ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 3, с. 11-18
УДК 550.837
РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2007 г. П. Н. Александров
Центр геоэлектромагнитных исследований ИФЗ им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Троицк Моск. обл.
Поступила в редакцию 15.05.2006 г.
Рассматривается решение прямых двумерных задач геоэлектрики анизотропных и бианизотропных сред. Задачи сводятся к решению интегро-дифференциальных уравнений, полученных с использованием интегральных преобразований Фурье и Фурье-Бесселя для горизонтально-неоднородных слоистых сред и радиально-неоднородных слоистых сред. Данный подход особенно эффективен для изучения влияния геологических структур малых размеров (таких как разломы, глинистые корки на стенках скважин и т.п.) на результаты геоэлектрических исследований.
PACS: 91.25.Qi
Ключевые слова: двумерные задачи геоэлектрики, бианизотропные среды, преобразование Фурье-Бесселя, электромагнитный каротаж.
ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на активное развитие методов решения прямых трехмерных задач, двумерные постановки остаются актуальными, особенно в случае анизотропных и бианизотропных сред [Александров, 2000]. Одной из геологических задач, представляющих практический интерес, является исследование разломных структур. В геоэлектромагнитном отношении они являются резко неоднородными линейно-вытянутыми объектами незначительной толщины. Решение прямых задач для таких объектов связано с необходимостью учета малых неодно-родностей в горизонтальном направлении. Численные методы, использующие как конечно-разностные подходы, так и подходы, основанные на интегральных уравнениях, не позволяют эффективно решать подобные задачи, поскольку появляются трудно преодолимые вычислительные трудности. В связи с этим предложено решение двумерной задачи, основанное на интегро-диффе-ренциальном подходе с использованием интегрального преобразования Фурье по горизонтальной координате в модели горизонтально-неоднородной слоистой среды. В результате применения преобразования Фурье система уравнений Максвелла преобразуется в систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно Фурье-образов горизонтальных компонент электромагнитного поля. Решение данной системы уравнений и обратное преобразование Фурье в пространственную область позволяет находить решение поставленной задачи для сосредоточенного возбудителя электромагнитного поля в горизонтально-неоднородной бианизотропной слои-
стой среде, в том числе, с учетом частотной дисперсии электромагнитных параметров. Такой подход позволяет учитывать тонкие вертикальные и горизонтальные слои, чего практически трудно добиться с помощью численных методов. Аналогичное решение, основанное на этом же способе, получено для скважинного варианта, где особую актуальность имеет исследование влияния радиальных слоев (в том числе, тонких глинистых корок) на результаты электрометрии скважины. В этом случае использовалось интегральное преобразование Фурье-Бесселя. В результате получено решение для двумерной радиально-неодно-родной и слоистой модели геологической среды.
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ
Бианизотропные среды характеризуются тем, что в системе уравнений Максвелла
rot H = J + Jext
rot E = - /юБ - 7MBext
материальные уравнения имеют вид
J = cE + a H, Б = pE + | H,
где E, H - напряженности электрического и магнитного полей, Jext - плотность стороннего тока, Bext - сторонняя индукция магнитного поля. Материальные параметры среды c, a, в, | - являются, в общем случае, матрицами размером 3 х 3 и функциями частоты. При этом параметры c (удельная электропроводность среды) и | (магнитная проницаемость) хорошо известны в гео-
электрике. Другие параметры - а, в - являются новыми и пока не получили своего названия. Они являются результатом осреднения электропроводности капиллярной системы сложной конфигурации. Их физический смысл заключается в появлении электрического тока за счет индукции магнитного поля на спиралевидных формах капилляров и появлении на этих же формах индукции магнитного поля за счет тока, текущего по этим спиралям. Введение этих дополнительных параметров является необходимым для адекватного описания процесса взаимодействия электромагнитного поля и сложно-построенной системы проводящих капилляров горной породы.
Для одномерных бианизотропных сред, в частности, для горизонтально-слоистых, ранее были получены решения прямых задач [Александров, 2001]. Для современного уровня развития теории геоэлектрики бианизотропных сред актуальны прямые задачи для двумерных бианизотропных моделей.
