ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 5, с. 434-437
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОПИСАНИЕ ПАРНОГО РОЖДЕНИЯ ДВАЖДЫТЯЖЕЛЫХ БАРИОНОВ В е+е_-АННИГИЛЯЦИИ
© 2015 г. А. П. Мартыненко1),2)*, А. М. Трунин2),3)
Поступила в редакцию 29.06.2014 г.
На основе пертурбативной КХД и кварковой модели вычислены релятивистские поправки в процессах парного рождения Б-волновых дваждытяжелых дикварков в электрон-позитронной аннигиляции. Релятивистские поправки к волновым функциям связанных состояний кварков учтены с помощью потенциала Брейта в КХД. Релятивистские эффекты существенно изменяют величину нерелятивистских сечений парного рождения дикварков. Представлена оценка выхода пар дваждытяжелых барионов (вед) на В-фабриках.
DOI: 10.7868/80044002715020233
Кварковая модель адронов предсказывает существование барионов с двумя тяжелыми кварками [1]. В 2002 г. Коллаборация SELEX сообщила о первом наблюдении дваждытяжелого бариона Е+ в распаде Н+ — Л+Kи подтвердила это наблюдение позже в распаде Н+ — pD+K- [2]. Однако Коллаборациям Belle и BaBar не удалось обнаружить состояние Н+ [3]. Хотя мы и имеем в настоящее время противоречивые экспериментальные данные о наблюдении дваждытяжелых барионов, исследование их свойств, а также процессов рождения представляет интерес, поскольку в результате получаются теоретические предсказания для наблюдаемых в экспериментах величин, которые могут оказаться полезными. Дваждытяже-лые барионы можно исследовать в рамках кварк-дикваркового приближения, считая, что в таком барионе имеется тяжелое ядро-дикварк (Q1Q2), в поле которого движется третий легкий кварк. В основном состоянии дикварк (Q1Q2) может иметь спин 1 (аксиально-векторный дикварк) и спин 0 (скалярный дикварк). В случае двух одинаковых тяжелых кварков (cc) или (bb) спин дикварка может быть равен только 1 (принцип Паули), а для дикварка (bc) спин может быть равен как 1, так и 0. Один из механизмов рождения дваждытяжелых барионов в e+e--аннигиляции в пертурбативной КХД следующий [4]: вначале рождаются два тяжелых кварка и два тяжелых антикварка, которые
1)1 Самарский государственный университет, Россия.
2)Самарский государственный аэрокосмический университет, Россия.
3)Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, ОИЯИ, Россия.
E-mail: a.p.martynenko@samsu.ru
с определенной вероятностью могут объединиться в связанные состояния — дикварки, подобные обычным мезонам. Затем дикварк и антидикварк фрагментируют в барион и антибарион, подхватывая легкие кварки (антикварки). Несмотря на ряд неопределенностей, которые имеются в кварковых моделях, исследования процессов рождения мезонов показали, что учет относительного движения тяжелых кварков (релятивистские поправки) имеет важное значение для получения надежных величин сечений рождения. В ряде предыдущих работ [5— 8] исследовалась роль релятивистских поправок в процессах парного рождения Б-, Р-волновых состояний мезонов в е+е--аннигиляции, в протон-протонном взаимодействии на ЬИС. В [9] были построены функции фрагментации дваждытяжелых дикварков в барионы с различным спином с учетом релятивистских поправок. В [10] был выполнен расчет нерелятивистских сечений парного рождения дикварков и дана оценка выхода дваждытяжелых барионов (вед) при светимости на В-фабрике С = 1034 см-2 с-1. Цель настоящей работы состоит в вычислении релятивистских поправок на первой стадии рождения барионов 2д) к сечениям парного рождения дваждытяжелых дикварков.
