АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 5-14
УДК 534.26:537.874.6
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН
НА ГРУППЕ ОБЪЕКТОВ
© 2007 г. А. Г. Кюркчан, Е. А. Скородумова
Московский технический университет связи и информатики 111024 Москва, ул. Авиамоторная 8а E-mail: kyurkchan@yandex.ru Поступила в редакцию 8.12.05 г.
Метод диаграммных уравнений распространен на трехмерные задачи дифракции волн на группе тел. Основу метода составляет сведение исходной задачи к системе из N (Ы - количество рассеива-телей) интегрооператорных уравнений второго рода относительно диаграмм рассеяния отражателей. С использованием разложений диаграмм рассеяния в ряды по сферическим угловым гармоникам задача сводится к алгебраической системе уравнений относительно коэффициентов этих разложений. Получено явное (асимптотическое) решение задачи в случае, когда рассеивающие тела достаточно далеки друг от друга. Показано, что метод может быть применен для моделирования характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии.
РАС8: 43.20.Fn, 43.20.Bi
ВВЕДЕНИЕ
Задача рассеяния на группе отражателей остается одной из наиболее сложных краевых задач, и в то же время является весьма актуальной, что подтверждает наличие довольно свежих публикаций, таких, как, например, [1]. Однако при этом большинство известных методов ее решения характеризуется слабой сходимостью при малых расстояниях между объектами [1, 2]. Метод диаграммных уравнений (МДУ), впервые предложенный в работе [3] и апробированный позднее на целом ряде задач дифракции, оказался универсальным и высокоэффективным методом решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. В его основе лежит сведение исходной задачи к решению системы из N (по количеству отражателей) интегрооператорных уравнений второго рода относительно диаграмм рассеяния отдельных отражателей. Принципиальное отличие МДУ при решении задачи рассеяния на группе объектов и от [1], и от метода Тверского [2], состоит в том, что в МДУ не требуется знания диаграммы рассеяния одиночного тела без учета его взаимодействия с другими.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим трехмерную задачу дифракции первичного волнового поля и0 на группе из двух тел. Переход к произвольной совокупности отражателей совершенно очевиден.
Полное поле и представим в виде
U = U0 + U1 + U
где и, j = 1, 2, - поле, порожденное "токами", распределенными на Sj - поверхности j-го тела.
В настоящей работе рассматривается краевая задача с импедансными краевыми условиями:
AU] + k2 U] = 0,
U| =W *U
Usj k дn,-
(2) (3)
где т— - дифференцирование в направлении д п1
внешней к Sj нормали, к = — , Wj = -2- , причем с -
скорость звука, р - плотность среды, - локальный акустический импеданс, постоянный на Sj -границе рассеивателя.
Для полного поля по аналогии с [4] можно ввести следующее представление:
и = и0 +
2 п 2
+ 2— | | exp (-ikr, cos a) g- (a, в; 0ф j) sin a da dp
(4)
2п 2
+ —Ъ1 1 eXP (-ikP j ■ ri) gi(Vi'P) sin a da dp,
(1) w, = a, если j = 1, wj = п - a, если j = 2, i, j = 1, 2, j Ф i,
S
0 0
0 0
p;- = { sin a cos в; sin а sin в; (-1)j cos а}. В этом выражении g/6¿, фу) - диаграмма рассеяния
у-го тела, т.е. функция, связанная с U1 соотношением вида
где
Ui = exp(-ikry)
1 kr,
(0 1'ф i)+0 í kr
Vi(0j. фу) = -T=
2/Л \ • A Э U Pi (0, фу) sin 0i 57"
, . „ ЭU PiVj SU' - p,0 sin01-Г-----
riHj 1 d0j sin 0у Эфу_
ri = Pt
I Wt
Kt(Yt■; 0t.9t) = \iК
ptcos Ytsin 0j -
(6)
- P'0isin0t-
ЭcosYt p'ф. ЭcosYt
Э0у sin 0j Эфу cos Yj = sin 0tsin a cos (фу - в) + cos 0tcos a,
К = № + Р-' 81п2 0' + Р'ф.
