ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 385-392
УДК 519.624
РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ИЗБЫТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2015 г. А. А. Абрамов*, Л. Ф. Юхно**
(* 119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; 141700Долгопрудный М.о., Институтский пер., 9, МФТИ; ** 125047Москва, Миусская пл., 4а, ИПМРАН; 115409Москва, Каширское ш., 31, НИЯУ МИФИ)
e-mail: alalabr@ccas.ru;yukhno@imamod.ru Поступила в редакцию 06.10.2014 г.
На полубесконечном или бесконечном интервале рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нее формулируются нелокальные основные условия, задаваемые интегралом Стилтьеса, а кроме того, задаются избыточные условия, также нелокальные. На бесконечности ставится условие ограниченности решения. Предлагается и исследуется метод решения такой переопределенной задачи. Этот метод численно устойчив, если численно устойчива вспомогательная задача, заменяющая исходную. Библ. 7.
Ключевые слова: сингулярная система обыкновенных дифференциальных уравнений, нелокальные дополнительные условия, избыточные условия, численная устойчивость.
DOI: 10.7868/S0044466915030023
ВВЕДЕНИЕ
Исследованию и численным методам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями (в частности, заданным на неограниченном интервале) посвящено много работ; здесь используются методы и результаты, изложенные в [1]. Для выделения конкретного решения кроме требования его ограниченности накладываются дополнительные условия. В качестве таких условий мы берем общий случай нелокальных условий, задаваемых интегралом Стилтьеса (по поводу задач с такими условиями см., например, [2], [3]). Кроме этих основных условий заданы еще избыточные, также нелокальные условия (по поводу таких задач см. [4]). В результате возникает переопределенная, в общем случае несовместная, задача. Эта задача заменяется вспомогательной системой дифференциальных уравнений с совокупностью всех заданных дополнительных условий. Дается метод решения построенной таким образом вспомогательной задачи. Предлагаемый метод решения переопределенной задачи численно устойчив, если решение указанной вспомогательной задачи численно устойчиво.
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dy/dt = A( t)y + f( t), (1.1)
где 0 < t < +да, А : [0, +да) — С" x ", f: [0, +да) — С", y : [0, +да) — С". Заданные функции A(t) и f(t) предполагаются непрерывными и имеющими предельные значения при t —»- + да. Пусть
A„ = lim A (t) и f = lim f( t).
t ^ t ^
Предположим также, что матрица Аш не имеет собственных значений на мнимой оси.
Введем в С" какую-либо норму |
Решение уравнения (1.1) подчиним на бесконечности следующему условию:
|y(t)| ограничено при t—»- + да. (1.2)
3
385
Пусть Лт имеет р собственных значений в левой полуплоскости, в общем случае 0 < p < n, и n — p собственных значений в правой полуплоскости. Тогда совокупность решений системы (1.1), удовлетворяющих условию (1.2), является, как показано в [1], р-мерным линейным многообразием. Поэтому при р > 0 для выделения конкретного решения дополним условие (1.2) следующим условием, являющимся нелокальным:
+да
J (¿Ж( t)) y (t) = a, (1.3)
0
где Ж : [0, +да) —- С х n, a — заданныйp-столбец. Интеграл в (1.3) — интеграл Стилтьеса. Предположим, что Ж(0 — функция ограниченной вариации. (О системах линейных дифференциальных уравнений с нелокальными условиями см., например, [2], [3].)
Пусть кроме условий (1.2), (1.3) на решение системы (1.1) накладывается условие
+да
J (t)) y (t) = у, (1.4)
0
где c§ : [0, +да) —С™ x n, у e С™, c§(t) — функция ограниченной вариации.
Хотя условия (1.3) и (1.4) могут быть объединены в одно условие подобного вида, мы будем различать "основное" условие (1.3) и "избыточное" (1.4). В [4] для системы вида (1.1), рассматриваемой на конечном отрезке, приведены аргументы в пользу изучения такой переопределенной задачи и примеры таких задач.
Задача (1.1)—(1.4) в общем случае несовместна. Для получения совместной задачи, аналогично предложенному в [4] приему, вместо уравнения (1.1) рассмотрим уравнение
y' = A(t)y + g(t)n +f(t), 0 < t < + да, (1.5)
где g(t) — дополнительно задаваемая нами (n х т)-матричная функция, m-столбец п — неизвестная константа. Предположим вначале, что g(t) непрерывна и существует grrj = lim g(t). Тогда, до-
t ^ +да
полнив систему (1.5) уравнением п' = 0, эквивалентным условию п — const, мы получим задачу для n + m дифференциальных уравнений с n + m дополнительными условиями. Итак, будем рассматривать на интервале [0, +да) следующую задачу:
y' = A (t)y + g( t )п + f( t), п' = 0, (1.6)
+ да + да
J (¿Ж (t)) y (t) = a, J (t)) y (t) = Y, (1.7)
00 кроме того, y(t) удовлетворяет условию (1.2).
2. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧЕЙ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ
Задача (1.6), (1.7), (1.2) поставлена на полупрямой [0, +да). Рассмотрим аппроксимацию этой задачи задачей на ограниченном отрезке.