Рассмотрим горизонтально-слоистую и неоднородную по одной горизонтальной координате (например, по оси х) модель геологической среды. Параметры среды, как и электромагнитное поле, положим не зависящими от другой горизонтальной координаты у. Систему уравнений Максвелла в частотной области можно представить в виде:
£ нх = кн*+Зу+^ =
= а21 Нх + а22 Ну + с21 Ех + с22 Еу +
+ а2з Нг + С23 Ег + Нг +
^ну = -- ^ = -(а„нх + а12ну +
+ а„ Ех + а 12 Еу + а13 ^ + а13 Ег ) - Ух
Ех = ^ Е_ -7 ю Ву -7 ю Ве: = Э^ х дх у у
= -7 Ю(^21 нх + ^22^ + р21 Ех + Р22 Еу
+ ^23нг + в23Е ) + дЕг - 7 ЮВеХ'
д Еу = 7 юВх + 7юВхх' = 7ю(|а 11 нх + М-12 ну +
+ рп Ех + в 12 Еу + М-13 нг + в13 Ег) + 7ю Вех
а33 нг + а33 Ег =
= -(а31 нх + а32 ну + а3! Ех + а32 Еу) +
^33нг + в33 Е =
22 у
= -(^31 нх + ^32 ну + в31 Ех + в32 Еу) + -^ю!- Е •
Введя следующие матрицы, зависящие от горизонтальной координаты х
А =
а
21
а
22
21
22
-7ю^21 -7ю^22 -7юв21 -7юв22
7 ЮЦ11 7 ЮЦ12 7 юв11 7 юв12
В=
Э =
1
Мв3а33 а33в3
а23 а23
-а13 -а13
-7ю^23 -7Юв23
7 ЮЦ13 7 Юв13
^31 а33 а32в33
а31^33 ^32а33 "
с =
/ л
1 0
0 0
0 1
0 0
Мв1а33 а31^33 ^32а33 а32Мв3 в31 а33 а31^33 в32а33 а32Мв3
Е =
М-33 °33 а33 Р.
33
0 Р33 0 --Ю г ю
0 Ц33О ^ г ю
Полагая, что внешние части горизонтального слоя являются средами с одинаковыми электромагнитными параметрами = QN + Д получим
|;Х ( кх ) = Qo ( кх ) Х( кх ) +
систему уравнений Максвелла можно переписать в виде
X = А X + В У + С У + Еех д г дх
У = В X + Е дх X = |( В + г к'хЕ) х (к'х) е^,
(1)
Ск'х
где
X = (Нх Ну Ех Еу) , У = (Н Е7)
1 х у ^х ^у '
X
и Е = I ¿х -г юВТ г ювх
(Здесь использовано представление X = х (кх)
гкхх , I ч X е ахх).
Используя преобразование Фурье по координате х системы уравнений (1), получим:
д х (кх) = |( А X + В У + гкхС У)
гкхх 1 . «.ей
е ах +1 =
| А | х(кх)е'кххак'х + (В + гкхС) X
X | (В + гкхЕ)х(к'х)е'к'хс1кх
-гкхх |.ех1
е ах +1 =
| | (А + (в + гкхс)(в + г к 'хЕ)) е х - х) хах
X
х х( к'х) акх + гех =
N xj +1
| Qo | ег(кх-кх)С + X |
г(кх - кх)х е ах +
+
QN +1 |
j = 1 \
г (к'х - кх)х
е с
х (к'х) Ск'х + Ге
+
I Х( QJ - Qo)е--
г(кх -кх)х^ +1 г(кх - кх)хД
j - е j
У = 1
(кх - кх)
X
X х (кх) сск х + Г ех\
Заменяя несобственный интеграл конечной суммой, для каждого горизонтально-неоднородного слоя получим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:
=-- X = AX + Е.
д г
(2)
Здесь и далее вектор X состоит из компонент вектора х(кх) для каждого конкретного значения пространственной частоты кх.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СЛОИСТОЙ МОДЕЛИ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКОИ СРЕДЫ
Решение системы уравнений (2) в некотором слое с номером у имеет вид [Корн, Корн, 1974]
X = еАуг С у + X,
(3)
где Xj- - первичное поле источника, находящегося в слое с номером у и заданного вектором Fj■, Су -
вектор неизвестных коэффициентов, еА - экспонента от матрицы Ауг, которую можно предста-
А г [X Л г -1
вить в виде е = ve Vj■ , где Vj - матрица, составленная из собственных векторов матрицы Ау, [Ху ] - диагональная матрица собственных чисел
матрицы Ау: Ау = v7■ [X,- ] V-1. Используя это представление, для слоя у с координатой кровли г = г и подошвы г = г у + 1, перепишем (3) в виде:
X (г) = ^ е[Х] V С + г) =
= Vе
'] ^] ]'
[х+](г - г у) [Х+] гу -1
у ^ у Ч С +
(4)
[Х-](г - гу +[) [Х-]гу +! -1 /
+ V,e у ] е/ ] V. С. + X, (г),
[Х+]г
XN +1 у где е - диагональная матрица с элементами
где введено обозначение Qi = (A, + (B, + гkXCj)(Вj + +
_ ^ у у х у у вида е , где X у - собственные числа матрицы Ау
+ гкхЕу)),у = 0,N + 1 - номер горизонтальной не- с действительной частью меньше нуля и диаго-
однородности в отдельном слое. нальными элементами, равными нулю в против-
х
{ ~0
х
[Х- ]2
ном случае; е - диагональная матрица с элементами вида е^2, где Х- - собственные числа матрицы А, с действительной частью больше нуля и диагональными элементами, равными нулю в противном случае. При этом выполняются равенства [ Х+ ] + [ Х- ] = [Х, ].
В силу представления (4), исключим нулевые
[Х+](2 - 2,) [Х-](2 - 2)+1)
элементы в матрицах е и е , в ре- или
зультате чего эти матрицы будут иметь размерность (4п х 2п), где п - количество пространственных частот кх. Аналогичная операция относитель-
[Х]]zl -1„ [Х-к,+1 -1„ но векторов е V, С, и е V, С, приведет к
Вектор X непрерывен на границе раздела сред, т.е. X, - х(2) = X, (2,), в силу чего можно записать
V,-1 е ' ' ' Уу_1 + V,-1 е 7 7 7 ¥;-1 + + X /_ 1 (2,) = ^ - 2,) У] +
,[Х-](2/-+ 1^2 . V/,
+ V /
У, + Х, ( 2, ),
V,-1 е
[Х+-1] ^1 У1-1 + V,-1У2-1+ X /_ 1( 2, ) =
,Л . 4х,]к, + 1жт2 . ж/ ч
= V,У; + V¡е 7 7 У + Х/(21)>
векторам размерности (2п х 1 п). Вследствие этого где к, - толщина слоя с номером,. систему уравнений (4) можно переписать в виде
X(2) = V,е ' У; + V,е ' У + Х/(2)>
(5)
2, < 2 < 2, + 1.
Перепишем последнюю систему уравнений виде
VJ-1е ' ' У;-1+ V-1 У;-1-
[Х+](2 - 2,) [Х-] (2 - 2,+ !)
Здесь и далее, матрицы vjе и vjе
имеют размерность (4п х 2п). При этом [v7■е 1 ,
[Х-] г [Х-] 2 1 2
^е ] = е • У, и У, - неизвестные векторы размерности (2п х 1п).
- v,у) - v]е-^кl+у = - x/_ 1 (2,) + х/(2,)•
[Х+]2 Пусть среда состоит из N слоев (, = 0 : Ы), причем
слои с номером 0 и номером N являются слоями бесконечной толщины. Тогда получим систему уравнений относительно неизвестных векторов У1 и У2:
л.т2 -.,-1 -[Х1]к1Лг2 лт// \ I лт// \
VoУo-Vl У1- Vl е У2 = - Х50 (21) + Х1(21)
v,-1е
У -1+ vj -1У -1- v
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.