научная статья по теме РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ В ЛОКАЛЬНОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Астрономия

Текст научной статьи на тему «РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ В ЛОКАЛЬНОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 2, с. 121-130

УДК 521.14

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ В ЛОКАЛЬНОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ © 2015 г. М. С. Петровская, А. Н. Вершков

Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, Россия e-mail: vershkov@gao.spb.ru; avershkov@mail.ru Поступила в редакцию 06.03.2014 г.

Представлены результаты дальнейшего развития авторами теории моделирования гравитационного поля Земли рядами по эллипсоидальным гармоникам, которые лучше аппроксимируют потенциал тяготения Земли по сравнению с традиционными рядами сферических гармоник. В предшествующем исследовании были построены новые разложения по эллипсоидальным гармоникам для гравитационного потенциала и его производных. Они зависят от гипергеометрических рядов Гаусса, которые имеют более высокую скорость сходимости по сравнению с использованными ранее рядами других авторов. В настоящей работе проведено дальнейшее улучшение сходимости гипергеометрических рядов и на основе полученных результатов построено выражение для градиента потенциала Земли на поверхности эллипсоида относимости в локальной северо-ориентированной эллипсоидальной системе координат. Это выражение не имеет аналитических особенностей, в отличие от ранее известных разложений, которые нельзя использовать в полярных областях на поверхности Земли и во внешнем пространстве. Новое выражение для градиента потенциала может быть применено для построения глобальных моделей гравитационного поля Земли, учитывающих данные измерений в полярных областях.

Ключевые слова: геопотенциал, гравитационное поле Земли, эллипсоидальные гармоники, производные гравитационного потенциала, гипергеометрические ряды Гаусса, функции Лежандра второго рода.

DOI: 10.7868/S0320930X15010065

ВВЕДЕНИЕ

Фигура Земли лучше аппроксимируется сжатым эллипсоидом вращения, охватывающим Землю (эллипсоидом относимости), чем внешней сферой (сферой относимости). Поэтому представление гравитационного потенциала Земли в виде ряда по эллипсоидальным гармоникам позволяет более детально учитывать топографические особенности земной поверхности, чем ряд по сферическим гармоникам.

Фундаментальными константами гравитационного поля являются стоксовы постоянные, представляющие собой коэффициенты ряда сферических гармоник для потенциала на поверхности сферы относимости, объемлющей Землю. При определении стоксовых постоянных в качестве основных данных используются измерения силы тяжести на поверхности Земли. При этом, с учетом вышесказанного, более целесообразным является первоначальное определение коэффициентов ряда по эллипсоидальным гармоникам на поверхности эллипсоида относимости, а затем вычисление по ним стоксовых постоянных на ос-

нове известных соотношений между этими двумя видами коэффициентов.

В работах авторов (Petrovskaya, Vershkov, 2000) и (Петровская, Вершков, 2013), а также в настоящем исследовании, построены новые разложения по эллипсоидальным гармоникам для гравитационного потенциала и его производных, которые имеют ряд преимуществ по сравнению с известными ранее разложениями. Для краткости дальнейшего цитирования обозначим вышеупомянутые работы как ПВ2000 и ПВ2013.

Прежде всего, в соответствии со строгой теорией рядов по эллипсоидальным гармоникам, изложенной в монографиях (Гобсон, 1952) и (Hotine, 1969), в качестве эллипсоида относимости, на котором строятся такие ряды, следует выбирать внешний эллипсоид вращения. В ПВ2000, ПВ2013 и настоящей работе выбирается именно такой эллипсоид, охватывающий Землю. Традиционно за эллипсоид относимости принимается нормальный (уровенный) эллипсоид, поверхность которого является поверхностью равного потенциала, близкой к поверхности Земли (Шим-

бирев, 1975). Этот эллипсоид частично проходит под поверхностью Земли. Так как внутренняя структура Земли известна лишь приближенно, то редукция на него наземных данных о гравитационном поле осуществляется с помощью приближенной процедуры. Внешний эллипсоид относимости, использованный авторами в ПВ2000 и ПВ2013, не имеет этого недостатка. В то же время он очень близок к нормальному эллипсоиду и является софокус-ным по отношению к нему.

