Письма в ЖЭТФ, том 92, вып. 8, с. 605-620
© 2010 г. 25 октября
ПО ИТОГАМ ПРОЕКТОВ РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Проект РФФИ # 07-02-00294а
Регулярное и стохастическое движение диссипативных
оптических солитонов
Н. Н. Розанов1^, Н. А. Веретенов, Л. А. Нестеров, С. В. Федоров, А. Н. Шацев ФГУП НПК "Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова", 199034 Санкт-Петербург, Россия
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 197101
Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 2 сентября 2010 г.
Представлен обзор исследований движения диссипативных пространственных оптических солитонов и их комплексов в широкоапертурных нелинейнооптических (с когерентным поддерживающим излучением) и лазерных (с некогерентной накачкой) системах. Важной характеристикой диссипативных солитонов служит топология потоков энергии, которая определяет внутреннюю структуру одиночных солитонов и позволяет четко разделять случаи их слабого и сильного взаимодействия друг с другом. Показано, что характер регулярного движения диссипативных солитонных структур в однородной системе определяется симметрией поперечных распределений интенсивности и потока энергии, причем асимметричные структуры движутся криволинейно. Этот вывод справедлив и для комплексов трехмерных диссипативных оптических солитонов - "лазерных пуль". Предельные возможности локализации солитонов диктуются квантовыми шумами. Соответствующее броуновское движение центра диссипативного оптического солитона характеризуется существенно более низким уровнем статистической дисперсии координат его центра и скорости, чем в случае консервативных солитонов.
1. Введение. Терминология, схемы и модели. Диссипативные оптические солитоны (ДОС, или автосолитоны) являются устойчивыми структурами света, локализованными вследствие баланса притока и оттока энергии в нелинейной среде или системе. Неоптические автосолитоны наблюдались в 1831 г. М. Фарадеем [1] в слое порошка, помещенного на колеблющейся платформе, а затем активно изучались в различных физических, химических и биологических системах [2]. В последнее время, по нашему мнению, наиболее яркие результаты по диссипативным солитонам получены в области оптики и лазерной физики [3]. Это связано, во-первых, с относительной простотой нелинейнооптических и лазерных схем и с доступностью достижения в них значительной нелинейности. Во-вторых, повышенная устойчивость ДОС и их мобильность позволяют не только записывать с их помощью информацию, но и обрабатывать ее, что делает эти объекты привлекательными для приложений.
1'е-таП: nrosanoveyahoo.com
В определенном смысле рассматриваемые ДОС являются простейшими возбуждениями комплексного диссипативного (неконсервативного) нелинейного поля, описываемого управляющим уравнением типа обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау (см. ниже уравнение (1)). Если сопоставить солитонам "частицы", то следует определить свойства этих частиц. Для ДОС эти свойства оказываются необычными. Прежде всего одиночные ДОС оказываются "калиброванными" частицами - спектр их основных параметров (например, характерной ширины) дискретен, а в результате взаимодействия нескольких ДОС формируются их устойчивые комплексы с дискретным набором расстояний между составляющими солито-нами ("солитонные молекулы") [4,5]. Далее, ДОС как частицы не элементарны, они обладают внутренней структурой, определяемой топологией потоков энергии [6]. Знание этой топологии позволяет четко разделять случаи слабого и сильного взаимодействий ДОС друг с другом [6]. Ниже мы поясним эти утверждения, но основное внимание уделим "механике" ДОС. Мы выявим связь характера движения
солитонного комплекса, которое оказывается, в том числе, и криволинейным, с его симметрией. Кроме того, мы кратко обсудим квантовые свойства ДОС, включая его броуновское движение вследствие вакуумных флуктуаций.
Хотя в настоящее время известны разнообразные схемы, в которых существуют ДОС [3,5,7], мы ограничимся здесь, главным образом, двумя широко-апертурными резонаторными схемами: нелинейным интерферометром, поддерживаемым внешним когерентным излучением (рис.1а, ДОС обнаружены в рас-
Pumn
Pump
Рис.1. Резонаторные схемы. М - зеркала, NLM - нелинейная среда (включает усиление для (Ь)). Интерферометр с входным когерентным сигналом Input (а) и лазер с насыщающимся поглощением (некогерентная накачка Pump, (b); г - продольная и х - поперечная координаты
четах [8]) и лазером с насыщающимся поглощением (рис.lb, ДОС предсказаны в [9]). Пространственно-временная динамика поля в этих схемах описываются единым уравнением для огибающей электрической напряженности поля, усредненной в продольном направлении вдоль оси резонатора-интерферометра г (приближение среднего поля [10, 11]):
ÖE/dt =(i + d)A±E + Ef(\E\2) + Ein. (1)
Здесь t - время, нормированное на время жизни фотона в пустом резонаторе tc, Äj_ = д2/дх2 + д2/ду2 -поперечный оператор Лапласа с безразмерными поперечными координатами rj_ = (х,у), нормированными на ширину зоны Френеля, d - эффективный коэффициент диффузии, который описывает угловую селективность резонатора и предполагается малым (0 < d ■С 1), Е{п амплитуда поддерживающего когерентного излучения. Нелинейная функция /(/)
интенсивности
излучения I = \Е\
описывает не-
линейность среды и линейное поглощение (потери). Нелинейность безынерционна, так как времена релаксации среды считаются малыми по сравнению со временем жизни фотона 1С. Поляризация излучения фиксирована (для определенности линейная).
