ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
РЕШЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО КВАЗИПОТЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СУПЕРПОЗИЦИИ НЕЛОКАЛЬНОГО СЕПАРАБЕЛЬНОГО И ЛОКАЛЬНОГО КВАЗИПОТЕНЦИАЛОВ
© 2004 г. Ю. Д. Черниченко
Гомельский государственный технический университет, Белоруссия Поступила в редакцию 03.10.2002 г.; после доработки 12.02.2003 г.
В рамках релятивистского квазипотенциального подхода к квантовой теории поля разработан метод решения конечно-разностного квазипотенциального уравнения для случая, когда полный квазипотенциал, описывающий взаимодействие двух релятивистских бесспиновых частиц неравных масс, представляет собой суперпозицию нелокального сепарабельного и локального квазипотенциалов. При этом исследуются случаи, когда локальная составляющая полного взаимодействия, предполагающаяся известной, может как допускать связанные состояния, так и не допускать их существование. Это позволило получить точное выражение для приращения фазового сдвига, определить условия существования связанных состояний и дать обобщение теоремы Левинсона.
1. ВВЕДЕНИЕ
Основное преимущество нелокальных сепара-бельных взаимодействий связано с тем, что парциальная ¿-матрица для таких взаимодействий имеет очень простую форму, что позволяет непосредственно продолжить ее на внеэнергетическую поверхность. Именно это свойство особенно важно в ядерной физике и в проблеме многих тел, в частности при решении уравнений Фаддеева в задаче трех тел. Кроме того, применение нелокальных сепарабельных взаимодействий при решении нерелятивистского двухчастичного уравнения Шредин-гера дает возможность для большого класса таких потенциалов получать замкнутые выражения. Этот же подход оказался эффективным и при решении нерелятивистской обратной задачи [1—4]. Однако такой подход не может быть использован для существенно релятивистских систем [5, 6]. Так, для систем, образованных легкими кварками, вклад релятивистских поправок к гамильтониану взаимодействия оказывается сравнимым с основным нерелятивистским членом. Необходимость релятивистского подхода также возникает и при изучении радиационных распадов мезонов и нуклонных ре-зонансов, когда энергия излучаемого фотона сравнима или больше массы составляющих их кварков.
Одним из эффективных методов релятивистского описания двухчастичных систем [7—10] до сих пор является квазипотенциальный подход [11]. В настоящей работе в рамках релятивистского квазипотенциального подхода к квантовой теории поля [12] рассматривается решение конечно-разностного квазипотенциального уравнения для
суперпозиции нелокального сепарабельного и локального квазипотенциалов, описывающих взаимодействие двух релятивистских бесспиновых частиц с неравными массами (т1 = т2). Необходимость такого представления взаимодействия двухчастичной системы вызвана, в частности, предположением мезонной теории ядерных сил. В соответствии с этой теорией взаимодействие между двумя нуклонами является локальным на больших расстояниях, но становится нелокальным и сингулярным на малых расстояниях. При этом мы можем считать, что локальная часть "т(р) полного взаимодействия является известной и согласуется с экспериментальными данными при низких энергиях. Поскольку точная теоретическая информация о ядерных силах на малых расстояниях отсутствует, то мы можем исходя из требования простоты предполагать, что на этих расстояниях нелокальная составляющая полного взаимодействия является сепарабельной. Поэтому, ограничиваясь случаем центрально-симметричных сил и одним сепарабельным членом, выберем полное взаимодействие в виде
V(р, р'; Ед>) = V(р, р') = w(p)5(p, - р)+ (1)
+ 21 + 1)£1 У1(р)У1 (р')Р
1=0
р р
рр'
Здесь Рг(г) — функция Лежандра первого рода, р = рп, р' = р'п', |п|, |п'| = 1, ег = ±11-. Тогда
'-'Заметим, что значение £ = — 1 соответствует притягивающему взаимодействию, а значение £1 = 1 — отталкивающему взаимодействию.
релятивистский аналог дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции (р) в конфигурационном представлении с взаимодействием (1) в случае неравных масс запишется в форме2)
а|<)+£а«)- <2)
/2
т ц
\'2
др
2^2-Ав>¥,ехр ( гА'^ ) - сЬ/
(р) +
1=0
Я'р
Я = 1я'|.
Тогда уравнение (2) приводится к виду
Таким образом, возможность представить полную энергию двух релятивистских бесспиновых частиц неравных масс в с.ц.и. в виде выражения, пропорционального энергии одной эффективной релятивистской частицы массы т', позволяет в рамках данного подхода свести релятивистскую проблему двух тел неравных масс к одночастичной [13]. Решение уравнения (4) с граничным условием
Ь (0,х') = 0,
(5)
+ 1 йр'У(р, р')^(р') = 0,
где Дд,^ — угловая часть оператора Лапласа, X' = = 1/т' — комптоновская длина волны эффективной релятивистской частицы массы т' = у/т\гп2, а ц = т'2/(т1 + т2) 3).
Следуя работе [14], разложим функцию (р) по парциальным волнам:
<м,) = 5> + 1 к'-МмОр,^, ,3,
получение выражения для приращения фазового сдвига, исследование условий существования связанных состояний и обобщение теоремы Левинсона для суперпозиции нелокального сепарабельного и локального квазипотенциалов и есть цель настоящей работы, обобщающей результаты работы [14]. При этом мы будем считать, что локальная составляющая полного взаимодействия Ш(т) известна и может как иметь щ связанных состояний с энергиями
0 < Ез = Ед'з/т' = еИ х3 < 1,
(6)
п
Хз = Щ, 0 < 2 = 1, 2,..., щ
так и не допускать их существование.
( 1 + ) V*-2сЬх' + Щг) X (4)
х Фг(т,Х)+ еУ(т) у йт'Уг(т')фг(т',х') 0
Здесь введены следующие обозначения:
V = ехр —г— , V = ехр г— \ ат) \ ат
Ц(г) = \/8тгХ'/л/т'2рУ1(р),
Ш (т) = 2^(р)/т'2, т(2) = т(т + г), р = X! т, р' = Х'т'.
0.
2. свойства регулярного решения
и спектральная плотность для локального квазипотенциала
Для существования единственного решения уравнения (4) с граничным условием (5) необходимо, чтобы сепарабельный Уг(т) и локальный Ш(т) квазипотенциалы удовлетворяли условиям
тУг(т) е Ьг(0, ж), тШ(т) е Ьг(0, ж). (7)
Последнее требование в (7) означает, что регулярное решение щ (т, х') и решение Йоста /¡(т, х'') уравнения
2)Здесь и далее мы используем систему единиц, в которой
К = с = 1.
3)Напомним, что в рамках рассматриваемого варианта релятивистского квазипотенциального подхода к квантовой теории поля для случая взаимодействия двух релятивистских бесспиновых частиц неравных масс [13] уравнение (2) описывает в с.ц.и. рассеяние эффективной релятивистской частицы массы т' с трехмерным относительным импульсом q/ и полной энергией частиц у/Яч/, пропорциональной в с.ц.и. энергии Еч> = у/тР^ар = т! сЬ х' одной эффективной релятивистской частицы массы т':
= (гп /ц)Еч, = (гп2/ц) сЪх, где х' — быстрота эффективной частицы.
х (8)
У+(1 + ^¿р) V* - 2сЬх' + \У{г)
х (т,х')\ =0
\Мт,х') I
с граничным условием
щ(0,х' ) = 0 (9)
обладают следующими необходимыми свойствами.
Введем, используя поведение свободных решений вг(т,х!) и е(1\т,х') уравнения (8) при выклю-
х [рГ(-х')1г(г,х')+еш(г+1)РГ(х')1г(г, -х')]. Функция Р^(х'), которую можно представить, ис-
ченном взаимодействии (Ш(г) = 0)4), релятивистские регулярное решение щ(г,х'), удовлетворяющее граничному условию (9), и решение Йоста ¡г(г, х') уравнения (8), полагая5)
е-ш{1 + 1)Т(1 + 1)
Ит
т^ о
(-г)(1+1)
-<Р1(Г,х') = 1,
Иш е-(гХ/2) ¡1 (г, х') = 1.
тх'^ж
(10) (11)
Здесь Г(г) — гамма-функция, Ql(z) — функция
Лежандра второго рода, а (-г)(х) есть обобщенная степень:
(-г)(х) = гхГ(гг + \)/Г({г). (12)
Легко проверить, что для комплексных х' и действительных г и I регулярное решение и решение Йоста обладают свойствами "симметрии":
Щг(г, -х!)= Щ(г,х'), (13)
Щг(г,х' Г = Мг)щ(г,х'*), (14)
[¡г(г,х')Г = Л(г)1г(г, -х'*), (15)
где
Мг) = еж(г+1)(г)(г+1)/(-г)(г+1). (16)
Можно показать, что при вИ х' = 0 два решения Йоста ¡г(г, ±х') линейно независимы, так как их вронскиан,
(17)
= 2ге"Г(-г+1-) —
щ{гУ
ША[1(г,х'),Л(г, -х')] =
¡г(г,х') Яг -х')
А1г(г,х') ¡(г, -х')
отличен от нуля6). Следовательно, регулярное решение Щг(г, х') можно представить в виде линейной комбинации этих двух решений Йоста с постоянными (не зависящими от г) коэффициентами:
щг(г,х') = (1/2iQг(с^х')) х (18)
пользуя значение вронскиана (17), в виде
рГ(х') = ^г(сШх')/вИ х!) х (19) х V(г)ША[1г(г, х'),Щ(г, х')],
является функцией Йоста для локального квазипотенциала Ш(г) и связана с соответствующим ей фазовым сдвигом 5Г (х') соотношением
РГ (х') = РГ Ы)1 еМ-г5Г (х')]. (20)
Из соотношений (14), (15), (18) и (20) следуют свойства "симметрии":
[РГ (х')]* = РГ (-х'*), (21)
[5Г (х')]* = 5Г (х'*), 5Г (-х') = -5Г (х').
(22) (23)
Кроме того, из представления (19) и поведения (10) регулярного решения щ (г,х') вблизи точки г = = 0 устанавливаем, что решение и функция Йоста связаны предельным соотношением
(21 + 1^г (с1Их')
Р^ (х') = 1ш1
т^о Г(1 + 1)811х'(-г)(-г)
(24)
Далее, используя асимптотику (11), из представления (18)находим
Qг (с1Их')
(25)
X 81П
/ I ¡Г/ >\
ГХ - у + ^ (х)
гх
.
4)Напомним, что поведение свободных решений 8ь(т,х') и е(1) (т, х') в принятых здесь обозначениях имеет вид [15]:
81(т,х') и е'п(1+1)(—т)(1+1^1(с^х')/Г(1 + 1),т ^ 0,
(1)/ 'ч г(тх'-п1/2) '
е\ (т,х ) и е 4 ,тх ^ ж.
5)Такой выбор граничного условия для решения Йоста в форме (11) означает, что всюду в дальнейшем 1тх' > 0.
6)Здесь Л = (V— 1)/(—г) есть оператор конечно-
разностного дифференцирования. Напомним, что в обычных единицах он имеет вид [16, 17]
Л = (V— 1)/(—гХ') = [ехр(—гХ'й/йр) — 1}/(—1Х'), X' = К/т' с.
Теперь установим свойство ортогональности двух регулярных решений уравнения (8) при двух значениях быстроты х и х'*. С этой целью умножим уравнение (8) для функций щ(г,х'*) и Щг (г,х) соответственно на функции щ (г,х) и Щг(г,х'*), а затем вычтем полученные результаты. Тогда, учитывая свойство сопряжения (14) для регулярного решения, получим7)
2(сЪ х - сИ х'*)щг(г,х)Щ(г,х') = = А*[иг (г)ШАЩг (г,х),Щ (г,х'*)]}.
Отсюда находим
/ЦО 'П_1
*т(г,хШг,х') = Ета!2(сЬгх_сЬ^)
П П=1
7)Здесь Л* = (V* — 1)/г = [ехр(г^/^т) — 1]/г есть сопряженный оператор конечно-разностного дифференцирования в принятых обозначениях.
1
х Ыг)№аЫг,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.