МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 530
© 2014 г. И.Н. БОРОДИН, Ю.В. ПЕТРОВ
РЕЛАКСАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Предложен вариант релаксационной модели пластичности металлов построенный на основе интегрального критерия пластичности с параметром характерного времени релаксации. С использованием модели Максвелла для очень вязкой жидкости, на основе дислокационных представлений о пластичности металлов показано, что этот параметр характерного времени можно интерпретировать в терминах диссипации и накопления энергии при движении дислокаций. Совпадение значений характерных времен пластической релаксации полученных в разных подходах при описании деформации нитевидных кристаллов позволяет сделать вывод о том, что характерное время является основной характеристикой, выражающей динамические свойства материала.
Ключевые слова: релаксационная модель пластичности, характерное время пластической релаксации, зуб текучести, нитевидные кристаллы, предел текучести, дислокации.
1. Введение. Ряд случаев неожиданного механического поведения металлов в условиях деформации можно легко объяснить, если учесть их динамические особенности. Одним из известных парадоксов такого рода является явление зуба текучести в нитевидных кристаллах металлов [1, 2], когда при квазистатических скоростях нагружения 10-4—10-2 с-1 достигаемые в материале напряжения в десятки раз превышают значение его квазистатического предела текучести [3]. Объяснение этого эффекта можно дать в терминах "дислокационного голодания" [4] материала, когда подвижных дефектов не хватает для обеспечения нужной скорости пластической деформации и упругие напряжения продолжают расти. С точки зрения механики это является выражением того, что данный материал при таких "квазистатических" скоростях деформации деформируется уже в динамическом режиме. То есть для материала с такими свойствами эти скорости уже являются достаточно большими, чтобы породить динамический режим деформации, который нельзя описывать из квазистатических представлений о наличии у материала критических напряжений течения. Для описания динамических характеристик материала необходимо явно учитывать, что способность материала к пластической релаксации возникающих в нем напряжений ограничена и для развития релаксационных процессов внутри материала требуется определенное время. Это может быть сделано введением дополнительной динамической характеристики самого материала — параметра характерного времени пластической релаксации. Очевидно, что он не должен зависеть от характеристик процесса деформации, но выражать механические свойства самого материала в широком диапазоне скоростей нагружения.
2. Вариант релаксационной модели пластичности на основе интегрального критерия текучести. Для тела Фойгта зависимость напряжения от деформации имеет вид
ст = 2 + це (2.1)
что можно также переписать в виде Б + 2Gs/ц = о/ц . Предполагается, что помимо упругих напряжений в динамическом режиме деформации существует некоторая вязкая добавка пропорциональная скорости деформации. Умножив обе части уравнения (2.1) на 2Gfexp(2G/p.) получаем:
2G 1(б-«Р (J = exp (- -) (2.2)
где введено характерное время т = ц/2& Интегрирование (2.2) по времени дает
t
2G б = Т jo(s) exp (-—) ds (2.3)
о
Левая часть этого уравнения представляет собой упругое напряжение для квазистатики, если положить в (2.1) Б = 0. Уравнение (2.3) можно интерпретировать в рамках концепции затухающей памяти ("fading memory") [5]: нагрузка, действовавшая ранее в моменты времени s < t вносит в текущее состояние дефектной структуры значительно меньший вклад, по сравнению с той, которая действовала недавно. Текущее значение напряжения следует заменить его "отрелаксированным" значением, причем напряжения, действовавшие в материале в предыдущие моменты времени, входят в уравнение со все меньшими весовыми коэффициентами. В общем случае это приводит к неравенству в интегральной форме
t
jo(s)K(t- s)ds <о0 (2.4)
о
где ядро интегрального оператора K(t) — функция затухания памяти. Сравнивая (2.3) с (2.4) получаем, что модели Фойгта соответствует экспоненциальное затухание памяти
K( t) = --exp (-Т) (2.5)
где как и в (2.3) характерное время т = ц/2б\ В качестве более простого приближения к экспоненциальному закону (2.5) можно предложить ступенчатую функцию затухания [6]:
K(t)
-, 0<t<т
т (2.6)
0, t >т
Уравнение (2.6) тогда дает интегральный критерий текучести металла в виде [6, 7]: t
1 , (
Т 1 I^У * * 1 (2.7)
Т Г - т СТ
Здесь Е(?) — функция напряжений от времени, т — характерное время релаксации напряжений, ст0 — статический предел текучести, а — коэффициент чувствительности напряжения. В предположении упругого деформирования Е(?) = 2Се(?) данный критерий позволяет вычислить момент наступления макроскопической текучести t* , соот-
ветствующий наступлению в (2.7) знака равенства. Феноменологический подход, основанный на концепции инкубационного времени текучести [7], также позволяет учесть инертность развития пластической деформации и описать явление зуба текучести. Рассмотрим простейший вариант такой модели. Предположим, что в образце задан линейный рост деформаций е(0 = е где Нф — функция Хевисайда. Введем безразмерную функцию релаксации 0 < у(0 < 1 из условия
у( ?)