(а, в; 0-, ф-) - диаграмма рассеяния -'-го тела в системе координат, повернутой так, что ось г совмещена с направлением в точку наблюдения, т.е.
gj(a, в; 0t, фу) = J J V(0, ф,)K(Yt; 0)> ф,) х
0 0
х exp (ikpt(0,, ф,) cos Y,) d 0,d ф,,
cos fy = { sin 0,sin (ф,-фу) sin a cos в + + |_sin 0tcos 0,- cos 0tsin 0,cos (ф, - фу)] sin a sin в
+ [ cos 0j cos 0, + sin 0j sin 0, cos (ф, - фу) ] cos a } =
T
= P ¿At
pT = (sin a cos в, sin a sin в, cos a),
_ rJ
Диаграмма рассеяния gj выражается следующим интегралом [4]:
gj (a, в) =
i и
= J J Vi(0 1,фj)Kj(Yj; 0j, фу) exp {ikp j(0у,фу)х (5)
00
х [ sin a sin 0j cos (в - фу ) + cos a cos 0j ]} d 0jd фу ,
в котором Гу = pj(0j, фу) - уравнение поверхности Sj в сферической системе координат у-го тела,
A =
- sin фу cos фу 0
-cos ф j cos 0 j -sin ф j cos 0 j sin 0 j cos фу sin 0 j sin фу sin 0 j cos 0
j
- матрица поворота '-й системы координат, в результате которого ось г совмещается с направлением в точку наблюдения.
Представление (4) позволяет найти функцию и всюду в Я\Е, где Е - выпуклая оболочка особенностей аналитического продолжения волнового поля и [3].
С использованием соотношений (4) и (5) для диаграмм рассеяния может быть получена следующая система интегрооператорных уравнений второго рода:
g.(а, в; 0о, фо) = gj(а, в; 0„, фо) +
iпп in i
+ ■
^JJJ J к1 (YI; 0уфу)
х
8 п i
х
ik p1 (0„ фу) gj (a1, в1; 0 у, ф у) sin 0j cos a1
, , I • A -I , kpjфj -I + kpj ^ sin 0 jgj фj
х
(7)
х
х exp [ikpу (0фу)(cos yу - cos a1)] х
п
- + i 2п 1
sin a d a d в^ 0 jd фу + ЦП J J exp (-ikpj rij)
х
00
х g° 0 (a, в; v), в1 )gi (v!, в1; 0о, фо) sin a1 d a d в1. Здесь
g0(a, в; 00, ф0) = Rjg^ a, в; 00, ф0),
а функция g00 (a, в; 0О, ф0) определяется соотношениями (5), (6), в которых величина U должна быть заменена на U0. При этом
Rj = exp(-ikqrу), i, j = 1, 2, j Ф i, q = { sin 00cos ф0; sin 00sin ф0; cos 00}.
При Гу —- <» система (7) распадается на два независимых уравнения, из которых могут быть
r
0 0 0 0
2 ПП
определены диаграммы рассеяния каждого из тел где без учета взаимодействия между ними.
АЛГЕБРАИЗАЦИЯ
Сведем задачу к системе алгебраических уравнений. Для этого подставим в систему (7) разложения диаграмм рассеяния в обобщенные ряды Фурье:
g}(a, p; 00, Ф0) =
^ n
= 2 2 a;nm(00, ф0)К(cos a) exp (imp),
x
*L(a,P) = in(2n +1)(П-—!^ x
(n + m)! 4п
( q - P ) -(q + p)!
2 пп
11 Q—2 X<-i)q(2q +1)
nm
00 q =0 p = -q
x
x
ip,(0, ф)sin0jq(kp.)PPp(cos0) -
n = 0 m = -n
^ n
j (a, p; 0, ф) =
qV-lj- q
sin 0 jq (k p j )
dPP (cos 0)
2 2 a1nm(0^)Pmn (cos a) exp (imp),
(8)
+kpj jq (k p j) « cos0)
n = 0 m = -n
^ n
exp грфd0dф x
gj(a, p; 00, Ф0) =
2 2 a;n°m(00, Ф0)Pm(cos a) exp (imp), Далее,
n = 0 m = -n
где [4]
x Pp(cos a) exp (-ipp).
Gjj = ,n - V( 2 n +, ) (n - m)! i x Gnm, VL = i ( 2n +1 ) 7—:-~ ~ x
„(0, ф) = 2 aL(00, Ф0)
x
(n + m )!4 п
2пп
x 11 Ik2p;2(0, Ф)hV(2)(kp;)PL(cos0)sin0 -
.5 (n + 5)l n , Ач , . ч
x 1 '(n - i)! Pms( cos 0) exp (75ф),
Pn (cos a) - присоединенные функции Лежандра,
Pnms (cos 0) - обобщенные функции Лежандра [5].
В результате получим следующую систему алгебраических уравнений:
- hV2)(kp;)(sin0)kpjed0Pv(cos0) -
- iV^hV2)(kp;)PV( cos0)
Q
anm anm + [Gnm,VvaVV + G nm, V|iaV|l] ,
V = 0 v = -V i, j = 1, 2; i * j.