Начнем с аппроксимации условия (1.2). Приp < n для каждого t, 0 < t < +да, условие (1.2) эквивалентно соотношению вида
Ф( t)y = ¥( t), (2.1)
где Ф е C(n -p) х n, rankФ = n — p, ¥ е Cn -p. В [1] показано, что условие (2.1) (т.е. условие (1.2)) при больших значениях t может быть приближенно заменено условием
Ф»У (t) = V», (2.2)
где строки ((n — p) х п)-матрицы фш образуют какой-либо базис пространства, порожденного левыми корневыми векторами спектральной задачи
xA» = Xx,
соответствующими собственным значениям А, лежащим в правой полуплоскости. Соответственно, — это (n — ^)-столбец такой, что
V» = »./to.
Погрешность от замены условия (1.2) на условие (2.2) стремится к нулю при t —- + да. Если A(t) иf (t) постоянны при t > trrj, то для таких t условие (2.2) строго эквивалентно условию (1.2).
Так как n — const, то условие (1.2) для первого уравнения (1.6) аппроксимируется аналогично, только вместо f(t) берется функция f(t) + g(t)n.
Условия (1.7) аппроксимируются естественным путем: верхний предел несобственных интегралов заменяется на tx, где tx достаточно велико.
В результате задача, аппроксимирующая задачу (1.6), (1.7), (1.2), окончательно формулируется следующим образом.
Фиксируем достаточно большое значение trrj и на отрезке [0, trr] рассматриваем уравнения (1.6), дополненные условиями
ф»У( t») = -ф»А» (f(t») + g( t» )n), (2.3)
(t))y( t) = a, J( (t)) y (t) = у. (2.4)
0 0
В [3] доказано, что если задача (1.1)—(1.3) имеет решение и это решение мало меняется при малых изменениях функций A(t), f (t), 3£(t), то при больших значениях tx аппроксимирующая ее задача на отрезке [0, trr] также имеет решение, которое на этом отрезке близко к решению исходной задачи.
Аналогично в случае задачи (1.6), (1.7), (1.2) можно доказать, что построенная для нее аппроксимация (2.3), (2.4) на конечном отрезке имеет решение, близкое к решению этой задачи.
3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Свойства задачи (1.6), (1.7), (1.2), установленные в разд. 2, дают обоснование следующему методу ее решения.
Рассматривая первое из уравнений (1.6) как уравнение относительно у(?) и пользуясь каким-либо методом переноса граничных условий, переносим в точку ? = 0 условие (2.3). Отметим, кстати, что это условие, как показано в [1], для достаточно больших ? переносится численно устойчиво именно справа налево. Дополнительное усложнение, обусловленное тем, что в правую часть уравнения линейно входит параметр п, преодолевается методом, изложенным ниже в разд. 6. В результате полученное условие будет иметь вид
Ф°>> (0) = у0 + а°п, (3.1)
где ф0 е С(п -р) х п, а0 е С(п -р) х т, у0 е С" -р. Возьмем какую-либо (р х п)-матрицу ю такую, что
0
не близка к вырожденной. Поставим при ? = 0 граничное условие
(n х п)-матрица
юу(0) = а, (3.2)
где а пока неизвестный нам р-столбец.
В силу выбора ю задача, состоящая из первого уравнения (1.6), граничного условия (2.3) и условия (3.2), при любом фиксированном п имеет решение, и притом единственное. При больших значениях ? условие (3.2) устойчиво переносится слева направо. Действительно, для системы вида (1.1) при больших ? линейное многообразие решений в С", выделяемых условием, полученным переносом условия (3.2), почти параллельно пространству, порожденному правыми корневыми векторами матрицыЛш, соответствующими ее собственным значениям, лежащим в правой полуплоскости. Поэтому рассматриваемое решение численно устойчиво относительно малых изменений исходных данных.
Для вычисления р-столбца а и т-столбца п поступим следующим образом.
Решая относительно у(1) первое уравнение (1.6) с учетом граничных условий (2.3) и (3.2), мы получим представление у(1) в виде
у (I) = + v( 1)а + х( , (3.3)
где ц : [0, 4,] —С" х т, V : [0, 4,] —»- С" хр, х : [0, 4] —»- С". Подставив выражение для у(1) из формулы (3.3) в левые части выражений (2.4), получим систему р + т линейных алгебраических уравнений
Биа + БиП = a - b1, Bjxa + B21 n = Y - ¿2,
где
B11 = J( dX (t ))v( t), Bu = J( dX (t)M t),
t.
Б21 = J( d§( t))v( t),
0
(3.4)
t.
Б22 = J( (t))»( t),
0
bi = J( dX( t))x( t), b2 = (t ))x( t),
(3.5)
00 B11 е €p xp, B12 е €p x m, B21 е €m xp, B22 е €m x m, ^ е €p, b2 е Cm
Если при переносе граничных условий использовать, в частности, ортогональную прогонку (см. [5]), то система (3.4) будет получена численно устойчиво (см. [6]). Поэтому если задача (1.2)—(1.5) численно устойчива, то система (3.4) будет хорошо обусловленной и описанный здесь метод будет также численно устойчив.
0
0
4. БОЛЕЕ ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
До сих пор мы рассматривали случай, когда g(t) — непрерывная функция. В [4] приведены доводы в пользу рассмотрения случая, когда g(t) = Q'(t), где Q(t) — функция ограниченной вариации. Однако в этом случае все формулы, содержащие g(t), теряют смысл. Покажем, как изменить описанный метод, чтобы его формулы имели строгий смысл для этого общего случая. Для этой цели при проведении преобразований будем считать функцию g(t) непрерывной. Окончательно полученные формулы не будут зависет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.