ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 46-55
УДК 519.624.2
РЕШЕНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛАБОСВЯЗАННЫХ СИСТЕМ ГАМИЛЬТОНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2015 г. Е. Д. Калинин
(141700Долгопрудный, Институтский пер., 9, МФТИ) e-mail: e.kalinin@inbox.ru Поступила в редакцию 15.05.2014 г.
В работе исследуется многопараметрическая спектральная задача для слабосвязанных систем гамильтоновых уравнений второго порядка. Рассматривается вопрос существования и единственности решения для заданных номеров собственных значений. Предлагается численный метод нахождения решения этой задачи, приводятся результаты расчетов. Библ. 7.
Ключевые слова: многопараметрическая спектральная задача, слабосвязанная система обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральный численный метод.
DOI: 10.7868/S0044466915010081
ВВЕДЕНИЕ
Многопараметрические спектральные задачи возникают в различных областях математики и физики. Отдельным направлением таких задач являются многопараметрические спектральные задачи для слабосвязанных систем гамильтоновых уравнений. В случае, когда система состоит из гамильтоновых уравнений второго порядка, при этом задача самосопряженная, оказывается, что нахождение собственных значений данной задачи может быть сведено к нахождению собственных значений системы слабосвязанных дифференциальных уравнений первого порядка с вещественными коэффициентами, что представляет значительный интерес. Работа является логическим продолжением работы [1]: исследуется применение подхода, изложенного в [1], к системам уравнений отличного от рассматриваемого в [1] вида. При этом обоснование применимости этого подхода существенно опирается на изложенное в [2]—[4].
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
( п \ 9k( t) + X Vj t)
Jdyk
dt
Ук (1.1)
j = 1
при k = 1, ..., n, 0 < t < 1. Заданные на отрезке [0, 1] непрерывные функции qk, akj принимают значения в С2х2, ..., Xn — вещественные числа; J = 0 -1 .
1_1 0_
Уравнения дополняются граничными условиями
ФкУк (0) = 0, ykyk( 1) = 0, (1.2)
где заданные матрицы фк и yk принадлежат С1 х 2, rank фк = rank фк = 1,
ф Гф(1) ф(2) ] у [у(1) у(2) ] Фк = [фк Фк ], Ук = [Ук Ук ].
Предполагается, что задача самосопряженная, т.е.
Як = Я*, а к] = а*, ф/ф* = 0, у/у* = 0.
гл - (!) (2) (!) (2)
Отметим, что из этого следует вещественность выражении фк : фк и ук : У к .
Набор чисел {^,..., Хп} называется собственным набором задачи, если для каждого значения i существует нетривиальное решение уравнения ук, ук: [0, 1] —С2, удовлетворяющее граничным условиям.
Рассматриваемая задача — многопараметрическая спектральная задача с п параметрами ..., Хп для слабо связанной системы гамильтоновых уравнении. Общую теорию многопараметрических спектральных задач см. в [5].
Каждое уравнение задачи удовлетворяет всем требованиям, при которых в [2] для гамильтоновых уравнений с любым количеством искомых функций определено понятие номера собственного значения.
Рассмотрим какие-либо значения ... tn, 0 < tk < 1 при к = 1, ..., п, и какие-либо столбцы у1,..., vn, vi е С2 при к = 1, ..., п. Пусть
к, К, V!, ..., V„) = ёй
vf а11 (¿1) v1 . vf а1п(¿1) v1
v* ап1( *п ) Vn
V*апп(*п) V
Отметим, что функция Б вещественна.
Дальнейшая теория будет строиться на предположении, что Б Ф 0 для всех t1, ., tn и всех ненулевых значений ..., vn, это свойство названо строгой правой определенностью задачи в [5]. Не умаляя общности, будем считать, что
Б > 0 для ненулевых ..., vn. (1.3)
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
Для исследования задачи и ее решения будет использоваться метод продолжения по параметру (см. [6]).
