КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 73, № 5, с. 608-614
УДК 541.64:539.199:532.135
РЕОЛОГИЯ СЛОЖНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЖИДКОСТЕЙ © 2011 г. В. С. Волков, В. Г. Куличихин
Учреждение Российской академии наук Институт нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева РАН 119991 Москва, Ленинский проспект, 29 Поступила в редакцию 25.02.2011 г.
Разработана структурно-континуальная теория вязких жидкостей с произвольной анизотропией. В основу теории положена диссипативная функция для анизотропных жидкостей. Установлен ее канонический вид, включающий главные вязкости. В качестве простого частного случая рассмотрена трансверсально-изотропная несжимаемая жидкость, характеризующаяся одним предпочтительным направлением. Исследованы особенности реологического поведения этой анизотропной жидкости при направленных течениях сдвига и растяжения.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование макроскопических свойств анизотропных жидкостей является одной из фундаментальных задач реологии. Анизотропными свойствами обладают жидкие кристаллы, суспензии, коллоидные системы, многие полимерные и биологические жидкости. Для описания динамики анизотропных жидкостей требуется привлекать эйлерову механику сплошных сред. В этом случае принципиально важен учет внутреннего вращательного движения, которое не сводится к трансляционному. Для замыкания двух уравнений динамики Эйлера необходимы определяющие уравнения для сплошных сред с внутренним вращением.
Идея наделения частиц сплошной среды анизотропной структурой принадлежит Дюгему [1]. При учете таких структурных свойств возникает необходимость построения анизотропных определяющих уравнений, которые устанавливают связь между переменными, входящими в фундаментальные законы динамики Эйлера для сплошной среды. Построение определяющих уравнений является чисто теоретической задачей, которая принципиально не может быть решена методами экспериментальной реологии.
Изучение коллоидных растворов как анизотропных жидкостей было начато Анзелиусом [2]. Развивая его идеи, Эриксен построил инвариантную теорию простой анизотропной жидкости [3]. Каждая ее частица может быть представлена как эллипсоид вращения. В качестве одного из параметров вводится директор, определяющий ориентацию частиц жидкости. Динамика ориентационных процессов в жидкости с одним предпочтительным направлением определяется уравнением для директора, которое Эриксеном было постулировано. Его можно вывести, исходя непосредственно из уравнения динамики для внутреннего вращения [4]. На основе
теории Эриксена рассматриваются эффекты реологической анизотропии, возникающие при течении растворов гибкоцепных полимеров [5—10].
Теория Эриксена составляет также основу для изучения динамических свойств суспензий и жидких кристаллов. Описание поведения микроструктуры с помощью директора нашло применение в континуальной теории суспензий [11]. Лесли разработал директорную теорию жидких кристаллов [12]. Эта теория описывает основные эффекты, наблюдаемые при течении низкомолекулярных жидких кристаллов [13, 14]. Важно подчеркнуть, что характерной особенностью жидких кристаллов является их повышенная реакция на действие внешних электрических и магнитных полей. В этом случае наблюдаются разнообразные явления, связанные с несимметричными напряжениями. Эти эффекты наиболее ярко проявляются в коллоидных магнитных жидкостях.
Работы [15—18] заложили фундамент современной теории анизотропных жидкостей, основывающейся на спектральном (алгебраическом) подходе и позволяющей определять структуру анизотропной вязкости для анизотропных жидкостей различных типов. Этот подход также открывает принципиально новые возможности в классификации анизотропных жидкостей. В настоящей работе разработан термодинамический подход к построению реологических уравнений состояния анизотропных вязких жидкостей, обладающих сложной микроструктурой. Он основывается на спектральном разложении тензора вязкости и позволяет раскрыть общую структуру анизотропной диссипативной функции.
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ДИССИПАТИВНОЙ ФУНКЦИИ
Положим в основу определения анизотропных вязких жидкостей понятие диссипативной функции Б. В этом случае тензор напряжений может быть представлен в виде
Ъу = + Ъ ц(вЬ).
(1)
Здесь ву = (уи ц + V ¡ц)/2 — симметричная часть градиента скорости, р — давление, которое не зависит от градиента скорости, а Сту (вь) — диссипативная часть тензора напряжений. Характерной особенностью жидкостей является отсутствие касательных напряжений в состоянии покоя. Поэтому часть тензора напряжений, определяемая давлением Р, изотропна.
Далее будем рассматривать изотермические процессы. В этом случае диссипативная функция Б для вязкой жидкости с произвольной анизотропией равна
Б = ТР5 = ст у (вь )ву
(2)
Рассмотрим простую анизотропную связь СТу = Цукввкв.
(3)
Б = вуПукввкв.
(4)
Для полного определения диссипативной функции необходимо конкретизировать тензор вязкости, который удовлетворяет обычным соотношениям симметрии
Они связаны с симметрией тензоров скоростей деформации и напряжений. Кроме того, он обладает более глубокой симметрией
П укв = Пквц. (5б)
Эти весьма важные соотношения связаны с существованием диссипативной функции (4). В случае несжимаемых жидкостей тензор вязкости обладает также свойствами
Ппкв = 0, Пукк = 0. (6)
Эти ограничения вытекают из выражения (4) для диссипативной функции при учете условия несжимаемости вкк = 0 и использовании разложения общего тензора четвертого ранга на более простые тензоры — изотропную, девиаторные и нонорную части [19].