В рамках квазипотенциального подхода [7] амплитуда парного рождения дваждытяжелых дикварков в е+е- -аннигиляции имеет вид свертки пертурбативной амплитуды рождения пары тяжелых кварков и антикварков, спроектированной на положительные энергетические состояния, и квазипотенциальных волновых функций, описывающих связанные состояния дикварков:
М{р-,р+;Р,Я) = МВьсМд5е х (1)
x v(p+u(p-)S,
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОПИСАНИЕ ПАРНОГО РОЖДЕНИЯ dp i dq
ij
x ФDbc(p,P)Фdc{q,Q)
(2n)3 J (2n)3 ®T('P1,P2] 91,92),
где Qcb — заряд кварков; acb = as
M
£S2
435 M =
где 4-импульсы кварков и антикварков в начальном и конечном состояниях выражаются через полные и относительные импульсы следующим образом:
Pi , 2 = П1 , 2P ± P, (pP) = 0; 9i ,2 = Pi,2Q ± 9, (qQ) = 0, MDьс ± m2 T m2
(2)
П1,2 =
Pi,2
2MD
Dbc
M2^ ± m2 T ml
2 M%
be
В лидирующем порядке по константе сильного взаимодействия а3 в пертурбативной КХД существуют четыре диаграммы, описывающие рождение пары дикварков ОЬс и Щ^. Амплитуда парного рождения дикварков имеет следующую общую структуру [7]:
л м л 87г2<у
М{р-,р+,Р,Я) = -
x v(p+)Yeu(p-)S
ij
3S2 yjMj^Mr^ X fdp f dq
(3)
Ф D
Dbc
I (2n)3 (p)
(2n)3
£c(p) (£c(p)+mc) еъ(р) (ib(v)+mh) mc 2 mc ПЦ, 2m,f,
= mc + mb; ec>b(p) = \Jm2b + p2; D^v(k) - npona-
гатор глюона, ki,2 = pi,2 + 91,2, l = P- + P+ = P + 1,2
+ Q. ££
AV равны 75 и ¿Ay для скалярного (S) и аксиально-векторного (AV) дикварков. Константа к равна +1 в случае рождения пар SS- или AVAV-дикварков, и к = —1 для случая пары SAV. В амплитуде (3) учтены цветовые проекционные операторы eijk/V2, приводящие к общему цветовому множителю §ij, а также принят во внимание закон преобразования волновых функций дикварков (р) и Ф^^- (q) при переходе из системы покоя
к системам отсчета, движущимся с 4-импульсами P и Q [11]. Для учета релятивистских поправок в амплитуде рождения использовалось разложение пропагаторов кварков и глюонов по относительным импульсам кварков и антикварков с точностью до членов второго порядка малости, как в [7]. Учитывались также эффекты связанности частиц с помощью энергий связи кварков Wsaav . В знаменателе амплитуды (3) сохранялись точные выражения для релятивистских нормировочных факторов, что обеспечивает сходимость импульсных интегралов. После вычисления следа в (3), свертки по лорен-цевским индексам с помощью системы FORM [12] и интегрирования по угловым переменным амплитуды рождения пар скалярных и аксиально-векторных дикварков принимают вид:
v (q)
ec(g) {Сс{д)+тс) еь(д) (еь(д)+ть) тс 2 тс ггц, 2m,f,
Tr{ Te + кТвА], Mss = —
128тг2а М5 3s6 r2r2M|
(V2 — vi)ev(p+) x (4)
T/2(p, 9; c,b) = Qcab
vi — 1
+
x Yeu(p-)6ц Ф(0)] (QcabFS + QbacFS),
+ vi
p
2ть (tb(p) + ть)
'vi +1
P 2mb 2
2
+ vi
p
Zs,AV(1+ vi) x p
MsAV = —
128n2 a M5
■Щ x (5)
+
2mc(ec(p)+mc) 2mc
3s6 M32Mav x v%v(P+)Yeu(p-)SijФS(0)ФАу(0) x x (QcabFSAV — QbacF2SAV),
p pi-l + mc I - 91 + mc p
7 (I - Vl)2 - mf" Ъ (I - 91)2 - mff
x D^v (k2)
vv2 — 1
+ vV2
q
2
Mavav = —
128n2 a M5
3s6
2mc (ec(9) + mc)
+
+
2mc
rffiMA у
AV
v(p+) x (6)
^S,av(1+ V2) x
V2 + 1 2
+ vv2
q2
2mb(tb(9) +mb) 2mb
Yv,
T&(JP, 9; c, b) = T12—P, —9; b, c),
x Yeu(p-)Sij [ФАу (0)]2 [FAAV (v2 — vi)e(¿i • ¿2) + + FAV (v2 — vi )в (¿i ■ v2)^2 ■ vi) +
+ FAAV [(¿2 ■ viyf — (¿i ■ v^13]