Возьмем какие-либо значения , ..., г°п на отрезке [0, 1] и какие-либо ненулевые столбцы
VI, ..., V0 из С2. Рассмотрим вспомогательную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
/ -
(
Як ( г) + X
У к,
(2.1)
] = 1
о г 0ч* /А 0 Т
где ак] = ( vk) *ак](гк) vk, 1=
ной
1 0 0 1
, а граничные условия те же. Как легко убедиться, ак, е Я. Заме-
Xакь = Ик, к = 1, ..., п,
] = 1
задача сводится к совокупности п независимых краевых задач:
№ = (Як (г) + Ик1) У к, йг
ФкУк (0) = 0, у кУк( 1) = 0,
(2.2)
(2.3)
(2.4)
п
каждая из которых решается каким-нибудь известным методом (см., например, [3]). Зная ..., находим ..., Х„, решив систему линейных алгебраических уравнений (2.2), определитель ее отличен от 0 (см. (1.3)), поэтому нужный собственный набор существует и единственен. Обозна-
Л Л - л (0) л (0)
чим так полученные значения А1, ..., к„ для вспомогательной задачи через , ... , кп .
Для перехода от вспомогательной системы уравнений к исходной введем параметр а, 0 < а < 1, и рассмотрим семейство задач вида (1.1), (1.2), в которых аку(?, а) = (1 — а)ак]I + ааку(?). Покажем, что Б > 0 при 0 < а < 1 и ненулевых значениях у1, ., vи. Будем делать это аналогично [7]. Пусть
A = [ v*an(t) v, ..., vfain(t) v], A] = [(v])*an(t]) v], ..., (v])*ain(t]) v]].
Тогда
Б = ёй _
аАп + (1 - а)АП
Отсюда следует, что Б представляется в виде суммы 2п слагаемых вида
стА1 + (1 - ст)А
ст*( 1 - а)" -kdet
А+
k = 0, 1, ..., n,
где знак "+" соответствует знаку "0" в каких-то п-к строках и отсутствию этого знака в остальных к строках. При 0 < а < 1 каждое из этих слагаемых положительно в силу (1.3). При а = 0 и а = 1 определитель Б также положителен. Поэтому Б > 0 при всех 0 < а < 1. Положим
Ук =
'уФ = k Q (11) Qk (12) Qk12 , akj = a( U) akj a(12) akj
y? (21) Qk (22) Qk . a( 21) akj a(22) akj _
Для данной задачи очень удобным оказывается преобразование Прюфера: вводим скалярные функции pk(t) и 0k(t) такие, что
У(к] = Рк sin 0k, Ук2> = cos 0k.
Отметим, что, в силу вещественности выражений ф^.1' : ф^2 и : , 0к(0) и 0к(1) принимают только вещественные значения.
Тогда получаем следующую эквивалентную систему уравнений:
,(1) . „,(2)
d00k dt
(
-(11)
(11)
+
ft" + Z Xjak j=1
(q(12) + q(21)) + V i ( a(12) + a(21)) (Qk + Qk ) + Z M akj + akj )
■ ,
í
sin
+
„( 22)
(22)
qr + Z Vk/
cos
j
(12) , „(21)
j = 1 \
sin0kcos
j = 1
dPí: . dt
(((
„(22)
(22)
VW
QkT' + Z jkj
\\
„( 11)
(11)
j = 1
Qk" + Z jkj j = 1
sin0kcos0k +
jj
f
+
(21) Qk +
(21)
Z jkj
(12)
Qk ) +
Z Xjakj
(12)
cos
Pk.
j = 1
j = 1
+
n
В [4] для того, чтобы задать граничные условия, берутся 0^ и 0k1, удовлетворяющие соотношениям
ф** sin 0и + ф!2) cos 0ko = о, sin 0И + vk2) COS 0k! = 0,
0 < 0ko < я, -я < 0ki < 0.
При этом граничные условия принимают вид
0k(0) = 0*о, 0k(1) = 0*1 + mkn, mk - целое.
Изложим некоторые свойства данной задачи, приведенные в [4].
Значение mk равно номеру собственного значения СЗ, определяемому в соответствии с [2], или на 1 больше него (в случае, когда 0ko = 0k1 = 0). Функция pk(t) не обращается в нуль на отрезке [0, 1] и определяется формулой
Pk(0 = РkoexP J
с VÍÍ п ^ í п w Í22) + ^ k (22) (11) + ^ k (11)
qk + Z kjakj - qk + Z kjakj j = 1 У V j = 1 УУ
sin 0k COS 0k +
+
„(21)
(21)
qk" + Z jkj j = 1
f
Sin 0t -
(12)
qk + Z j^kj j = 1
- \
cos20* dx y
Таким образом, отыскание СЗ исходной задачи сводится к отысканию СЗ системы уравнений
d0k dt
(
(11) Vt
qk + Z V.