Благодаря свойствам (5), тензор вязкости может быть представлен в виде
Пукв = XПаУ п < 6.
(7)
а = 1
где Т — температура, а р — производство энтропии. Скалярная функция тензорного аргумента Б(е) равна произведению термодинамического потока Пуна термодинамическую силу ву. Согласно (2), процессы диссипации, приводящие к росту энтропии за счет напряжений, могут наблюдаться только при движении. Построение конкретных моделей вязких жидкостей связано с установлением свойств дисси-пативных напряжений. В анизотропных жидкостях тензор диссипативных напряжений ст у является анизотропной функцией тензора скоростей деформации в у. В этом случае главные направления этих тензоров не совпадают.
Это определяющее уравнение является обобщением закона Ньютона на анизотропный случай. Вязкость анизотропных жидкостей является тензором четвертого ранга Цукс. При наличии анизотропной связи (3) диссипация в системе определяется следующим выражением
Это выражение называется спектральным разложением тензора вязкости [18]. Оно определяет его через собственные значения па и соответствующие им
собственные тензоры аакв. Совокупность всех собственных значений тензора вязкости называется его спектром. В общем случае он состоит из шести действительных чисел. Некоторые из них могут совпадать друг с другом. Следует отметить, что компоненты тензора вязкости Цукв зависят от выбора системы координат и не являются инвариантными характеристиками реологических свойств анизотропных жидкостей. Для них материальными параметрами являются собственные значения тензора вязкости па. Эти диссипативные коэффициенты можно рассматривать как координаты тензора вязкости относительно ортогонального тензорного ба-
а л
зисаа ук<!, а = 1,...,п.
Важную роль в реологии анизотропных жидкостей играют собственные тензоры вязкости аакв. Они определяют главные направления анизотропии жидкости и обладают свойствами, аналогичными условиям ортонормировки единичных векторов:
т _ \ 1 а а а _ а
1 укв / , аукв, аукваквтп аутп,
а = 1
(8)
ата1втп = С1, для а * в
П укв Л укв, Л укв Л увк.
(5а)
где Iукв = (5^5у + 51е5^)/2 - единичный тензор четвертого ранга. Собственные тензоры идемпо-тентны и взаимно ортогональны. При умножении
на себя идемпотентные тензоры аакв не изменяются. Поэтому использование структурных формул (7)
п
п
существенно облегчает анализ реологических эффектов, связанных с анизотропией вязкости. Построение спектральных разложений для конкретных анизотропных жидкостей требует определения собственных тензоров, что представляет собой достаточно сложную задачу. Однако, в случае отсутствия кратных собственных значений, для них можно получить простые явные формулы
а _
а/ке —
п
в=1
Ццке — Л в1 уке Па -Пв
, в ф а.
(9)
Подставляя спектральное разложение (7) в выражение (4), получим канонический вид диссипа-тивной функции
б = Xп<£1, п < 6.
а=1
Здесь введены интенсивности
/ а а\12 (е/е/) ,
(10)
(11)
п1 > 0,...,ц„ > 0, п < 6.
(12)
б = X п
а а ■е(/е(/.
(13)
Собственные тензоры вязкости несжимаемой трансверсально-изотропной жидкости определяются соотношениями
(14)
а\ке = 1 (З^кЗуе + - 8;у8^е) , а^ке = Щ]Шке
а/е = 2 ((]е + П1к8)е + 81еП/к + П1е8)к).
Здесь Ш/ = -Щ3 (П/ - 8у/2), а П/ = щп/ и 8у = 5/ -- щп/ — ортогональные образующие тензоры. При
л а
этом главные тензоры скоростей деформации е /
имеют вид
1 2 3 2 1 /т 5 ч
е/ = е/ - е/ - ei/, е/ =~ пкееке(3п/ - 8 /),
ец = nikekj + е ¡кпк] - 2Щьеь.
(15)
а а 1
где е/ = а/кееке — главные скорости деформации.
Согласно второму закону термодинамики, дис-сипативная функция определяет рост энтропии за счет внутренних процессов и поэтому не может быть отрицательной Б > 0. Необходимым и достаточным условием неотрицательности диссипатив-ной функции (10) является неотрицательность главных вязкостей
Следует отметить крайнюю простоту этих условий. Таким образом, канонический вид, к которому приводится диссипативная функция для анизотропных вязких жидкостей, демонстрирует фундаментальное значение главных (собственных) вязкостей па. Важной особенностью этих диссипативных коэффициентов является то, что они не могут быть отрицательными.
Число коэффициентов вязкости существенно уменьшается в важном частном случае, когда жидкость несжимаема и трансверсально-изотропна. Ее свойства остаются неизменными при повороте на произвольный угол относительно оси и при любом отражении относительно плоскости, содержащей эту ось. При этом директор п направлен вдоль этой оси. Диссипативная функция такой анизотропной жидкости описывается с помощью трех коэффици
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.