Второе преимущество новых рядов по эллипсоидальным гармоникам для потенциала и его производных связано со свойствами гипергеометрических рядов Гаусса в функциях Лежандра второго рода, входящих в эти ряды. Гипергеометрические ряды, построенные в ПВ2000 и ПВ2013, имеют более высокую скорость сходимости по сравнению с использовавшимися ранее рядами других авторов. В настоящей работе проведено дальнейшее улучшение сходимости гипергеометрических рядов в выражении для производной от гравитационного потенциала.

Важную роль при построении моделей гравитационного поля играет величина градиента потенциала Земли. Этот градиент рассматривается в локальной (отнесенной к текущей точке Р на поверхности внешнего эллипсоида) северо-ориен-тированной эллипсоидальной системе координат х, у, г (Коор, 1993). В этой системе ось г направлена вдоль нормали к поверхности эллипсоида в точке Р, ось х направлена к северу, а ось у — к западу, что соответствует правосторонней системе координат. При этом компонента градиента потенциала вдоль оси у имеет сингулярности на полюсах Земли, а компонента вдоль оси х зависит не только от функций Лежандра первого рода, но и от их производных.

В настоящей работе выведены новые выражения для компонент градиента потенциала на поверхности эллипсоида относимости. Они основаны на построенных авторами новых разложениях для потенциала и его производной, в которых устранены вышеупомянутые недостатки существующих формул. В частности, новые выражения, в отличие от прежних, можно использовать в полярных областях.

Построены карты для полярных областей эллипсоида относимости, представляющие компоненту градиента потенциала, направленную вдоль оси у. Приведена также карта, демонстрирующая величину градиента потенциала на всей поверхности этого эллипсоида.

УСТРАНЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ

В КОМПОНЕНТАХ СТАНДАРТНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ПОТЕНЦИАЛА

Рассматривается возмущающий гравитационный потенциал Земли Т = V — и, где Vи ипред-ставляют собой действительный и нормальный потенциалы (Шимбирев, 1975).

Потенциал Т раскладывается в ряд по эллипсоидальным гармоникам

N n S I I

г <и,5Д) = Ш £

a S

n=2 m=-n^>n,\m

(")

\Elre

^C'n,mYn,m<^,'^), (1)

(!) "

где кЫ — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли, а ^ ^ (и) — функции Лежандра второго рода, нормализованные Jekeli (1988). Для краткости будем называть последние функциями Jekeli. Через и обозначена малая полуось одного из семейств внешних эллипсоидов вращения, софокусных эллипсоиду относимости, охватывающего Землю. На эллипсоиде относимости и = Ь, где Ь — малая полуось этого эллипсоида.

В ряде (1) эллипсоидальные гармоники имеют вид

Y„m(5,k) = Р„И (cos 5ШД cos mk, m > 0,

Qm<k) =

(2)

sin Iml k, m < 0,

где Рпц (cos 8) — полностью нормированные функции Лежандра первого рода. Через 8 и X обозначены дополнение редуцированной широты в и долгота.

Через a обозначена большая полуось эллипсоида относимости, b = aV 1 - e2, e — его эксцентриситет, E = ae = const — общий линейный эксцентриситет внешнего эллипсоида относимости и нормального эллипсоида.

На рис. 1 представлена прямоугольная геоцентрическая система координат X, Y, Z, эллипсоидальные координаты и, в, X, 8 и локальная севе-ро-ориентированная эллипсоидальная система координат х, y, z.

