УДК 524.827
РЕЛИКТОВЫЕ РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ЛИНИИ ВОДОРОДА: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ СПЕКТР
© 2004 г. В. К. Дубрович1,2, С. И. Грачев3*
1 Санкт-Петербургский филиал Специальной астрофизической обсерватории РАН
2Главная астрономическая обсерватория РАН, Пулково
3Астрономический институт им. В.В. Соболева Санкт-Петербургского государственного
университета Поступила в редакцию 23.12.2003 г.
Рассчитаны искажения спектра микроволнового фонового излучения в диапазоне 2—50 см из-за наложения реликтового рекомбинационного излучения водорода в субординатных линиях. Населенности уровней находились путем численного решения уравнения кинетики рекомбинации совместно с уравнениями статистического равновесия для 60-уровенной модели атома водорода. Относительная величина искажений «10~7 —10~6, причем ее зависимость от длины волны имеет малоконтрастный волнообразный характер. Показано однако, что контраст возрастает в несколько раз и становится ярко выраженным при переходе к дифференциальному спектру искажений. Изучена зависимость искажений от космологических параметров.
Ключевые слова: космология, космическиий микроволновый фон, ранняя Вселенная.
CMB RECOMBINATION LINES OF HYDROGEN: THE DIFFERENTIAL SPECTRUM, by V. K. Dubrovich and S. I. Grachev. We have calculated the distortions of the cosmic microwave background (CMB) spectrum in the wavelength range 2—50 cm due to the superposition of the CMB hydrogen recombination radiation in subordinate lines. The level populations were determined by numerically solving the equation of recombination kinetics together with the statistical equilibrium equations for a 60-level model hydrogen atom. The relative value of the distortions is «10~7—10~6, with its wavelength dependence having a low-contrast, wavy pattern. However, the contrast increases severalfold and becomes pronounced when passing to the differential distortion spectrum. We study the dependence of the distortions on cosmological parameters.
Key words: cosmology, cosmic microwave background, early Universe.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из прямых доказательств справедливости модели горячей Вселенной явилось бы обнаружение рекомбинационного излучения водорода, в частности, излучения в субординатных линиях. Это излучение возникает в эпоху рекомбинации водорода — в диапазоне красных смещений от г ~ & 800 до г & 1600 — ив настоящее время находится в области длин волн Л > 0.05 см. Первые оценки указанных искажений были сделаны Дуб-ровичем (1975), а затем более детальные расчеты выполнены Бернштейном и др. (1977), Бейгма-ном и Сюняевым (1978), Дубровичем и Столяровым (1995) и Бургиным (2003). Были развиты два основных подхода к проблеме:
Электронный адрес: stas@astro.spbu.ru
1) упрощенный — процесс переноса в лайма-новских линиях (и соответственно динамика рекомбинации) и процесс выделения субординатных фотонов рассчитываются раздельно;
2) полный — пишется полная система нестационарных кинетических уравнений, точное решение которых формально дает и динамику рекомбинации, и интенсивность и профиль субординатных линий. Первый подход, реализованный в упомянутых работах, позволил достаточно быстро, на имевшейся в то время вычислительной базе, получить правдоподобные результаты. Кроме того, его наглядность и физичность позволили существенно контролировать получаемые результаты и предсказывать новые (Дубрович, Шахворостова, 2004). В то же время, некоторая неудовлетворенность обоснованиями использованных приближений заставила развить и довести до результата и второй
z
Рис. 1. Профили степени ионизации (М/Ми) при = 1, То = 2.7, Но = 97.5, ^ = 1 (нижняя кривая), ^ = 0.76 (верхняя кривая); штриховая линия — результат расчетов по программе гecfast.foг Сигер и др. (1999) (^ = 0.76); звездочки — результаты Пиблса (1968) (^ = 1).
подход (Грачев, Дубрович, 1991). Формально, в этом случае достигается точность расчетов выше, чем в первом, благодаря более полному учету всех переходов в процессе переноса лаймановских квантов. Фактически уже в этой работе были получены все необходимые уравнения для вычисления интенсивностей субординатных линий. Однако в силу различных обстоятельств была реализована только первая часть программы — получены результаты по динамике рекомбинации, т.е. по динамике изменения степени ионизации в стандартной модели. В настоящей работе приведены результаты второй части расчета. Отметим, однако, что и здесь еще мы не включили в матрицу переходов эффекты расщепления уровней по моменту (Дубрович, Шахворостова, 2004) и двухфотонных переходов с высоких уровней (Дубрович, 1987).
В настоящей работе выполнены более детальные расчеты с учетом более детальной динамики рекомбинации при современных значениях параметров, определяющих эту динамику. Используется написанная нами ранее программа (Грачев, Дубрович, 1991), в которой совместно рассчитываются изменения со временем (красным смещением х) степени ионизации водорода и населенностей возбужденных состояний нейтрального водорода для 60-уровенной модели атома, причем для второго уровня учитывается расщепление на подуровни и 2р. Затем по известным населенностям вычисляются функции источников и из формального (при
заданной функции источников) решения уравнения переноса излучения находятся интенсивности излучения в субординатных линиях. Суперпозиция этих интенсивностей и определяет искажения спектра реликтового излучения в диапазоне 2— 50 см.