(11) kj
(
„(22)
(22)
qv + Z xjakj
j=1
У
+
(V12) ^ „(fn(12^ n(21)^
(qk + qk ) + Z к(akj + akj )
V
j = 1 л
sin 0k COS 0k
(2.5)
j = 1
с граничными условиями
0к( 0) = 0к0, (2.6) 0к(1) = 0к1 + ткП, тк — целое. (2.7)
Отметим, что в силу вещественности 0к(0), 0к(1), коэффициентов уравнения (2.5), функция 0к(О принимает только вещественные значения.
Для каждого к зафиксируем точку £,к: 0 < £,к < 1. Тогда для заданных ..., Ап, решая задачу (2.5),
(2.6), получим 0к (ук), а для задачи (2.5), (2.7) получим 0к (£,к). Для каждого к = 1 , ..., п составим
5^,...,^) = 0к(^к) - 0к(^к). Нужные нам ^1, ..., А при взятом с — корни системы
51 = ... = 5п = 0. (2.8)
Пусть ю = (д5)/(дА) , т.е. ю = [юку], где юку = (д5к)/(дАу). Аналогично тому, как это сделано в [6], покажем, что для любых Аь ..., Ап и для любого 0 < с < 1 имеет место условие ёйю Ф 0. Перепишем систему уравнений (2.5) в виде
й0к ■ 2п . п ^ 2Г
dt
= Uk(t, к)sin 0k + Pk(t,k)COS 0k + Yk(t, k)sin0kCOS0k.
Очевидно, что ак(^ А), pk(t, А), Yk(t, А) принимают только вещественные значения. Тогда для величин хк/ = (д0к)/(дАу) и = (д0к) / (дАу) получаем да дб д
хк/ = ^Г ^^к + 2 ак ^ 0к сое 0к Хк] + СО820к - 2 Рк ЭШ 0к СОБ 0кХк] + ^Г ^ 0к СО8 0к + Ук сое2 0к Хк]
дк
дк
jj с граничными условиями xk/(0) = 0 и xk/(1) = 0 соответственно.
дк.
(2.9)
Перепишем эти уравнения в виде
xkj( tk) = ukj( tk )xkj + vj tk), где
ukj(tk) = 2«ksin6kcos0k - 2Pksin0kcos0k + Ykcos20k,
а
,, , dak . 2A 5Bk 2 dvk . A A (ii) . 2A (22) 2A , (12) (2i)4 . A A vjtk) = sin 0k + ^cos 0k + ^sin0kcos0k = akj'sm 0k + akj'cos 0k + (aj + ak; )sin0kcos0k.
Пусть Ukj(t) = I" wkj(x)di , Ukj(t) = [ wkj(x)di , тогда получим решения уравнений (2.9) в виде Jn Jt
Xkj(tk) = I Je Ukj(T)vkj(T)dT
U^)
Таким образом,
Xkj( tk) = -I |e Ukj(T) vkj(T) dT
Ub-ft)
®kj( tk) = Jbkj( tk) %( tk) dt,
где фк/0 > 0 и ak¡ = W*akjWk, ^ =
Отсюда
sin 0k cos 0¡
det[®kj] = ^ sign[kj, ..., „.®Bk1 = ^ sign[kj, ..., ] x
[k^ ...,kn] kn]
x Jфlk1 (ti )-.^„k„( tn) aik1 (ti)... a Bk„ (tn) dtj. dtB =
Q
= JOik^ti )..^nk„( tn ) D (ti, ..., tn, Wi, ..., Wn )dti. dtn > 0.
(2.10)
3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Сначала докажем лемму, которая понадобится нам в дальнейшем.
Лемма. Пусть /(х) — функция, п раз дифференцируемая в некоторой окрестности И(х0) точки х(0), п — наперед заданное число. В и(х0) задана сетка хк = х0 + кк, к = 0, ., п, к — достаточно малый
шаг. Рассмотрим /(х) — "возмущенную" функцию, заданную в точках хд, ..., хп — 1, такую, что 1Жх,) — f(xi) | <^кп, I = 0, ..., п — 1. Тогда если g(х) = а0 + ... + ап_ 1 (х — х0)...(х — хп -1) — интерполяционный полином степени п — 1, построенный по точкам (х, /(хг)), I = 0, ..., п — 1, то |/(хп) —
- g(xn) | < (A(2n +1 - 3) + B(2n +1 - 2))hn, где B = sup
Им!
x e U(x0) n !
0
k
0
Q
Доказательство. 1. Докажем, что ^(хп) — g(xn) | < А(2п +1 — 3)Ип,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.