Sn

m

(E)=

' Е2Л

1 + E2,

v и у

X F

n+\m+1 n+\m

m 2 ((

\u.

h 2

1+1

-;n + 2; г

где F — это гипергеометрический ряд Гаусса, в котором

г = --

2

(4)

(5)

Общий вид гипергеометрического ряда

'Mr. z) = Î ^

pi® Ay) p

где (a)p — символы Похгаммера

(a)p = а(а +1)...(а + p -1). (6)

На поверхности эллипсоида относимости ряд (1) принимает следующую форму

T(Ь,5Д) = kM(8Д). a

N

(7)

n=2 m=-n

Обозначим производные по и, 8, X от выражения (1) для Тчерез Тю Т8, Тх.

Стандартные выражения для компонент градиента потенциала Тг, Тх, Ту, приведенные в монографии (Коор, 1993, с. 31, 185-187):

ггГ _ 0 гр

T _ L1"'

Tx = -1T, x L

1

Sj

Ty = --

& sin S

-T,

Ъ

где

L = V u2 + E2 cos2 5, Э = 4u2 + E2.

(8) (9) (10)

(11)

Из (7), (2) и (9)—(11) получаем следующие выражения на поверхности эллипсоида относи-мости

kM

Tx\u-b =--г(1 - e sin О) x

a

1 N n

иг.A,. Jicos о,

' n,m IC, Vm (Д

n-2 m--n

2Y -у Ce P m (cOs О) / do

(12)

kM^Sr^e Pn,\m(cOs 8)

Ty\u=b = 2

a n

n=2 m=-i

sin 8

Q-Ж

(13)

m Ф 0.

Северный полюс Z

Экватор

Рис. 1. Локальная северо-ориентированная эллипсоидальная система координат.

Функции Jekeli SnJ| Н| имеют вид

Формулы (12) и (13) преобразуем таким образом, чтобы устранить эти недостатки. Для таких преобразований используем выражения (Z.1.44) и (Z.1.41) из работы (Ilk, 1983):

dPn

dS

и _

_ 2 (п + H) ( - N +1) Pn,\m-1 - 2 Pn\m+1, m ф 0,

dP,

n,0

dS

- Pn,b

(14)

(15)

m

. - РпЫ =1 (п - Н + 1(п - Н + 2) Рп+1,Ы- +

яп 8 11 2 11 (16)

+ 2 Рп+1 Н+1, Н ф 0В (14)—(16) переходим к полностью нормированным функциям Лежандра и затем подставляем преобразованные выражения в (12) и (13).

В результате, получаем разложения

Выражение (13), зависящее от присоединенных функций Лежандра первого рода Рпц (cos 8), содержит сингулярный множитель sin-15, который обращается в бесконечность на полюсах Земли. Выражение (12) не содержит этого множителя, но зависит от производных от функций Лежандра.

г i kM (л 2 . 2 s

Tl=ь =--Т i1 - e sin S)

a

N n

X XSCne,mg«,|m|(8)Q„(^),

n=2m=-n N n

1

2 X

(17)

Ty\u-b = kMЕЕ^и^и(S)Q-m(^ m Ф0, (18)

i—2m—-n

2

(19)

где

(8) = V1 + ¿и ,1(1- ¿т ,о)а п\ИРП\

и -1(со8 8)

- V1 + ¿и,оап,-и+1(со8 е)

^и(8) = ^/l+dNдPn,НPn+l>н -1(соэ 8) +

+ Рп, -ирп+ци+1(со§8). Через dk, 1 обозначен символ Кронекера, озна чающий, что dk, 1 = 1 для к = I и dk ^ = 0 для к Ф I. Две численные константы в (19) имеют вид

ап>±|и = (п ± N)( + N + 1), 0 < < п,

2 _

ß»,±i н=2i2n+3^(n т И+1)(n т И+2)

1 < mi < n,

n = 2,3,..., N.

(20)

m

( ! ) -

н ( | ) = 2n+2 (1 +V1-? )"

X F(-|m\ +1,И + 2

(21)

d о

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком