СИЛЬНОТОЧНЫЕ ПУЧКИ
УДК 533.9.01
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА-ЛОРЕНЦА ДЛЯ КОЛЬЦЕВОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ © 2009 г. А. Н. Капитанов, Н. В. Образцов, Л. А. Суханова, А. Ю. Хлестков, Ю. А. Хлестков
Московский инженерно-физический институт (государственный университет), Россия
Поступила в редакцию 03.07.2008 г. Окончательный вариант получен 27.11.2008 г.
В системе уравнений Максвелла и релятивистских уравнений движения для электронов получены нелинейные решения, описывающие равновесие кольцевого релятивистского сильноточного электронного пучка в среде неподвижных ионов. В результате преобразований уравнений получена система для трехкомпонентного вихревого векторного поля, которое описывает кольцевые конфигурации пучков, предназначенных для удержания плазмы. Приведен пример численного расчета стационарного состояния компактного пучкового тора из неподвижных ионов и релятивистских электронов.
РАСЯ: 52.27.-h, 52.59.-f
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Кольцевой сильноточный релятивистский пучок (СРП) заряженных частиц с током, намного
3
большим альфвеновского, —ру (где т0 — масса
е
покоя, с — скорость света, е — электрический заряд, в — скорость частицы в единицах с,
у = (1 - р2)-1/2 — лоренц-фактор), можно использовать для создания замкнутой магнитной ловушки с помощью вихревого магнитного поля СРП тороидального типа [1—2] с целью удержания плазмы в токамаках [3].
В связи с этим представляет интерес релятивистская постановка задачи о движении заряженных частиц в собственном электромагнитном поле, когда, в отличие от [4], исследуется релятивистское дрейфовое движение электронов, аналогично рассмотренное в работе [5].
Мы рассмотрим точную микроскопическую модель (отвечающую в гидродинамике изэнтро-пической заряженной жидкости без давления и температуры), которая хорошо описывает кольцевой СРП, и исследуем, к какой простейшей задаче можно свести исходную нелинейную систему уравнений.
Движение зарядов в электромагнитном поле описывается уравнениями Максвелла и уравнениями движения Лоренца [6]
= -ц (и,V = 0,1,2,3),
в*; = о,
и>ц = В ^и,,.
(1) ( 2) ( 3)
Здесь В— тензор электромагнитного поля, у и — 4-вектор плотности тока, уц = риц, где р — инвариантная плотность заряда, ии = йх— 4-ско-рость в метризованном пространстве-времени с
квадратом интервала йз2 = g^ÍVdx^dxv с метрическим тензором g , в = Е ЕХр — дуально сопряженный тензор электромагнитного поля,
Е— тензор Леви-Чивита [7], ц>ц = Би = и^иУ — 4-ускорение, ";" — операция взятия ковариантной производной (по повторяющимся снизу и сверху индексам проводится суммирование), ц, V = 0, 1, 2, 3; л0 = & — временная координата, X — пространственные координаты (/ = 1, 2, 3). В (1)—(3) для упрощения записи использована система единиц, в которой все константы положены равными единице е = т0 = с = 4п = 1.
Общепринято удовлетворять второй паре уравнений Максвелла (2) введением 4-векторно-
го потенциала Ац с калибровкой Лоренца [6]
р ^ = 2! а(4) А;; = 0 (5)
(заключение индексов в квадратные скобки означает операцию антисимметризации). При этом система уравнений Максвелла (1)—(2) упрощается до уравнений
□ А » = -у (6)
2 д2
где □ = V--т — 4-оператор д'Аламбера.
дг2
Возникает вопрос: сколько независимых компонент содержит это нелинейное самосогласованное поле и какими уравнениями оно описывается? Первый способ ответа на этот вопрос состоит в выражении 4-скорости ии и плотности заряженной среды р через потенциалы электромагнитного поля Ац из уравнений Максвелла (1), (4), (5) и в подстановке их в уравнения Лоренца (3).
Возведя уравнение (1) в квадрат, получим
Р = ТРОРГ, (7)
иц = -Р.^
с потенциалами
7>р5Р 7
- а|3 ;у
(8)
Подставив (8) в уравнение движения (3) с учетом (4), (5), имеем окончательно
(
2! А[ +
(
□Ам
□А, = 0.
(9)
У
ф^ = + ^ = 2! Р
[V; ц]
(13)
= иц + Ац.
(14)
Итак, из уравнения движения в форме (12) следует, что релятивистский пучок в электромагнитном поле должен двигаться так, чтобы суммарный 4-ротор потенциала Рц был ортогонален 4-скорости и ц. В этом случае можно представить в виде
где
Ф = [ар1,
^^ _ 8^ uцuv,
(15)
(16)
— проектор [8, 9] в подпространство, ортогональное скорости и
__ ^ □АрА у
С учетом условия (5) мы получаем нелинейное трехкомпонентное поле, описываемое дифференциальными уравнениями третьего порядка (9), относительно 4-потенциалов Ац. Решив их для заданных начальных и граничных условиях и подставив решение в (7), (8), мы получим все характеристики этого самосогласованного поля.
Исследуем второй способ упрощения системы уравнений Максвелла—Лоренца, который заключается в поиске решения уравнений движения,
выражении потенциалов поля Ац через скорости
среды ии и в подстановке их в уравнения Максвелла (1), (2). Он имеет преимущество перед первым способом в случае многокомпонентной заряженной среды (например, электрон-ионная плазма, многокомпонентный пучок заряженных частиц), когда каждая компонента описывается своим уравнением движения, поэтому их решение приведет к существенному упрощению задачи.