Л 1
1/
1 Г Г при т \ I
аду
ds < 1
1 , гаду
- I - т 1
ds
1/а
I - т I
(2.8)
при
аду
<3у '
ds > 1
Здесь 2() = 2Gе tH(t) — функция, совпадающая с напряжением в образце на стадии упругого деформирования, т.е. до момента наступления макроскопического пластического течения I*, который вычисляется по критерию (2.7). Будем считать, что в последующие моменты времени t > I* , отвечающие пластическому деформированию материала, выполняется условие
I
1 ^ рцща^
1
(2.9)
Реальные напряжения в деформируемом образце среде при t > I* будем определять из соотношения
ст( I) = 2*( I )е( I) (2.10)
где g(t) = G1 - в(t), в — скалярный параметр (0 < в < 1), который регулирует степень упрочнения (случай в = 0 отвечает отсутствию упрочнения). Пример расчета диаграммы деформирования при линейном по времени росте деформации на основе (2.7)— (2.10) для гипотетического материала с деформационным упрочнением, примерно соответствующего мягкой стали [8], (Э = 100 МПа, У = 200 МПа, в = 0.18, т = 0.4 с, е = 8.5 х 10-3 с-1) показана на фиг. 1. Скорость деформации кристалла составляет е = 8.5 х 10-3 с-1 что соответствует случаю достаточно медленного "квазистатического" нагружения. Тем не менее, в первые секунды деформации напряжения ведут себя немонотонно и в максимуме на порядок превышают значения статического предела текучести для этого материала. Экспериментальные точки взяты из работы [8] (здесь и далее размерность напряжения по оси ординат в МПа). Моделирование деформации нитевидных кристаллов меди и кадмия в постановке аналогичной экспериментам [9, 10] на основе (2.7)-(2.10) показывает, что экспериментальным данным удовлетворяют значения т = 11 с для меди и т = 9 с для кадмия, что на несколько порядков больше времен релаксации найденных для обычных металлов [5-7].
На фиг. 2 представлено моделирование явления зуба текучести с последующим деформационным упрочнением по модели (2.7)-(2.10) при деформации стальных образцов (Э = 78 ГПа, стУ = 310 МПа, а = 1). Точки соответствуют экспериментальным данным [11]. В этом материале при квазистатических скоростях деформации 5 х 102 с-1 (кривая 2) уже не наблюдается явления зуба текучести типичного для нитевидных кристаллов, зато он явно проявляется при динамической деформации со скоростями
1
I - т
I - т
Фиг. 1
Фиг. 2
103 с-1 (кривая 1). Точки соответствуют недавним экспериментальным данным [11]. Примечательно, что в этом случае найденное значение характерного времени релаксации составляет уже только 14 микросекунд.
3. Кинетическое представление релаксационного процесса при пластическом деформировании. Другим возможным подходом к описанию динамической деформации с учетом параметра характерного времени пластической релаксации является модель Максвелла для очень вязкой жидкости [12]. В рамках этой модели полагается, что существует время релаксации напряжений т такое, что на меньших временах материал при деформации ведет себя упруго, а на больших — вязкопластически. Уравнение для изменения сдвиговых напряжений стт в рамках этой модели может быть записано в виде [12]:
^ = 2с/_в - ( ) (3.1)
Л Л т V
где О — модуль сдвига материала, сте(г = стт — сту — эффективное действующее напряжение, при положительном значении которого становится возможна релаксация сдвиго-
вых напряжений, ay — барьерное напряжение, которое необходимо преодолеть для начала скольжения дислокаций, H(x) — функция Хэвисайда. Интегрирование уравнения (3.1) при постоянной скорости деформации s = const и начальном условии ат(0) = ay дает следующую зависимость напряжений от времени [12]:
ат(t) = ау + 2Gts(1 - exp(-t/т)) (3.2)
В случае установившегося режима течения выражение (3.2) определяет уровень максимальных напряжений достигаемых в материале и его можно переписать в виде:
аГ = ау + 2Gts (3.3)
Максимальные сдвиговые напряжения (3.3) пропорциональны пределу текучести материала. В случае малых характерных времен и скоростей деформации согласно (3.3) имеем постоянное значение предела текучести, которое может изменяться только за счет деформационного упрочнения. С другой стороны, при высоких скоростях деформации или при больших характерных временах релаксации становится значимым второе слагаемое уравнения (3.3) и предел текучести приобретает сложную зависимость от скорости деформации.
Для оценки характерного времени пластической релаксации связанной со скольжением дислокаций обратимся к уравнению (3.1). Рассмотрим дислокационную модель пластичности кристалла, согласно которой пластическая деформация создается за счет перемещения отдельных дефектов кристаллического строения [3]. На временах превышающих время разгона дислокаций (порядка 10-10 с) режим их движения можно считать установившимся и а = 0. Тогда из (3.2) при условии высоких внешних напряжений, существ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.