Для интерферометра угловая селективность резонатора и среды несущественна (поскольку имеется определенное направление распространения поддерживающего излучения), а нелинейность среды в простейшем случае керровская. Тогда в безразмерном управляющем уравнении (1)
d= 0, Д|-Е|2) = -1 ^i6 + i\E\2.
(2)
Здесь 9 - безразмерная расстройка между частотами внешнего излучения и продольной моды резонатора. В рассматриваемой лазерной схеме внешнее когерентное излучение отсутствует, а нелинейность при малых частотных расстройках отвечает насыщению усиления и поглощения:
Еы = 0, /(|£|2) = ^1
9о
а0
1+\Е\2 1 + ЦЕ\2
(3)
где до и ао - вещественные и положительные коэффициенты ненасыщенного (линейного) усиления и поглощения, а параметр Ь - отношение интенсивностей насыщения усиления и поглощения. Нерезонансные потери нормированы на единицу за счет масштаба времени. При небольших интенсивностях функция }{\Е\2) может быть разложена в ряд с сохранением как минимум квадратичных по интенсивности членов, но мы не будем прибегать к такому упрощению, которое может приводить к нефизическим ситуациям. В идеальных условиях схема неограниченна и однородна в поперечных направлениях. Поэтому обе схемы инвариантны по отношению к сдвигам поперечных координат и сдвигу времени. Основное различие между схемами (а) и (Ь) рис.1 заключается в том, что вторая из них инвариантна и к сдвигу фазы, тогда как в первой частота и фаза поля внутри резонатора определяются поддерживающим когерентным излучением. Кроме того, в первой схеме внешний сигнал создает однородный по поперечным координатам фон, так как (1) имеет однородные стационарные решения:
Е = ЕЬ = const, Ebf(\Eb\2) = ^Ein.
(4)
Будем считать, что имеется по крайней мере одно устойчивое к малым возмущениям однородное распределение (хотя ДОС в интерферометре существуют и в отсутствие устойчивости однородных распределений [12]). Во второй схеме такой фон обладает нулевой амплитудой (безгенерационный режим, Еь = 0), и он устойчив при условии Ие /(0) < 0 (далее считаем это условие выполненным).
2. Энергетические соотношения и характеристики движения. Локализованные структуры в
z
A
2-
3F
A
2-
1 -
A = |A(r)|
ф = Фг(г) + Шф
-10
Energy flows
8 12 16
12
-10
10
Рис.2. Радиальные профили амплитуды (левый ряд), радиальной фазы (средний ряд) и поперечные потоки энергии излучения (правый ряд, стрелки указывают направление поперечного вектора Пойнтинга) для фундаментального (т = 0, верхний ряд) и вихревого (т = 1, нижний ряд) лазерных ДОС [6]
3
1
0
r
0
0
4
8
0
4
r
r
x
лазерных схемах обладают конечной мощностью излучения в резонаторе W(t) = / |i?(rj_, i)|2<irj_. Для них из (1) (при Е{П = 0) вытекает соотношение [13]
= 1 \E\2Re[f(E)2)]dr±^d I\V±E\2dr±. (5)
Отсюда, с учетом неравенства d > 0, следует, что для существования стационарных локализованных структур (для которых левая часть (5) обращается в нуль) необходимо, чтобы Re / меняла знак в соответствующем структуре диапазоне интенсивностей. Это означает, что локализованные структуры в лазерной схеме возможны лишь при условии бистабильности однородных распределений. Заметим, что консервативные системы отвечают вырожденному случаю Re / = 0.
Для характеризации движения структур в общем случае введем двумерный вектор координат их центра и его скорость:
Rc = Jr±\E^Eb\2dr±/ J\E^Eb\2dr
V --К
Ус " dt с'
(6)
Для диссипативных структур определяющее значение имеют потоки энергии в среде или системе, см. [6]. Представим комплексную огибающую в виде Е = Аехр(гФ), где А и Ф~ вещественные амплитуда
и фаза поля. Тогда в используемом параксиальном приближении поперечный поток энергии излучения (вектор Пойнтинга) имеет вид (хотя энергия переносится и средой, но для рассматриваемого безынерционного отклика среды это обстоятельство не столь существенно)
S± = А2 У±Ф = Im(E*V±E).
(7)
Линии тока энергии, касательная к которым в каждый момент времени параллельна поперечному вектору Пойнтинга определяются уравнениями
dx Q dy
— = Ьх(х,у), — = by(x,y),
(8)
где I - длина кривой линии тока, момент времени £ в (7) и (8) фиксирован. Заметим, что для лазерных схем, в отличие от интерферометрических, характерны структуры с дислокациями волнового фронта, в которых поле обращается в нуль (Е = 0 ), а при обходе их по замкнутому контуру фаза меняется на величину 5Ф = 2тгт, где т. = 0, ±1, ±2, ... , - топологический заряд. В самой дислокации фаза поля не определена, но поперечный вектор Пойнтинга сохраняет смысл, обращаясь в нуль.
Введем теп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.