптическая ограниченная задача трех тел. В настоящей работе рассматривается плоская круговая ограниченная задача трех тел, то есть движение точки М совершается в плоскости, определяемой круговыми орбитами точек М1, М2.
Ограниченная задача трех тел имеет практическое приложение в космической динамике. Достаточно отметить работу [2], в которой подводится некоторый итог применения этой задачи для расчетов траекторий достижения Луны. Отметим также работы [3—5], в которых изучаются периодические орбиты ограниченных задач трех тел. В этих работах приведены обширные списки литературы по данной теме.
В предлагаемой работе рассматривается регуляризация (устранение особенностей) уравнений движения в плоской круговой ограниченной задаче. Как известно [4], особые точки, расположенные в притягивающих центрах М1, М2, могут быть исключены с помощью преобразования независимой переменной. В дополнение к этому преобразованию можно рассмотреть преобразование зависимых переменных — координат и скоростей. В задачах исключения особенностей различают локальную и глобальную регуляризации (начиная с задачи трех тел). При глобальной регу-
ляризации устраняются все особенности. Примерами могут служить глобальная регуляризация Биркгофа в ограниченной задаче трех тел [4], регуляризация задачи двух неподвижных центров
[6], глобальная регуляризация Хегги задачи .Ж-тел
[7]. В качестве примера локальной регуляризации отметим работы [8, 9]. Мы выполним глобальную регуляризацию с помощью преобразования времени и двух Х-преобразований второго порядка, порождаемых обобщенными матрицами Леви— Чивита. Отметим, что подобная регуляризация нами была выполнена в неподвижной системе координат [10]. Здесь рассматривается регуляризация во вращающейся системе координат и дается численное исследование полученных регулярных уравнений. Подробная теория Х-матриц дана в работах [10, 11]. Необходимые сведения по этому вопросу мы приводим в этой статье.
Введем неподвижную систему координат ОХ1Х2 с началом в центре масс точек М1, М2. Пусть X = (Х1 ,Х2)Т — вектор положения точки М с массой т. На эту точку действуют силы притяжения F1, F2 со стороны масс соответственно М1, М2 (рис. 1). На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки М запишется в виде
т -
й2Х
г-
йг*2
тт, ММ, У —-г--^ + У
тт2 ММ2
я2 я,
я2
Я2
(1)
где у — гравитационная постоянная, ^ — физическое время, Я1 = |ММ,|, Я2 = |ММ2| — расстояния до притягивающих масс.
Точки М1, О, М2 лежат на одной прямой. Обозначим через п угловую скорость точек М1, М2. Тогда угол П* — это долгота точки М1. Пусть
М ■^2
х\\\ v Fi
F2 nt* -li
\
^М2 \
Рис. 1. Неподвижная и подвижная системы координат.
d¡ — это расстояние от О до Мх (/ = 1, 2). Координаты точек М1, М2 равны
М1(^собпг*, ^тпг*), М2(-^собпг*, пг*) Введем силовую функцию
ф* = Ф * (t *, хъ х2) = yi m+m
где
Яг = ЛХ - СОБп* ) + (Х2 - ¿^Шп* ) ,
Я2 = 7(X + с/2СОБпг*)2 + (Х2 + ¿^тпГ*)2.
Тогда уравнение (1) после сокращения на т можно записать в виде
d2X = ЭФ* ЭФ* = (ЭФ* ЭФ T dt* 2 = (X ' ЭХ = V (X1 ' ЭХ2
(2)
d u ЭФ ЭФ (ЭФ ЭФ
dt2 (u' Эu V(Ыу Эы/
(3)
где Ф = Ф(?' u1, u2) = — + — — силовая функция,
Pi Р2 —!, —2 отношения масс:
—i =
m,
d
2 m2
2 —2 = 2
di
т1 + т2 I т1 + т2 I
р1 = *!(и1 - ц2собг)2 + (и2 - г)2,
р2 = ,]( и1 + ^соб г)2 + ( и2 + ц^т г)2
— расстояния до притягивающих центров в новых переменных.
2. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Для дальнейших преобразований запишем уравнения (3) в канонической форме
¿Н = дЖ = у ¿У = _дЖ = дФ (4)
¿г ду ' ¿г ди ди'
где Ж = у2/2 — Ф — функция Гамильтона. Выполним переход к новым координатам % = = (^1, £,2)т, п = (П1, П2)Г так, чтобы новая функция Гамильтона не зависела явно от времени. Возьмем производящую функцию вида
Щ(г, у, %) = ~гТБ%, (5)
где Б — матрица равномерного вращения с единичной угловой скоростью
£ = £( г) =
( cos t - sin t Л
В уравнении (2) перейдем к безразмерным величинам
г = пг*, щ = Х/1, р 1 = я/1, I = 1,2,
где I = d1 + d2 — расстояние между М1, М2. Для производных получаем
¿X : йи: . . й2 X : , 2.. —' = I • п—' = I • пи, -' = I • п и,
йг* йг ¿г*2
где точкой над символом обозначена производная по безразмерному времени
Подставим производные и безразмерные величины в уравнения (2). Вводя вектор и = (иь и2)т и используя третий закон Кеплера, приходим к уравнению.
V sin t cos t у
Согласно теории канонических преобразований имеем
u = - (W = s§, n = JW = sTv, (v Э§
Ж = Ж + ^ = Ж - nTI%, t
где
I =
(о -1л 1 о
Выразим гамильтониан Ж через новые переменные. Имеем и2 = %2, V2 = п2,
Р1 = л/(^1 - И2)2 + = |% - ,
Р2 = 7(^1 + И2)2 + = |% - ,
где %1 = (ц2, 0)т, %2 = (—0)т — векторы положения точек М1 и М2 соответственно во вращающейся системе координат.
Теперь у силовой функции явная зависимость где аргументы х, у гамильтониана Н это четырехмерные векторы
от t исчезает
Ф(«1, t) =
И1
+
И,
= Ф (^2 )•
1% - %1 1% - %21 Новый гамильтониан принимает вид
Ж = 1-П2 - Ф(^) - ПТ1%.
Уравнения движения в новых переменных %, п будут
X — (Xi, ..х4) —
' Xi л
X2
V У
, У — (Уь •■■У4) —
' У1 ^ У 2
V У
Порядок соответствующей канонической системы
dX — дН dy — _ дН . — 1 2
dt
5y/ dt дх/
(10)
£ — ддЖ — _ j£ • — _ ддЖ — ддФ _ j
или подробнее в координатной форме
dk — п + k dk, — п k — п1 + S2, — п2 - S1,
(6)
равен восьми.
В развернутой форме уравнения системы (10) имеют вид
dX dt
dt 1 2 dt
dn_1 — _ и 1 ( k 1 - и 2 ) _ и 2 ( k 1 + ё) dt
! — У1 + У 2 - j(X1 + £1), i — 1, 2,
dy1 И1 т( ч -77 — --^73X1 - j(У1 + У2),
dt X 3
3
Р1
3
P2
+ П2,
(7)
djh dt
^2 И2^2
dji dt
И2
X,
(11)
(12)
x, .
P1
3
Pi
П1.
Так как гамильтониан Ж не зависит явно от времени t, то Ж = const — первый интеграл. Этот интеграл тождественен интегралу Якоби [4].
3. НОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Обозначим через £0, п 0 начальные значения переменных £, п в момент времени t = 0.
Для Xi, У1 возьмем следующие начальные значения
0 е 0 1 0 1 "> X — £ - £i, У° — ,П , г — 1 2.
00
(13)
гг и и
Тогда, очевидно, х,, у, переходят при помощи (8), (9) в %0, п 0.
Из (11) с учетом принятых начальных условий (13) находим первый интеграл системы (10) По аналогии с работой [12] рассмотрим новые в вект°рн°й форме xl + %1 = ^ + %2. Это два ска-переменные, обращающиеся в нуль при соударе- лярных интеграла.
нии точки М с точками М1, М2,
Xi — £ - Xi — (хП, Xi2)T, i — 1 2.
(8)
Поскольку мы сохраняем канонический вид уравнений движения, то переменным х,- должно соответствовать такое же число сопряженных импульсов у,, которые введем по формуле
Покажем теперь, что решения системы (6) могут быть получены из решений системы (10) или, что тоже самое, из (11) и (12). Дифференцируя (8), находим
• • • (11) к 1 ) (8.9) ге 5Ж
% = 5х,. + %, = У, + У 2 - /(х1 + %1) = П- Д = -Г" .
дП
Точно так же из (9) имеем
п — У1 + У2, У;- — (Уи, Ун) ,i — 1 2.
(9)
(12)
(8.9)
При таком подходе число степеней свободы рассматриваемой задачи увеличивается. Поэтому необходимо проверить, что решения новой канонической системы переходят при помощи преобразований (8), (9) в решения исходной системы (6).
Образуем новый гамильтониан
Н = Н(х, у) = Ж(%(х), п(У)) =
Л — y1 + y2 — - i Xi - j(У1 + У,) —
i — 1X
-Z;
Hi
-з (£ - £i) - jn — -ддЖ.
— i -г+уТУ, - i й - (У1 + У2) TJ(X1 + £1),
i — 1
i — 1'
i=1l£ - £i Что и требовалось показать.
4. ПРОЦЕДУРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Правая часть уравнений (12) содержит особенности, порождаемые притягивающими точ-
2
2
ками М1, М2. Для устранения этих особенностей выполним регуляризацию. Сначала применим однородный формализм и введем новое время. Затем воспользуемся ¿-преобразованиями [10].
В соответствии с этой последовательностью операций рассмотрим сначала систему
¿х.
¿х,
= дНа, ¿у = _д_Иа, ¿г ду0' ¿г дх0'
, дНа ¿У, _ дНс
(14)
¿г ду,' ¿г дх,' где На = Н(х, у) + у0. Поскольку
, = 1, 2,
Н
¿г
2
^хс + д£у. + £ (х,^ + у т Н (= 0,
дхо дуо ^ , = 1
дх, ' ду-
то получаем, что На — интеграл системы (14). При выборе в начальный момент для х0, у0 значений х0(0) = 0, у0(0) = —Н(х(0), у(0)) переменная х0 совпадает с I и интеграл На принимает нулевое значение, независимо от начальных значений для других переменных х, у. Кроме того, четыре последних уравнения системы (14) совпадают с уравнениями системы (10).
Рассмотрим временное преобразование dt = vdт и систему
днъ
¿Хо
х 0
_= дНъ ¿У
¿т ду0' dт
¿х = днъ ¿у, = _ дНъ , = 1 2
¿т у, ¿т х,
(15)
где V = v(x), Иь = Нь(х, у0, у) = vНa = v(Н+У0). Начальные значения для переменных х0, х, у0, у систем (14) и (15) принимаются одинаковыми
х,(0) = х0, у,(0) = у0, Хо(о) = 0, Уо (о) = -Н(х0, у0),
(16)
где ■ = 1, 2. Тогда решения системы (14) получаются из соответствующих решений системы (15). Введем векторы q¡■ = (#(1, #;2)т, ■ = 1, 2 и рассмотрим координатное преобразование
Хо = Яо, Х1 = ¿1(41)41, Х2 = ¿2(42)42,
(17)
определяемое двумя ¿-матрица
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.