где Ms,av — массы скалярного и аксиально-векторного дикварков; vi = P/MDbc, v2 = Q/Mq_ ;
m
X
X
X
X
X
X
X
436 МАРТЫНЕНКО, ТРУНИН
Таблица 1. Численные величины параметров дикварков в релятивистской кварковой модели
n2S+1Lj Ms,av, ГэВ П,АУ(0)> ГэВ3/2 s.av s.av ш01 s.av s,av s,av ^02
sdbc 6.517 0.154 0.0383 -0.0045 0.00038 0.0031 0.00005
avdbc l3^ 6.527 0.137 0.0405 -0.0048 0.00040 0.0032 0.00005
avdcc l3^ 3.226 0.104 -0.0363 -0.0363 0.0026 0.0026 0.0026
гс,ь = тс,ь/М. Функции Г?, ГЛУ и Г?лу в амплитудах (4)—(6) выражаются в терминах интегралов с волновыми функциями дикварков в виде
InkAV = j V2Rs,av(р) х
/ (ес(р) + гпс){еь{р) + ть) i/ 2ес(р) • 2еь(р)
Шс - <
ic{'p)\n f ГПъ - €ь(р) V
mc + tc(p) J \mb + eb(p) J
dp,
&SS
9s10 т^т^М^
4MS \3/2
/ 4M2V/2/ s S4 2
xfl-^/j (qcabff + qbacfi) ,
512^3 a2
M6
&SAV
9s8 M|MAV 1 (Mg + MAV)2 ' x
1
(Ms - Mav)2
3/2
Ф(0)|2|^Av(0)|2 (Qc«bFiSAV - QbacFS
SAV\ 2
128^3 a2
M
1
4M
AV
Fa = (FAV)2(12 - 4n + n2) +
3/2
(3Fa - fb),
+ FiAVFAV(8n - 6n2 + n3) +
+ FAVF3av(4n - 2n2) +
+ (F
AV )2
+ F2avF3av(4n2 - n3) + (F3AV)2(2n + n2)
4r?2 - 2rf + -rf
AV 2
+
(7)
Fb = Fa - 4n(F3AV)2, n = s2/MAv•
где сумма индексов п и к не превышает 2. Полные выражения для функций Гг опущены, так как имеют громоздкий вид. Сечения парного рождения дваждытяжелых дикварков были представлены в виде:
1024ж»а» М> х (8)
(9)
'лулу = -su-^rl^mi4 х <'«)
Сечения рождения (8)—(10) содержат несколько видов релятивистских поправок. Поправки первого типа в функциях FS, F33V и FSAV связаны с пертубативной амплитудой рождения и учитывают ненулевой относительный импульс кварков и антикварков. В пределе нулевого относительного импульса и нулевых энергий связи кварков выражения для функций F совпадают с нерелятивистскими результатами в [10] (имеется небольшое различие в факторе 1/8 в случае сечения рождения пары AV-дикварков). Поправки второго типа учитывают изменение нерелятивистского потенциала взаимодействия кварков. Они изменяют вид волновых функций дикварков t$s,av(p). Для учета таких релятивистских эффектов нами используется квазипотенциальная модель, основанная на уравнении Шредингера с КХД-модифицированным потенциалом Брейта, дополненным членами конфай-нмента [8]. Предсказания для масс б'-волновых Вс-мезонов, а также (6с)- и (cc)-дикварков, полученные в рамках данного подхода, согласуются с процентной точностью с результатами других моделей и существующими экспериментальными данными [1, 13, 14]. Поправки третьего типа пропорциональны энергиям связи кварков и также определяются в результате численного решения квазипотенциального уравнения [15].
Непертубативные параметры, входящие в сечения парного рождения дваждытяжелых дикварков,
приведены в табл. 1, где шпк = 1пк/ (\/2тгФ°(0)), а результаты численного расчета сечений (8)—(10) — в табл. 2. В случае рождения пары аксиально-векторных (сс)-дикварков соответствующие аналитические выражения для амплитуды и сечения могут быть получены из формул (3), (6) и (10) путём замены mb — mc, Qb -Qc и учета дополнительного множителя 1/4 в амплитуде (1/16 в сечении) в соответствии с принципом Паули. Принимая во внимание светимость на B-фабрике L = = 1034 см-2 c-1, получим, что выход дваждытяже-
х
х
х
х
s
х
2
8
2
2
s
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОПИСАНИЕ ПАРНОГ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.