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Преобразуем уравнение движения (3) следующим образом: по аналогии с электромагнитным
полем, напряженность которого Рявляется 4-ротором его потенциалов Ац, введем 4-ротор а поля скоростей и г
5 = 2!и[У; м (10)
Через него можно выразить 4-ускорение wц:
Ыц = = -Н^м,. (11)
Подстановка (11) в уравнение движения (3) приводит их к виду
Ф = 0, (12)
где введен 4-ротор самосогласованного поля
^ иа = 0,
обладающий свойством
(17)
¥[ав1 — бивектор, антисимметричный тензор второго ранга.
Таким образом, выражение (15) является решением уравнения движения (3). Оно в общем случае содержит шесть функций, образующих бивектор на которые будут накладывать условия другие уравнения исходной системы (1)—(3).
НаИ* = II "ц а V'
3. УРАВНЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
Используя (13), получаем выражения для тензора электромагнитного поля через поле скоростей и ц и ротор поля скоростей
р ^ = -Н + [ар1,
(18)
подстановка которого в уравнения Максвелла (1), (2) должна привести к системе уравнений относительно поля скоростей среды и .
Для этого сначала покажем, что уравнения Максвелла (1), выражающие тот факт, что источником (дивергенцией) электромагнитного поля
Рявляется плотность тока у и системы создающих его зарядов, "размазанных" по всему 4-про-странству с помощью обобщенных функций Дирака [6, 10], допускают еще одну интерпретацию и соответствующую ей форму.
Исключим из (1) инвариантную плотность заряда р, умножив (1) скалярно на и ц
Р = -Р^а. (19)
Подстановка (19) в (1) приводит уравнения Максвелла к виду
Т?Ц Ц р.
Р;у - и иаР;в = 0,
(20)
который при помощи проектора Нцу, переписывается в такой компактной форме:
¿Г = 0, (21)
где
ВТ = (22)
Заметим, как показано в работе [11], уравнения в форме (21) имеют аналог в уравнениях Эйнштейна общей теории относительности. Теперь подстановка решения уравнений движения (18) в уравнения Максвелла (21) дает уравнения на поле
скоростей и
на + йрал;^[ру1) у = 0. (23)
Вторая пара уравнений Максвелла (2) накладывает на и ц и дополнительные условия:
Е ^ (нанХР]);у = 0 (24)
(в (24) учтено, что Е х = 0).
Очевидно, существуют такие ситуации, когда удовлетворить условиям (24) легче, чем решать уравнения движения. Два примера таких ситуаций будут рассмотрены ниже. Но в любом случае условия (24) означают, что спроектированный бивектор Фар = ННр¥хР должен иметь "потенциал", т.е. представлять собой 4-ротор 4-вектора.
4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
1) ф ^ = (25)
Следовательно, Ф^щ = 0 в силу антисимметрии тензора третьего ранга Ему можно сопоста-
вить произвольный дуальный вектор ^
_ е^р^
Таким образом, в данном случае рассматривается решение
Ф ^ = Е (26)
являющееся частным случаем решения (15).
Подстановка (26) в (21) дает следующие уравнения поля:
на (-Е™ + Ет)%их );у = 0, (27)
а подстановка их в (24) дает следующие условия:
Е ^"Ф^ = 0. (28)
Для наглядности дальнейших преобразований перейдем в пространство-время Минковского и введем объекты наблюдаемого 3-пространства
иц о {у,р} ^ о {а,В^ о {Е,Н},
где р — 3-импульс, у = ^ 1 + р2 — лоренц-фактор, а, % — произвольные 3-скаляр и 3-вектор, Е, Н — напряженности электрического и магнитного поля.
(29)
Тогда из соотношений (13), (26)—(28) следует связь параметров электромагнитного поля и заряженной среды
Е = Уу + р 0 + р х Н = -У х р + у\ - ар. Рассмотрим для простоты стационарное состоя-
д
ние заряженной среды — = 0. В этом случае из
дt
(28) получаются алгебраические условия на произвольные функции
у% - ар = V х X,
р х % = Vf,
где X и / — произвольные 3-вектор и 3-скаляр соответственно, которые конкретизируются заданием начальных и граничных условий.
Уравнения (27) трансформируются в уравнения нелинейного векторного поля
2
УхУх (р - х) + у (У + /) р = 0.
(30)
У
Теперь рассмотрим простейший случай
2) Ф^ = 0. (31)
Физически случай (31) соответствует ситуации, когда полный ротор самосогласованного поля равен нулю, т.е. ротор электромагнитного поля
Вравен и противоположен по знаку ротору заряженной среды с,
р ^ = —
т.е.
(32)
р [V; = 0.
Условие (32) выполняется, если
р ^ = /+ С и, (33)
где / — произвольный 4-скаляр, С ц — постоянный 4-вектор, откуда из (24) следует связь между 4-по-
тенциалами электромагнитного поля Ац и 4-ско-ростями среды и
А » = - и и + /+ С и Из калибровочных условий Лоренца следует калибровка скоростей среды
Щц = - и/.
Пусть и/ = 0. Тогда для такой бездивергенциаль-ной среды уравнения самосогласованного поля (23) трансформируются в уравнения нелинейного 4-векторного поля 4-скоростей
□иц - и^иааиа = 0. (34)
Уравнения (34) также можно записать в спроектированном виде
□ = 0
Этот случай соответствует ограниченному в пространстве состоянию заряженной среды в собственном (и внешнем) электромагнитном по-
системе координат (ТСК) {у, ф} (рис. 1), в которых квадрат элемента длины выглядит так
dl2 = dz1 + dr2 + r 2dq>2 = = g44dy2 + gzzdZ2 + r 2dq>2.
(35)
Рис. 1. ЦСК и ТСК в сечении ф = const. (rp — полюс ТСК).
ле и, ввиду вихревого (бездиверг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.