Следует отметить, что к настоящему времени выполнено довольно много расчетов динамики рекомбинации (см. обзор в статье Сигер и др., 2000, а также в работе Грачева и Дубровича, 1991). При этом используются фактически два метода — метод эффективного трехуровневого атома и метод совместного решения уравнений для электронной концентрации и населенностей уровней. Первый из них был предложен Пиблсом (1968) и Зельдовичем и др. (1968) и совершенствовался в дальнейшем рядом авторов. Одна из последних его модификаций была проведена Сигер и др. (1999) (программа recfast.for). Второй метод является более точным и позволяет строить профили линий водорода, но требует гораздо больше машинных ресурсов. Впервые, по-видимому, он был реализован Грачевым и Дубровичем (1991) для 60-уровенной модели атома водорода, а затем (практически при тех же предположениях) — Сигер и др. (1999, 2000) для 300-уровенной модели. При z > 800, как и следовало ожидать, разные методы дают близкие результаты. Основные различия возникают при z < 800. В качестве примера на рис. 1 приведено сравнение результатов наших расчетов (сплошные линии) с результатами расчетов Пиблса (1968) (звездочки) и с результатами расчетов по программе recfast.for Сигер и др. (1999) (штриховая линия). Видно, что при z < 800 рекомбинация по Пиблсу идет медленнее, что связано с недооценкой суммарного коэффицента рекомбинации, как впервые было отмечено Грачевым и Дубровичем (1991), а затем Сигер и др. (1999). Правда, согласие улучшается в области z > 800 (но ухудшается в области z < 800), если учесть, что в работе Пиблса содержание водорода (по массе) X = 1, тогда как на самом деле X « 0.76. Наиболее детальные расчеты, выполненные Сигер и др. (2000), показали, что следует учитывать вплоть до трехсот уровней атома водорода, хотя уже 50-уровенная модель дает очень близкие результаты. Таким образом, наша 60-уровенная модель должна давать результаты, близкие к точным, особенно в области z > 800, где возникают интересующие нас субординатные линии водорода.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Нестационарное уравнение переноса излучения в однородной расширяющейся Вселенной имеет
вид
РЕЛИКТОВЫЕ РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ЛИНИИ ВОДОРОДА
и" = и (1 + г'')/(1 + г).
725 (2)
1 д!{у, ¿) г/ д!(у, ¿) ,3 с~дГ~ ~ с ^ + =
= —к(и,Ь)[1 (и,Ь) — Б(и,Ь)],
где I(и, Ь) — интенсивность излучения, функция источников Б(и,Ь) = е(и,Ь)/к(и,Ь), к(и,Ь) и е(и,Ь) — коэффициенты поглощения и излучения соответственно, Н(Ь) — фактор Хаббла. Для перехода от шкалы времени к шкале красных смещений используется соотношение
§ = -(! + .)*(,).
В результате получается следующее уравнение: Н(г)
дг ди
= ск(и, г)[1 (и, г) — Б (и, г)].
Легко проверить, что при термодинамическом равновесии решение этого уравнения имеет вид
I (и,г) = Б (и,г) = Б(и,Т (г)) =
= (2Ьи 3/с2)
еН»/кТо (1+20 _ 1
-1
Целесообразно перейти к безразмерным величинам — средним числам заполнения
в(и, г) = (с2/2Ьи3)Б(и, г),
г(и, г) = (с2/2Ъу3)1 (и, г).
Тогда основное уравнение переноса перепишется в виде
Н(г)
(1 + +
дг ди
= ск(и, г)[г(и, г) — в(и, г)}.
Формальное решение этого уравнения, т.е. решение при заданной функции источников в(и,г) в правой части, имеет следующий вид:
г(и,г) = ^(и/(1 + г)) х (1)
/ /\ ^г'
1 +г1
+
/ ?
х ехр — /(V, г')
20
+ 1/(и', г')в(и',г') х
хехр ^-//(^'Оу^) ¿г>/(1 + г>)
где /(и, г) = ск(и, г)/Н(г),
и' = и (1 + г')/(1+ г),
Здесь функция Г(и/(1 + г)) определяется из условия, что в начальный момент(при г = го)интенсив-ность излучения планковская. Таким образом,
-1
^ (и/(1 + г))= Ь(и,Т (г)) =
еНи/кТ(2) _ 1
Т (г) = То(1 + г).
Рассмотрим перенос в линии (переход г Тогда
к(У, г) = ^щВгк(р(ь>)
1
nkgíф{v)
к).
(3)
в(и,г) =
'дкщу{у) слпкф(и)
1
1
где ^(и) и ф(и) — профили коэффициентов поглощения и излучения соответственно, нормированные следующим образом:
У ^(и)йи = J ф(и)йи = 1.
Функцию /(и, г), входящую в формальное решение (1), можно записать, используя формулу (3), в виде
/(и, г) = ск(и, г)/Н(г) = )/^(и, г), где безразмерный градиент скорости расширения
Y(v, г) =
4тт Н(г) }1С щВ1к
1
Пг9к
1
Если известны населенности уровней и профили коэффициентов поглощения и излучения, то интенсивность излучения в линии рассчитывается путем численного интегрирования по формуле (1) с учетом приведенных выше выражений для коэффициента поглощения и функции источников. Однако при некоторых упрощающих предположениях можно выполнить интегрирование аналитически. Во-первых, можно считать, что рассеяние в суб-ординатных линиях происходит с полным перераспределением по частоте, т.е. профили коэффициентов поглощения и излучения совпадают: ) = = ф(и). Тогда безразмерные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.