С использованием известного разложения [6]
exp [ ikp; (0 ],ф]) cos y- ] =
^ n
= 2 2 in( 2n + 1) (n-Щ x
A.I A.I v (n + m)!
n = 0 m = -n
x jn(kpj)Pm(cos a)Pm( cos 0;) exp [im(p - ф;)] нетрудно установить, что
aJn°m(00^0) = RiRJnm(0O, ф0),
x
rji = in(+1)(n - m)! x
Gnm,VV = i (2n +1 x
^ q
2 2(-i )q( 2q+1 )(frpf j qp( ry)x
q = 0 p = -q
2пп
x
¿11 Q
-k2p2(0, ф)sin0jq(kpj)PPp(cos0) +
00
+ k p-0 sin 0 jq (k p.)
+ i pS2j (k p j) Pp (cos 0)"
dPp( cos 0)
exp (ipф)d 0d ф,
n
00
^ V
причем
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ Введем линейные операторы ' такие что
QL(M) = {jn (к р;) ртп( cos 0) +
+ ■
W,
к,
(-1 )рj(0, ф)sin0fn(крj)РП(cos0)
Lj[g}(a, p; 0o, фо)] = Rjg)0(a, в; 0o, Фо) +
2П 2
+
2П 11 exp (~ikp] ry) g°0o(a,e )
X
(9)
р j 9 sin 0 . dppn ( cos 0 ) + к р; ( 0, ф)Jn (к р j) d 0
,Пр
к р j sin 0
jn (к р j ) p: (cos 0)
^exp (-пф),
V + q
Sji
SV|1, qp
(rj = X 6^qp)(-i+1 X
s = |V - q|
X hf( ктг]) P|- p( cos 0ij) exp [ i(| - p )Ф j],
Xgi(Y,-, в'; 0o, Фо)sina'da'dв',
Пусть Gj(a, в; 0O, ф0) - диаграмма рассеяния одиночного тела, которая удовлетворяет уравнению [4]
Lj [ Gj (a, в; 0o, фо)] = g°o (a, p; 0o, Фо). Тогда в силу линейности операторов Lj имеем gj (a, в; 0о, фо) = RjGj (a, в; 0о, фо) +
П , ■
- + гга
2П 2
1/2
+
2П11 exP(-ikPjrij)Gj(a, в^ в*)
X
(10)
X
X gt (y*, в'; 0о, фо) sin a' d a' d в', i, J = 1, 2, i ф J.
лшяр) = ()р\(V + Ц) !(ч + р) !(4 - Ц + р)! 1 4 ^ ; [(V-ц)!(ч-р)!(4 + ц-р)!
х(Vч00|40)(vчц, -р|4, ц-р),
Выражения (10) представляют собой систему
(п1п2т1т2\п, т1 + т2) - коэффициенты Клебша- интегральны1 уравнений Тверского [2]. Как ввд-
(2) но в (10), при решении задачи дифракции на груп-
Г°рдана [5], 'п(кр-), кп (кг-) - сферические функ- пе тел методом Тверского необходимо сначала
ции Бесселя первого и третьего рода соответ- определить диаграммы рассеяния одиночных рас-
ственно, ф' - полярный угол в 7-й системе коорди- сеивателей "-(а, в; 0, ф). При использовании МДУ
нат начала координат ("центра" О-) -'-го тела, г0 = в процессе решения задачи сразу определяются
= г21 - расстояние между рассеивателями. Коэф- диаграммы рассеяния тел с учетом их взаимного
фициенты b жений
(V|qp)
= 0, если хотя бы одно из выра-
(V + ц),( ч + р), (4 - ц + р), (V - ц),( ч - р),(4 + ц - р)
меньше нуля [7].
Найдя диаграммы g1(0, ф; 0О, ф0) и g2(0, ф; 0О, ф0), определим общую диаграмму рассеяния двух тел по следующей формуле
g(a, в; 0,ф) = = Ягg1 (а, в; 0, ф) + ^2(а, в; 0, ф),
где черта означает комплексное сопряжение.
влияния.
При кг12 = кг21 = к1 > 1, оценивая интегралы по методу перевала, получаем, что
gj(р; q) - Яр-(р; q) + 0О-(р; я-)g1(я-; Я), (11)
ехр (-¡к!)
где qj = -f, Q =
к1
gj(Я) =
= Я- " ( я.- ; я ) + Я 7 (¡7 ( Я , ; Я ) • О ( Я --; Я -) (12)
1 - О1"](Я-.-; Я-".(Я.--; я-д
Формулы (11), (12) дают асимптотическое решение задачи при условии, что нам известны функции "(р; я).
о о
s
Полученное решение позволяет проводить вычисления с приемлемой точностью при выполнении неравенства [8]
l
a, + a
> -max( ka-).
2
п
(13)
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
1. Сравнение МДУ с методом Тверского
Сравним изложенный метод с методом В. Тверского. Для это
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.